平面解析几何初.docx

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1、平面解析几何初步考纲导读1 .掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.2 .会用二元一次不等式表示平面区域.3 . 了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用.4 . 了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法.5 .掌握圆的标准方程和一般方程，r解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念.知识网络简单的线性规划直线和圆直线的倾斜角和斜率直线方程的四种形式两条直线的位置关系线和方程圆的标准方程圆的方程|一圆的一般方程_|圆的参数方程高考导航在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直

2、线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率 公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗 透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容 是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现.考查的数学思想方法， 主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等.第1课时 直线的方程基础过关1 .倾斜角:对于,条与X轴相交的直线，把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 a叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0。.倾斜角的范围为. 斜率:当直

3、线的倾斜角a#0。时，该直线的斜率即k=tana；当直线的倾斜角等于90。时，直线的斜率不存在.2 .过两点P1(xi，yi), P2(x2, y2)(Xi#X2)的直线的斜率公式.若x】=X2，则直线的斜率不存 在，此时直线的倾斜角为90。.3 .直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1.已知直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-l.当m=时，直线的倾斜角为45。.当m=_时，直线在X轴上的截距为1.当!：时，直线在y轴上的截距为-2.当1!=时， 2直线与x轴平行.当m=时，直线过原点.解：(1) - 1(2) 2 或一(3)或一2 (4)3

4、(5)-2324变式训练1. (1)直线3y+小x+2=0的倾斜角是 ()A. 30 B. 60 C. 120 D. 150(2)设直线的斜率1=2二|(3,5)/2(*2,7)二(一1,丫3)是直线上的三点，则*2，丫3依次是()A. -3, 4 B. 2, -3 C. 4, -3 D. 4, 3(3)直线h与12关于X轴对称，h的斜率是一巾，则12的斜率是()A. S B. 一4 C. D. 一市(4)直线1经过两点(1, -2) , (-3, 4),则该直线的方程是.解：(1) D.提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是一立.3(2) C.提示：用斜率计算公式上2.为一马(3) A.提示：两

5、直线的斜率互为相反数.(4) 2y+3x+l=0.提示：用直线方程的两点式或点斜式.例 2.已知三点 A (1, -1) , B (3, 3) , C (4, 5).求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明方法一 VA (1, -1) , B (3, 3) , C (4, 5),1 :. k AB=kBc， 3-14-3:.A、B、C三点共线.方法二 VA (1, -1) , B (3, 3) , C (4, 5),/. |AB|=2 V? , |BC|=V5 , |AC|=3 后，.,.|AB|+|BC|=|AC|,即 A、B, C 三点共线.方法三 VA (1, -1) , B (3, 3

6、) , C (4, 5),AB= (2, 4) , BC= (1, 2) , / AB=2C.又.茄与而有公共点B,，A、B、C三点共线.变式训练2.设a, b, c是互不相等的三个实数，如果A (a, a3) , B (b, b3) , C (c, c3)在同一直线 上，求证:a+b+c=O.证明,:A、B、C 三点共线，.kABukAC，-=- 化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2 aba c/. b2-c2+ab-ac=O (b-c) (a+b+c) =0,Va b、c 互不相等，a+b+c=0.例3.已知实数x,y满足y=x22x+2(lWxWl).试求：目的最大值与最小值. x

7、 + 2解：由但的几何意义可知，它表示经过定点P (-2, -3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率x + 2k,如图可知：kPAkl), A M(_, 0) Xq 1Xq 1 Saoqm = : * - V0 4xo= 10- A2 xQ-殉一1= lOI(Xo-l)+一+2 心 40xo-1当且仅当xol =一即x()=2取等号，；.Q(2, 8) x()TPQ 的方程为：I =.x+y 10=08-4 2-6变式训练4.直线1过点M(2, 1),且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B, O为坐标原点.(1)当AAOB的面积最小时，求直线1的方程：(2)当取最小值时,求直线1的方程.解

8、：设 1： y-l=k(x-2)(k a=l,a(a2 -1) w 6故当a=-l时，hb，否则h与b不平行.(2)方法一 当a=l时，h：x+2y+6=0,12：x=0, h与卜不垂直，故a=l不成立.当 al 时，li：y=-y-(a+l) 由(-)H-=a.方法二 由 AiA2+BiB2=0,得 a+2(a-l)=0=a=:.变式训练1.若直线h： ax+4y-20=0, 12： x+ay-b=0,当a、b满足什么条件时，直线h与b分别相交？平行？ 垂直？重合？解：当a=0时，直线h斜率为0, 12斜率不存在，两直线显然垂直。当a和时，分别将两直线均化为斜截式方程为：巾y=-3+5,12

