考研概率论复习资料.docx

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1、考研概率论复习资料8.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设Al=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个，故 P (A1)=175=(17)5(亦可用独立性求解，下同)55(2)设A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故P (A2)=67=(67)5(3)设A3=五个人的生日不都在星期日 P (A3)=1 P(A1)=1(17)512.50只钾钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只钏钉.若将3只强度太弱的钾钉都

2、装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设人=发生一个部件强度太弱 P(A) CC3/C 1050331196014.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求：(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai=第i批种子中的一粒发芽,(i=l,2)(1)P(A1A2) P(A1)P(A2)0.70.80.562) P(A1 A2)0.70.80.70.80.94(3)P(A1A2 A1A2)0.80.30.20.70.3820.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选

3、一人，此人恰为色盲，向此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设八=此人是男人, B=此人是色盲,则由贝叶斯公式 P(AB) P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA) P(A)P(BA)200.0025210.50.050.50.0528.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设人=产品确为合格品, B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(AB)P(AB)P(B)0.96P(A)P(BA)P(A)P(BA) P(A)P(B

4、A)0.980.040.9980.050.960.9842.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设Ai=杯中球的最大个数为i,i=l,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多C3!3放一球，故P(A1)4348C4431而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故P(A3)116因此 P(A)1 P(A) P(3A)2138116CCC99或 P(A2)4333164161212 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：(1

5、) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；3 3) PX【解】12P, IX32P),(XI32P),X1.2X 0,1,2. P(X 0)C13C31513P(x 1)C2C13C15C13C3151312.35.P(X 2)故X的分布律为(2) 当 x0时，F (x)=P (XWx)=0当0Wxl 时，F (x)=P (XWx)=P(X=O)=2235当 lWx2时,F (x)=P (XWx)=P(X=O)+P(X=1)=故 X 的分布函数3435当 x22时，F (x)=P (XWx)=10,22,35F(x)34,351,(3)x 00 x 11 x 2x 2P(X133434)F(

6、) F(l)0223535) P(X 1) P(1 X32)123534351350.P(1 X P(1 XP(1 X 2) F(2) F(l) P(X 2)16.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有200P(X N)0.01即k N 1C200(0.02)(0.98)kk200 k0.01利用泊松近似 np

7、2000.024 P(X N)e4k!4k0.01查表得N29.故机场至少应配备9条跑道.19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若15超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY21.151 e, x 0【解】依题意知XE(),即其密度函数为f(x)550, x 0x5该顾客未等到服务而离开的概率为P(X 10)k15dx e5k2丫%(5, e),即其分布律为2P(Y k) C5(e)(1 e)k 22,k 0,1,2,3,4,525P(Y 1)1 P(Y 0)1(1 e)0.5167L将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表：5.设随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)=k(6 x y),0,0 x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数 k；(2)求 PXV1, Y3；(3)求 PX1062).【解】U=1000, n=9, S2=1002 tX 1000100/3tP(X 1062) P(t10621000100/3)P(t 1.86)0.05