第1章函数与极限-《高等数学》-电子教案课件.ppt

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1、高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第1章 函数和极限主要内容:一、函数 二、极限 三、函数的连续性一、函 数（一）函数的概念1、变量与常量常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，来表示；变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z,来表示。注意：常量与变量并非是绝对的2、函数的概念设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x是变量y的函数，变量x称为自变量，y又称为因变量，记为：y=f(x)值 域：所有函数值的集合称为函数的值域定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，

2、通常用区间来表示1、定义域由两个方面来确定：注意：2、定义域和对应规律/法则是判断两个函数是否相同的根据 1)根据函数的表达式的意义而确定，称为 自然定义域2)根据问题的实际意义确定例如：（二）函数的几种特性1、单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。例如，圆是多值函数。是单值函数；函数3、函数的奇偶性例如：例如：1.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的关于原点对称 2.判定函数的奇偶性首先看其定义域关于原点对称否 注意4、函数的周期性（三）复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数（四）初等函数1、基本初等函数以

3、上六类函数称为基本初等函数.A.常函数 yOxB.幂函数yOx1 21yOxB.幂函数 yxOoxC.指数函数E.三角函数y1o-1y1o-1E.三角函数E.三角函数F.反三角函数2、初等函数例如：是初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数。二、极 限（一）极限的概念yxO 1、x时函数的极限x时函数的极限定义说明说明比如：对于函数 ，因为：，所以只有 时的极限。对于函数 ，要求 时的极限，需分别讨论 和 的情况。ox从而yxO 2、xx0时函数的极限xx0时函数的极限定义说明yxO 说明也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存

4、在 xy讨论：求 和 的极限。结论：二者定义域不同，但是极限相等，都为2。所以，函数在无定义的点的极限值可能存在，要区别求极限与求函数值。（二）极限的四则运算说明例7 求解：例8 求 时解：因为分母的极限为零，所以不能直接用定理1.1的结论。注意到分子分母都有公因式，可以约去这个不为零的公因式，而所以例9 求即极限都不存在，因此，不能直接用定理1.1的结论。将分子分母都除以解：当，得时，分子分母都趋近于无穷大，例10 求，得解：将分之分母同除以因为所以 例11 求 解：当时，、的极限都不存在，所以不能直接用定理1.1来求解。将被求极限的函数作恒等变形：解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不

5、同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要考虑其左、右极限。例12 设为常数)，求(的值，使存在。（三）两个重要极限（1）（2）或其中是一个无理数。例13 求(为非零常数)。例14 求 解：例15 求 为不为零的常数)。例16 求(例17 求 解：（四）无穷小量与无穷大量1、定义注意讨论：对比无穷小量与无穷小的量，二者是一个概念吗？结论：无穷小量是绝对值可以任意小的量；而无穷小的量是其值可以任意小，但实际上是绝对值可以任意大的负值，比如：当 时就是可以任意小的一个负值。2、相关定理说明说明3、无穷小的比较与阶无穷小的比较与阶三、函数的连续性微积分学所研究的函数主要是连续函数。我们现在要研究的就

6、是用极限来描述函数连续的定义。当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的，只是在某些地方是断开的。例如：-110yx函数在x=0是断开的，在-1，1的其它地方是连续不断的。因此，我们可以认为，如果一个函数的图像在某一区间上是连续不断的，那么就称这个函数在这一区间上是连续的。为了精确地描述函数连续的概念，先引进函数增量的概念。又如：在实数域内都是连续不断的。1、函数的增量说明（一）函数的连续性2、函数连续性的概念因为 总成立，因此有：上式表明：连续函数求极限时，极限符号可以和函数符号交换次序。（式3）（式1）（式2）若函数 在区间 内每一点都连续，则称 在开区间 内连续。若函数 在区间 内每一点都连续，且在区间的左端点右连续（）右端点左连续（），则称 在闭区间 上连续。几何意义：区间上的连续函数为一条没有任何间断的曲线。（三）函数的间断点第一类间断点包括三种情况：以上两种情况称为可去间断点(令 )第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点；或者说左右极限中至少有一个不存在的间断点。包括无穷间断点和振荡间断点。（四）初等函数的连续性例如：（五）闭区间上连续函数的性质几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点，相应地有最大值和最小值。特别的，有如下推论（根的存在定理）至少有一个根