9、：产一 3+ ( Ha d(1)当一一：，即a处2时，两直线相交。a1h(2)当一彳=一二且%-时，即a=2且屏10或a= 2且屏一 10时，两直线平行。 4aa(3)由于方程(一 1)(- 1)= 一1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。a1h(4)当一T =一 且5= 一时，即a=2且b=10或a= 2且b=10时，两直线重合. 4aa例2.已知直线1经过两条直线h： x+2y=0与卜：3x4y10=0的交点，且与直线b： 5x2y+3=0的夹角为工，求直线1的方程. 4解：由= 解得h和b的交点坐标为(2, -1),因为直线b的斜率为k3=4，1与b的夹角为，3x-4y-10 = 024所

10、以直线1的斜率存在.设所求直线1的方程为y+l=k(x-2).5则 tan =4k -k31 + 3= k= 或 k=1,故所求直线 I 的方程为 y+l = ：(x2)或 y+l = T(x2)即 7x+3y+l 1=0 或 3x-7y-13=0变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的座铁塔，如图所示，塔高BC=80 (米)，塔所在的山 高OB=220 (米)，OA=200 (米)，图中所示的山坡可视为直线1,且点P在直线1上，1与水平地面的夹 角为a,tana=；.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角/BPC最大(不计此人的身高)?贝IJA (200, 0) ， B (0, 220

11、) , C (0, 300).直线1的方程为y=(x-200)tana,则产与竺 设点P的坐标为(x,y),则P(X,三)(x200).由经过两点的直线的斜率公式,r-200kpc= 3x2x200 -22017x - 640kpB=x2x由直线PC到直线PB的角的公式得64x160(x200).tanNBPC=卜，-心 =-l + k-kK , , x-800 x-640 x1 -288x + 160x640160 x 6401 + X ,TZoo要使tan/BPC达到最大，只需x+160*640 _2到达到最小,由均值不等式 XX+160 x 640 -2882 7160 x 640 .2

12、88, X当且仅当x=幽侬时上式取得等号.X故当x=320时，tan/BPC最大.这时，点P的纵坐标y为产3201200 =60.由此实际问题知0VNBPCC、,所以tan/BPC最大时，NBPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角NBPC最大.例3.直线y=2x是AABC中NC的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4, 2)、B(3, 1),求点C 的坐标并判断4ABC的形状.解：因为直线y=2x是AABC中NC的平分线，所以CA、CB所在直线关于y=2x对称，而A(4, 2)关 于直线y=2x对称点A必在CB边所在直线上设A/xi，%)则即 A,(4, -2)力一2 、

13、f z = - I X -(-4)乃+2 )阳-4 = 22由A|(4, -2), B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x+y 10=0又由C-.o = o 解得 CQ,4)又可求得：kBc=T, kAC=l ，kBckAc= -1.即4ABC是直角三角形变式训练3.三条直线h： x+y+a=0, 12： x+ay+l=0, 13： ax+y+l=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：aWR且a丹1, a齐2 (提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条 直线都不平行且三线不共点。若1|、卜、或 a=-2。(2)b相交于同一点，则h与b的交点(-a-1, 1

14、)在直线b上，于是a(a-l)+l+l=0,此时a=若 h12，贝(1-1=一，a=l0 (3)若 hb，贝a=lo a若bb， 例4.设点A(3, 5)和B(2, 15),在直线1： 3x-4y+4=0上找一点p,使|出|+| p叫为最小，并求出这个最小值.解：设点A关于直线1的对称点A，的坐标为(a, b),则由AA_L1和AA被1平分，b-5 3,则 | a + 3 4解之得 a=3, b=-3,-3). .,.(|PA|+|PB|)min=|A,B|=5 V13.a-3 , b+5 , 八 34 + 4 = 022：kAB=*=一18.AB的方程为y+3 = 18(x3)解方程组标:4

15、丫 + ：=得pK，3)2-3y+ 3 = -18(x-3)3变式训练4：已知过点A (1, 1)且斜率为一m(m0)的直线1与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作 直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R、S,求四边形PRSQ的面积的最小值.解：设1的方程为y1 = -m(x1),、r 13 + 2m + 一 m又I PR| = cu _ m + iQs-石则 P (1 + _L, o) , Q (0, 1+m)从则直线 PR： x-2y- -=0；直线 QS： x-2y+2(m+1)=0 tntn又 PRQS12m + 2 + 14 |/. | RS |= 小J5而四边形PRSQ为直角梯形，

16、-2 r 1 2 4.3 + 2m + - q i i 0/. SPRSq=-x(=-+)xJ. = l(m+- +-)2-1(2+-)2- -=3.6U 275545 m 4 80 54 80四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.小结归纳1 .处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件.如两直线垂宜时，有两直线斜率都存在和 斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直.2 .注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决.3 .利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到筒捷的解法.4 .解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问

