人教版数学九年级上册教案全册.docx

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1、九年级数学上册教学计划二十一章一元二次方程第1课时21.1一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=O ( a*0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目.1 .通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2 .一元二次方程的一般形式及其有关概念.3 .解决一些概念性的题目.4 .通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.难点关健1 .重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.2 .难点关键：通过提出问题，建立一

2、元二次方程的数学模型，口再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学过程一、宜习引入学生活动：列方程.问题(1)古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x口尺，口那么，口这个门的宽为口尺，长为口尺，根据题意，口得.整理、化简，得：.二、探窣新知学生活动：请口答下面问题.(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评:(1)都只含一个未知

3、数x ;(2)它们的最高次数都是2次的；(3)口都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0( a*0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=O ( a*0)后，其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项.例1.将方程3x ( x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.分析:一元二次方程的一

4、般形式是ax2+bx+c=0( a*0).因此，方程3x( x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2.(学生活动：请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+( x-2)( x+2)=01化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项.分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+( x-2)( x+2)=1化成ax2+bx+c=0( a*0)的形式.解：略三、巩固练习教材练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y

5、-3(2) x2=4(3)3x2-=0(4) x2-4=(x+2)2(5) ax2+bx+c=0四、应用拓展例3.求证：关于x的方程(m2-8m+17) x2+2mx+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17o*0即可.证明:m2-8m+17=( m-4)2+1.,( m-4)22。/.( m-4)2+10, OP ( m-4)2+1*0.不论m取何值，该方程都是一元二次方程.练习:1.方程(2a-4) x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2.当m为何值时，方程

6、(m+1)x/的/-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程五、归纳小结(学生总结，老师点评)本节课要掌握：(1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0( a*0)口和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业第2课时21.1一元二次教学内容1 .一元二次方程根的概念；2 .根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.教学目标了解一元二次方程根的概念会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由

7、根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.重难点关键1 .重点：判定一个数是否是方程的根；2 .难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.教学过程一、无习引入学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1.前面有关“执竿进屋的问题中,我们列得方程x2.8x+20=0列表：X1234567891011x2-8x+20问题2.前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x?+7x=44列表：老师点评(略)X123456x2+7x二、探索新知提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2口中一元二次方程的解是多少

8、？(2)如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评:(1)问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.(2)如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.回过头来看：x28x+20=0有两个根，一个是2,另一个是10,都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只

9、要把其代入等式，使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有2和3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a*0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a1) x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用至的同学们要深刻理解.例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1) x2-64=0(2)3x2-6=0(3) x2-3x=0分析：要求出方程的根

10、，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义.解：略三、巩固练习教材思考题练习1、2.四.归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：(1)一元二次方程根的概念；(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根；(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.(“夹逼”方法；平方根的意义)六、布置作业1.教材复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9.2.选用课时作业设计.第3课时21.2.1配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”一转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.提出问题，列出缺一次项的

11、一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a ( ex+f )2+c=0型的一元二次方程.难点关键1 .重点：运用开平方法解形如(x+m )2=n ( n0)的方程；领会降次一转化的数学思想.2 .难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m )2=n ( n20)的方程.教学过程一、复习弓I入学生活动：请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x2-8x+=( x-)22)9x2+12x+=(3x+)2+3)x2+px+=( x+)2*问题1：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)()2.问题2：目前我

12、们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了 x2=9,根据平方根的意义，直接开平方得x=3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ,那么2t+1=3即2t+1=3,2t+1=-3方程的两根为ti=1, t2=-2例1:解方程：(1)(2x7产=5(2)x2+6x+9=2(3)x2-2x+4=-1分析：很清楚,x?+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解

13、：(2)由已知,得:(x+3尸=2直接开平方，得：x+3=即 x+3=, x+3=-所以,方程的两根Xi=-3+, Xz=-3-例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m ,求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x .一年后人均住房面积就应该是10+010x=10(1+x );二年后人均住房面积就应该是10(1+x )+10(1+x ) x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ,则:10(1+x )2=14.4(1+x )2=1.44直接开平方，得1+x=1.2即1+x=1.2,1+x=-1.2所以,方程的两根是xi的.2根0%, x

14、2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2=2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.口我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材练习.四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ,那么二月份的营业额就应该是(1+x ),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x )2.解：设该公司二、三月份营业额

15、平均增长率为X.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数，配方得：(1+X+)2=2.56，即(x+)2=2.56x+=1.6,即 x+=1.6, x+=-1.6方程的根为“10%, x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p ( p),那么x:士转化为应用直接开平方法解形如(mx+n )2=p (,那么mx+n=,达到降次转化之目的.若p 0则方程无解六、布置作业1.教材复习巩固1、2.第4课时22.2.1配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程.教学目标理解

16、间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p ( p0)或(mx+n )2=p ( p)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.重难点关健1 .重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.2 .难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.教学过程一、一习弓I入(学生活动)请同学们解下列方程(1)3x2-1=5(2)4( x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n )2=p (

17、p)的形式，那么可得x=士或 mx+n=( p20).如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2:要使一块矩形场地的长比宽多6m ,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2

18、+6x-16=0移项-x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x?+2bx+b2的形式-x2+6x+32=16+9左边写成平方形式-(x+3)2=口25降次-x+3=5即x+3=5或x+3=5解一次方程-Xi=2, x2=-8可以验证：xi=2, x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ,常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程(1) x2-8x+1=0(2) x2-2x-=0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式

