大学线性代数作业答案.docx

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1、第一章行列式1.1 二阶、三阶行列式一、计算下列行列式cos a -sin a,1、 .= cos a+sin a = lsin a cos a2、。*= ab2 ab=0b b2400二、解方程x 34In 1 X 0=00 x 1解：计算行列式得x2-4x+3=0,因此x =1,x =3x-002、 1 x 3=01 23x 3解：计算行列式阳1)23=0,得(1)3-6)=。，因此x = Lx =21.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式2572571、202505707=101-257=034934910310020410312043142、199200395=100-19923

2、95=100-12-5=200030130060030136001303、-111-12-1=84、5、6、123405-1064=2-1888511151I1511I0400040001I81=8-1110=8-045=-2-29=-586将第2、3、4列乘以-1加到第一列得=-8-2-3-4=-192将第2、3、4行全部加到第1行=512将第1行乘以-1加到第2、3、4行-ab ac ae-11bd -cd de=abcdef1-1tf cf -ef11二、计算下列行列式11-1-111第1行加到第2、3行=abcdef=abcdef (-1)=4abedefXy000Xy02、00Xy按

3、第1列展开y00X3、4、h2出000b4b2 % 0=。Q式% -b2b3) bE(a2a3 -b2b3)x y 0y 00=x-Oxy-yx y Q00 xOxy2a +12ci + 32a + 52b + l28+32b + 52c + l2c+32c+ 52d + l2d+ 32d+ 5b1 c2 d2第2列乘以-1加到第3、4列=(a,a4-姑4)(%- b2b3)a2(+1)(。+2)2(4+3)25、b23+1)2+2)2(6+3)2第1列乘以-1加到第2、3、4列c2(c +1)2(c +2(c +3)2d-(d + l(2)2(3)2a224+122b22Hl22c2c+l2

4、2d22d + l2200+(-1严6bCl0b -00a00 han+(-1)n+bn0II 110I 12、1101将第2、3、.、n行全部加到第1行ah0 0(.)ab 000a 0h00 a计算下列n阶行列式:按第1列展开1110rtlnn101=1101111110-10=(n-l)00-1000-1=(-1)111第1行乘以-1加到以下各行01n-范德蒙行列式4、已知1311235I346244726计算 A+ A42和441+ Ai2+ A43+ A44.解：A4l + A42=13112351344467001311130446004470=-4=12将上式设为。441 + A

5、42 + A3 + A44 =1311235I34614471,此式设为可直接计算此行列式结果为3,也可按以下方法来做:题目中的原行列式设为。由行列式的性质得:1234123412341234334433443344=23344156715671567156711221100222211I1)+)=2D2则：D2=1(D + D,)=1(-6+12)=3123x +412x +341x +234X+1234三、解下列方程1、=0123 x+4解：第1行乘以1加到2、3、4行，得-X=0-X123 x+10将1、2、3列加到第4列得0 x 0=00x00x 000将第2、3行交换，1、4行交换后

6、得上三角形行列式，因此x3(x +10)=0,因此x =0, x =-101112、23%=049x2解：此行列式是范德蒙行列式，得(3-2)。一2)。-3)=0因此x =2, x =33、111-1121141xx231511115+151812=0解：由行列式的加法11111111则1248+1248=011415025121 x x2 x3 x x2 x31111再相加1248=0,此行列式为范德蒙行列式13927 X X2(2-1)(3-1)(3-2)(x-l)(x -2)(x-3)=0因此 x = l,x =2,x =31.4克莱姆法则一、解线性方程组1、x+y+z=x+2y+3z

7、2x+4y +9z =3解：D =(2-1)(3-1)(3-2) = 2=4,D、=-1解得x =2、x,2x2+ x3=22X+ jc23x3=1-X+九2一%3解：D =12-1-2111-3-I=一5-2t0-2111-3-15 D-,=12-1-2101-3-1D3=12-1-211-210=-5解得 X=1,%=2, Xj =1二、求一个二次多项式/a),使得/(0)=2,/(1)=3,/(-1)=2.a0 = 21 a =1 21解：设/(幻=g+43+42丁,/(0)=2=%,/(I)=3= a0+ a2,解得 1,01,五、设A =(8+/),证明：A?= A当且仅当5?=/.

8、证：必要性，已知万=4,即(B+/)2=；(8+/),则B2+2B +/=2B +2/,得夕=/.,1,1,111111充分性，已知8?=/,则 A2=-(8+/)2=-B2+-8+-/=/+-8+/=-(8+/)= A,44244242因此A?= A .2.2逆矩阵一、填空题1、设A为三阶方阵，且同=2,则|2A1=4,|A*|=4,=说明：241=214=4,同=忸4=刈限=4,|缶*尸卜|4=；2、设A为3x3矩阵，8为3x3矩阵，|4卜1.|创=-2,则阿小=-8.说明：|b|a|=|b|3|a|=-83、设A为x矩阵，则IAOO是A可逆的充分必要条件.4、已知42=人，且A可逆，则A