17、题，一般是转化为求 对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4第3课时线性规划基础过关1 .二元一次不等式表示的平面区域.一般地，二元一次不等式Ax+By+CX）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某一侧的所有点 组成的平面区域（半平面）不含边界线，不等式Ax+By+CK）所表示的平面区域（半平面）包括边界线.（2）对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点（x、y）使得Ax+By+C的值符号相同.因此，如果百线Ax + By+C=O 一侧的点使Ax+By+C0,另一侧的点就使Ax+By+C0（或 Ax+By+CXO）所表示的平面区域时，只

18、要在直线Ax+By+C=0的 侧任意取一点（xo, y0）.将它的坐标 代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式， 就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2 .线性规划基本概念名称意义线性约束条件由X、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x、y的约 束条件目标函数关于x、y的解析式如：z=2x+y, znx+y2等线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y的解（x, y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最

19、大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题用图解法解决线性规划问题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件（即不等式组）；建立目标函数；作出可行域和目标函数的 等值线;岁运用图解法即平行移动目标函数等值线,求出最优解.（有些实际问题应注意其整解性）典型例题例1.若AABC的三个顶点为A（3, -1）, B（-l, 1）, C（l, 3）,写出AABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组.解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB： x+2y-l=0, BC： x-y+2=0, CA： 2x+y- 5=0x+2y-l0结合区域图易得不等式组为

20、x-y + 2 202x+y-540变式训练1： AABC的三个顶点为A(2, 4)、B(-l, 2)、C(l, 0),则AABC的内部(含边界)可用二元一 次不等式组表示为.2x-3y + 8 0 4x y 4 01 x - 5 y - 23 0例2.已知X、y满足约束条件 x + 7 y _ 11 0(l)z=2x+y (2) z=4x3yZ = x2+的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分.其中 A(4, 1), B(-l, -6), C(-3, 2) 作与直线2x+y=0平行的直线h： 2x+y=t,则当h经过点A时，t取最大，h经过点B时，t取最小

21、. , Zgx 9 Zmin 13 作与直线4x3y=0平行的直线H 4x-3y=t,则当卜过点C时，t最小，b过点B时，t最大.Zmax=14 Zmin=-18(3)由Z=x?+y2,则4表示点(x, y)到(0, 0)的距离，结合不等式组表示的区域.知点B到原点的距离最大，当(x, y)为原点时距离为0. .,.zmax=37 Zmin=0变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数1=2*y,(1)若在区域上有无穷多个点(x, y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值.(2)若当且仅当x詈 y=g时目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？解：(1)由 t=axy 得 y = axt

22、要使t取得最小时的(x, y)有无穷多个, 则丫=a*一1与AC重合.由 KAcaKi3c 得一a一得.例3.某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假 设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米, 可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在 现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？2x + y 8002x + 7y 0y0解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y,所获利润为z,则:0.18x + 0.09y 720.0

23、8x + 0.28y 0y0则z=6x+ lOy作出可行域如图.j2x + y = 8002x + 7y = 1400x = 35Oy = 100即 M(350, 100)由图可知，当直线1： 6x+10y=0平移到经过点M(350, 100)时,z=6x+10y最大,即当x=350, y=100 时，z=6x+10y 最大.变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面 积分别为2m2和3m2,用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个.问 A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小.解：设A种取

24、x块，B种取y块，总用料为z rr,则L3x + 6”4515-5,z=2x+3y (x、yGN)。节，可行域如图： 最优解为A(5, 5), x=5, y=5时，zmin=25,即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面 积)最省为25m2.例4.预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总 数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？ 设桌椅分别买x、y张，由题意得：x0广点A(半,竽v0v_200,二y由 X = y解得： - 750x + 20y = 2000200y.5xiy = 50x + 20y

25、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，Ai的煤运到B, B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到BI、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？解:设Ai运到BiX万吨，A?运到&y万吨，总运费为z万元，则A|运到Bz(8x)万吨，A?运到B?(18 一y)万吨，z=3x+5(8-x)+7y+8(18-y) =184-2x-y, x、y 满足A + y 20(8-x) + (18-y)160x80 j N (2, 0)，点P为坐标平面内的动点，满足|丽|而|+ MN -7jp=0,求动点P (x, y)的轨迹方程.解由题意：MN = (4. 0) . MP=

26、(x+2,y) , NP= (x-2,y),V|A/N MP+MN - 7jp=0,j4+0* J(x + 2) + y + (x-2) -4+y0=0,两边平方，化筒得，=-8x.例2.在AABC中，A为动点，B、C为定点，BpoLcfpOj且满足条件sinC-sinB=；sinA,则动点A的轨迹方程是A.蹙-黑=1（施） a 15。B J 厢 一3a(xM)C卑竺=（渊）的左支 a 15aa2 3a卬和）的右支答案D变式训练2：已知圆C,： （x+3）2+yM和圆C2： （x-3） 2+/=9,动圆M同时与圆C）及圆C?相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程.解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2