19、，因此，要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.解：略三、巩固练习教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由.教材 P39练习12.(1 X (2).四、应用拓展例3.如图，在RSACB中，nC=90。，AC=8m , CB=6m，点P、Q同时由A , B口两点出发分别沿AC、 BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s ,口几秒后SCQ的面积为RSACB面积的一半.分析：设x秒后WCQ的面积为RSABC面积的一半，&PCQ也是直角三角形.口根据已知列出等式.解：设x秒后”CQ的面积为RfACB面积的一半.根据题意，得：(8-x )(6-x )=xx8x6整理，得：x2-14x+24=0(x

20、-7)2=25即 Xi=12, x2=2xi=12, x2=2都是原方程的根，但xi=12不合题意，舍去.所以2秒后&PCQ的面积为RSACB面积的一半.五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有X的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有X的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.六、布作业1.教材复习巩固2.3(1)(2)第5课时21.2.1配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程.教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.重难点关键1 .重点：讲清配方法的解

21、题步骤.2 .难点与关键：把常数项移到方程右边后，口两边加上的常数是一次项系数一半的平方.教具、学具准备小黑板教学过程一、一习弓I入(学生活动)解下列方程：(1) x2-4x+7=0(2)2x2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解：略.(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；.jz.(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形

22、为(x+p)2=q的形式，如果q0,方程的根是x=-pVq ;如果q 0,方程无实根.例1.解下列方程(1)2x2+1=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x )2+2(1+x )-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方.解：略三、巩固练习教材 P 练习2.(31(4(51(6).四、归纳小结本节课应掌握：1 .配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2 .配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例3)在今后学习二次函数，到高中学习二次

23、曲线时,还将经常用到。六、布作业1 .教材P45复习巩固3.(3)(4)补充：(1)已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则求 x+y+z 的值(2)求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数第6课时21.2.2公式法教学内容2 .一元二次方程求根公式的推导过程；3 .公式法的概念；4 .利用公式法解一元二次方程.教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0( a*0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.重难点关键1

24、.重点：求根公式的推导和公式法的应用.2 .难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.教学过程一、蝮习引入1 .前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1) x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。)2 .面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).(1)现将已知方程化为一般形式；(2

25、)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q0,方程的根是x=-pVq ;如果q 0,4a20,当 b2-4ac0时“.(x+)2=()2直接开平方，得：x+=即x=.Xi=, x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0( a*0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac0时，将a、b、c 代入式子x=就得到方程的根.(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，力口、减、乘、除、乘方、开方，这体

26、现了公式的统一性与和谐性。)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2) x2+1.5=-3x (3) x2-x+=0(4)4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.H:(5)(x-2)(3x-5)=0三、巩固练习教材P42练习1.(1)(3入(5)或、(4)、(6)四、应用拓展例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+( m-2) x-1=0提出了下列问题.(1)若使方程为一元

27、二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.你能解决这个问题吗？分析：能.(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)丰0.(2)要使它为一元一次方程，必须满足：或或五、妇纳小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac ,若结果为负数，方程无解，4)若结果为非负数，代人求根公式，算出结果。(4)初步了解一元二次方程根的

28、情况.六、布置作业教材复习巩固4.第7课时21.2.4判别一元二次方程根的情况教学内容用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0( a*0)的根的情况及其运用.教学目标掌握 b2-4ac0, ax2+bx+c=0( a*0)有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0, ax2+bx+c=0( a*0)有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0、b2-4ac=0. b2.4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b2.4ac=0一元二次方程有两个相等的实数； b2-4ac0,有两个不相等的实根;(2) b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3) b2-4ac=|

29、-4x4x1|=0(0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x尸学 xi=,即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时，根据平方根的意义;0,所以Xl=x2=,即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0( a*0)有两个不相等实数根即xf ,X2=.(2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0( a*0)有两个相等实数根即Xi=x2=.(3)当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0( a*0)没有实数根.例1.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0(3)2x2-9x+8=0(4)

30、x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0口的情况进行分析即可.解：(1)化为16x2+8x+3=0这里 a=16, b=8, c=3, b2-4ac=64-4x16x3=-1280的解集(用含a的式子表示).分析：要求ax+30的解集,就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或。.因为一元二次方程(a-2) x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a )2-4( a-2)( a+1)0一元二次方程ax2+bx+c=0( a*0)有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a+0)有两个相等的实根；

31、b2-4ac0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.教学目标：1、理解根系关系的推导过程；2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路教学重点：应用根系关系解决问题；教学难点：根系关系的推导过程教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，教学过程：一、前2天悄悄地听到咱班的X帅和董沐青的一段对话，内容如下：X:我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？董：什么秘密？X:你知道咱们可爱的X老师年龄到底有多大吗？董：哦？X :呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2-12x +35=0的两根的积，回去你把2根求出来

32、就知道了.董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，X老师的年龄啊还是方程x2-35x -200=0的2根的和呢.X:哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出X老师的年龄.【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.二、求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系序号一兀二次方程Xix2X1+X2XlX2(1)X2-5x +6=02356(2)2x2-3x +1=01213212(3)3x2+ x -2=023-1工323【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题，系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.三、引导学生独立证明：Xi 和 x2是一元二次方程 ax2+bx +c =0(a*0, b2-4ac0)Xi+x2=-, XiX2=:注