9、 =.说明：等式两边同时左乘AT5、A为三阶方阵，其伴随阵为父，已知|A|= g,则la/OTZAb?.说明：|(34尸_2A=|(34尸_2MM=二、选择题1、若由AB = AC必能推出8= C,其中A,仇C为同阶方阵，则4应满足条件(B )(A) AhO (B)|川。0(C) A =0(D)|A|=02、设A,B均为阶方阵，则必有(C )(A)|a+b|=|a|+|b|(b) ab = ba (c)|ab|=|ba|d)(a+b)1= A-1+ b-1三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.1(1) A =3，-2可逆，= 3212；02-1(2) 112-1 -1 -1(

10、- -3 -5、可逆，A-1 =- 11120222、解矩阵方程:1 23 4X(3) 4-1 22 -11 3IX+=1，2%+2尤3=1,七一超=2.q 1112解：系数矩阵为A=022,则1=1-12U T J -111(P-AP)(P-AP)-(P-AP)P-A2mPP IP =1-1因此，B2008 -2A2 =Z-2-1L-12,5矩阵的秩一、填空题I、在秩是r的矩阵中，所有的Nr + l阶子式都2、设 A 是5x4矩阵，R(A)=3, B =10说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩.3、从矩阵4中划去一行得到矩阵B,则R(A),R(3)的秩的关系为R(5)VR(A).

11、4、设 4 =,秩(A) = 3,则k= -3说明：阈=将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子女+ 3伏+ 3)11 k1将第1行乘以-I加到以下各行11110100、=(火+3)=a+3)a-i)3,00 k-10000k-因此当左=1或左=一3时,R(A)01I3-01I3700k 151一104()-3-3300010001_2025_04-430000000032、A = 111-130212 一1 t 3-4 41-I1320-4-11 Fl2To4 J o-144-ii ri5To50-1402 -1-6 500二、求下列矩阵的秩00-1100-1100-1125T0128

12、01281350136001-2，R(A)=31311、A =R(A)=261-502-1-364 O1-364 O1-364061-502019-41-2423、A =TT235-18235-1809-7-98-403-50-403-500-1227110-1064-3-1064-3-02-41-241902-41-2419T,R(A)=408-7-990015787-67002711-12002711-1211三、设4=-11）求|A|；2）求秩（A）（要讨论）.1解：A=12k-k 11 r 1-1-1-1-k-2k 22k -2k1-1k k2-2k12则|=2(k-0 8-85-1)

13、(k-1)=2(k + l)(k-I)2当时，R(4)=3；当上=1时，R(A)=2；12-32-3 2 1-1-1 2 -1 当2=1时,R(A)=1.-12一32212一32A解：A =-321-I矛0885矛+34一12-1AA0 0 0 2/7-104-44+2矛+4A四、讨论矩阵的秩4=矛储当且石。、4=1、尾-；时,R(A)=2；其它情况，A（A）=3.第三章向量3.1向量的概念及其运算1、已知名=(1,-1,0)r,a-,=(0,1,1)7,a3=(3,0,2),求%a, a；+3a；及3al +2a2-a,.ro结果：一291-5-1l_42、已知%=(3,5,7,9),%=(

14、-1,5,2,0),a满足20+3以=%，求a.3、设2(aa)+3(a2+ a)=5(a3 a)，其中=(2,1,3,0), ex2=(1,0,2,1), a3=(0,2,-1,1)求a.结果：f-1(6363)4、写出向量q =(-1,1,0,4),a2=(3,2,2,1),%=(0,-4,5,l),a4=(-2,0,4,3)的线性组合，其中:(1) K =1,%2=0,a3=4,女4=2(2) kt =,k2=3,k3=0,k4=2结果：1)(3-15122)2)(145-14-7)5、已知向量组夕=(8,3,Mg =(-1,2,3,I，a2=(3,-l,0)r,a3=(l,-l,-l)

15、r问：向量夕是否可以由向量出,。2，&3线性表示？若可以，写出其表达式；解：设攵乌+内。2+ k3a3= B(3、(1lkx +3k2+/=8可得方程组：，2ka=3,用克拉默法则可得:、3 kl-k3=-1-1312-1-130i-1382-1330-1D =1.=56dj =-1-1-1= 19, D,=-111 = -15-1k =-19左2 =15& =-56则向量/可以由向量线性表示，-19% +15% -56。3 =3.2线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1) a= 4 ,。= -3 , y =线性相关.包含零向量的向量组都是线性相关的.2) a =线性无关

16、.两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.3)a =1 ，夕=-1 ,7= 11 -1-1 1=一9。0,因此向量组线性无关.4) a=4,/3=-4,/=线性相关.a+夕=/5) a=-1,p=-1,/=1,r1=1线性相关.向量个数大于向量维数，必线性相关.2、填空题1)设向量组四=(1,2,1)7。2=。0,2),&3=(-1,一8,左)7线性相关，则火=2121说明：102=4-2%=0,则后=2-1-8k 2)设向量组0, c),&2=, c,0),&3=(0, a, b)线性无关，则a,c必满足关系式。 cHOa 0 c说明：b c 0= labc 00 a b3)若维单位向