27、分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件，得G|MC|-|AC|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为 |MA|=|MB|, 所以 |MC2HMe |=|BC2|-|ACi|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2, G的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到Ci的距离小），这里a=l,c=3,则b?=8,设点M的坐标为（x,y）淇轨迹方程为x2-=l （x( 1，-yo)=0, x()+ y： =0.-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是yMx.4小结归纳1 .直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等

28、量关系，这个等量关系有的可直接利用 已知条件，有的需要转化后才能用.2 .回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径.3 .所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹.第5课时圆的方程基础过关1 .圆心为C(a、b),半径为r的圆的标准方程为.2 .圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0),圆心为,半径r=3 .二元二次方程Ax+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表不圆的方程的充要条件是.4 .圆C： (x-a)?+(yb)2=r2的参数方程为. x?+y2=r2的参数方程为.5 .过两圆的公共点的圆系方程：设。G： x2+y2+D1x+E1y+F1

29、=0, OC2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 则经凶两圆公共点的圆系方程为.典型例题例1.根据下列条件，求圆的方程.经过A(6, 5), B(0, 1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上.(2)经过P(-2, 4), Q(3, 一 1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6.解：的中垂线方程为3x+2yT5=03x + 2y-15 = 03x + 10y+ 9 = 0解得,=7b=-3二圆心为C(7, -3),半径=病故所求圆的方程为(x7)2+(y+3)2=65(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0将P、Q两点坐标代入得2D-4E-F =20 (D3D-E + F

30、 = -10 令 y=0 得 x2+Dx + F=0由弦长|xlx2|=6 得 d2-4F=36解(D可得 D=2, E4, F= 8 或 D=6, E= 8, F=0故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0变式训练1:求过点A (2, 3) , B (2, 5),且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程.-5(3)1由A (2 3) , B ( 2 5),得直线AB的斜率为1cab= _1_】 =,线段AB的中点为(0, 4),线段AB的中垂线方程为y+4=-2x,即y+2x +4=0,解方程组x = -l=一22x + y + 4 = 0“ 八得x-2y

31、-3=0I.圆心为(一1, 2),根据两点间的距离公式，得半径r=/(2+l)+(3+2尸=0所求圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10例2.1知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y3=0交于P, Q两点，且OP_LOQ (O为坐标原点),求该圆的 圆心坐标及半径.解方法一将x=32y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5/20丫+12+111=0.设P (xby!),Q(X2,y2),则为、丫2满足条件：yi+y2=4,yiy2-.: OP.LOQ,:. XX2+yiy2=0.而 xi=3-2yi,x2=3-2y2.A x1X2=9-6(yi+y2)+4yiy2.；.m

32、=3,此时A0,圆心坐标为,3),半径r=|.方法二 如图所示，设弦PQ中点为M, OiM_LPQ, .%.=2.；.OiM的方程为:y-3=2即：y=2x+4.由方程组.x + 2y -3 = 0解得M的坐标为(-1, 2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1) 2+ (y-2) 2=*.OPJ_OQ, .点O在以PQ为直径的圆上.:.(0+1) 2+ (0-2) y 即 *=5,4=上在 RtAO.MQ 中，OiQ2=O|M2+MQ2.二+ (3-2)2+5= l + (-6 4w/. m=3.，半径为g,圆心为卜；，3).方法三设过P、Q的圆系方程为x +y +x6y+m+ A (x+2y

33、-3)=0.由OPJ_OQ知，点O (0, 0)在圆上.，m-3 2 =0, B|J m=3 2.,圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3 A + A x+2 A y-3 A =0HP x2+(H 2 )x+y2+2( A -3)y=0.圆心Mf,笑又圆在PQ上.-.-11A+2 (3-A ) -3=0, 2/. 2=1 Am=3.圆心为卜匏，半径为今变式训练 2：已知圆 C： (x-1) ?+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+l)x+(m+l)y=7m+4 (mGR).(1)证明：不论m取什么实数，直线1与圆C恒相交；(2)求直线1被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.(1)证明

34、 直线1可化为x+y4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为(3, 1),又有(3-1) 2+ (1-2) 2=525,.点(3, 1)在圆内部，不论m为何实数，直线1与圆恒相交.(2)解 从(1)的结论和直线1过定点M (3, 1)且与过此点的圆C的半径垂直时，1被圆所截的弦长|AB| 最短，由垂径定理得|AB|=2 Vr2-CM: = 2725-( 3-D2-K 1-2)2 = 475.此时，K=-,从而 kt=-!=2. Im zl1-3的方程为 y-l=2(x-3),即 2x-y=5.例3.知点P (x, y)是圆仪+2y+丫2=1上任意一点.(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值： (2)求x-2y的最大值和最