17、量组”2,可由向量组,。2,，火线性表示，则三说明：书72页推论13、选择题1)向量组%,。2,区线性无关的充要条件是(C)(A)向量组6,a2,a,中必有两个向量的分量对应不成比例(B)向量组,&2,a”中不含零向量(C)向量组%,。2,a,中任意一个向量都不能由其余的-1个向量线性表示(D)存在全为零的数人,女2,左”，使得左乌+火2a2+，+长= e2)设4=(1,0,0,/11),6/2=(1，2,0,九2)，&3=(-1,2,3,力3),&4=(一2,1,5,/14)其中4,42,43,44是任意实数，则)(A)向量组11,。2，夕3总线性相关(B)向量组因,12，。3，14总线性相

18、关(C)向量组总线性无关(。)向量组。1,12，。3，&4总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) at,at+a2,。1+12+。3线性无关证明：设+k2(at +a2)+ k3(a1+a2+a3)=0即（人+&+&）+化+勺）。2+%3。3=，由,+2，。3线性无关“1+”2+”3=0自+上=0,即？= o,因此4,外+。？，线性无关.L JL1z 1 L1 X Jk3=0(2) 1-a2,a2-a?，oty-ax 线性相关证法1：设4（火一%）+左2（。2-。3）+&（。3-%）=0即（勺一女3）囚+（右一人）。2+（%3一左2）。3=。，由%,12，。3线性无关h -=0k2-k

19、=0,当K =&=&工0时方程组成立，因此-4，口2-%，。3一线性相关，&一&=0证法2:由（4-&2）+（仁2-。3）+（。3一/）=。，得/一4，&2-&3，03-名线性相关.5、已知=(1,2,3),cx2=(-1,l,4)r,%=(3,3,-21，夕=(4,5,51,问：向量夕能否由向量组a1,a2，。？唯一线性表示？1)解：设 K 2 + 2, 1 + % 3(3(4-2)4、5 ,即方程组5）k 一 k2 + 3k3 42kl + k2 + 3k3 53Z1 + 4k2 2k3 5系数行列式。=-12, D,=-36, D2=12, D3=0因此可由向量组2,a2,a?唯一线性表

20、示，B =3aa3.3向量组的秩1、填空题（1）若7?（%,&2，%,。4）=4，则向量组a?,勾是线性无关说明：由氏（%,12，&3，。4）=4知%,2，。3，夕4线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关.（2）设向量组（/）的秩为7，向量组（）的秩为弓，且（/）三（），则（与的关系为q=弓2、选择题（1）若向量组%,4，,%是向量组小。2,4的极大线性无关组，则论断不F聊的是（B ）(A) a“可由0,=2,火线性表示(B) 6可由/+1,%+2,，氏线性表示(C)名可由名,a2,火线性表示(0 a“可由ar+l, ar+2，,a”线性表示(2)设维向量组q,。2,区的秩141,

21、 u105“2-1-30-9-501-5解：T9 T011-5-40-9-59000、3-6-7)、0-18-10；000,0000%, Of2为极大线性无关组，且CT?=一费0+，2(2) 6=(1,1,2,4),%二(。,3/,2),生=(3,0,7,14),%=(1,2,2,0),%=(2,1,5,10)解:(1-12、403I2307141-2202、159031233121-1042、312；(1000100310010102、100,o01001003I0000102、100,为极大线性无关组，a3=3a1+%，as 2+ a25、已知向量组6=(1,2,-1,31,。2=(2,3

22、,0,11,。3=(3,5,1,11,。4=(2,4,-4次尸，的秩为3,T 23212321232、235401I00110解：1)-1014024-2001-1、311k/、0-5-8k 6)、00-3 k-6.232、0110,k=9001-110009,q232、1012、1003、011001100101(2)一一001-1001-1001-1、0000,0 k000,、000并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.a”里,名为极大线性无关组，a4-3%+ a2一区.6、设维单位向量1,可由维向量组口2,线性表出，证明向量组,。2,a,，线1）求女2）求向量组的一个极大线性无关组,性

23、无关.证明：由维单位向量1,2,”可由维向量组%,。2,，a”线性表出，且维单位向量a,。2,可由维向量组与,J，”线性表出，因此这两个向量组等价，由”2,”的秩为，因此名,二2,a”的秩为，因此名,&2,a”线性无关7、设7?(q,4,&3)=3，4|=2/+3。2，生=4+40(3,4=+5a3,证明：片，夕2，用线性无关.证明：设&L +&,夕,+&月=0，即匕(2%+3%)+取(4+4勾)+%3(6+5a3)=0则(24+&)+(3k+ k2)a2+(4攵2+56)。3=0|2k、+&=02由/?(6,白2，%)=3得：3勺+女2=0，系数行列式314左2+5k3=00因此回，尾，用线性无关.8、设火外乌；(也用乌心(/)q,&205，若各向量组的秩分别为:/?(/)=/?(/)=3, R(/)=4,证明：向量组%一。4的秩为尔证明：反证法，假设向量组0,外,。3，名-&4的秩小于4,由R(1)=3知，区,&2，&3线性无关，根据书69页定理5知：一。4可由6，。2，。3线