概率论和数理统计之随机变量及其分布53460.pptx
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1、休息休息结束结束本资料来源休息休息结束结束第二章 随机变量及其分布休息休息结束结束2.1 2.1 随机变量随机变量例 电话总机某段时间内接到的电话次数，电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量可用一个变量 X 来描述：来描述：X=0，1，2，随机变量的概念休息休息结束结束例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述:例 考虑考虑“测试灯泡寿命测试灯泡寿命”这一试验，以这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：记灯泡的寿命（以小时计）则：X=t，(t0)休息休息结束结束设 S 是随机试验E的样本空间，若定义定义则称 S
2、上的单值实值函数 X()为随机变量随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，或小写希腊字母，表示休息休息结束结束随机变量 是上的映射，此映射具有如下特点:v 定义域定义域 事件域 S；v 随机性随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值。休息休息结束结束 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件，有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。就可以通过随机变量的关系式表达出来。如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收
3、到的呼叫次数用叫次数用 X 表示，它是一个表示，它是一个随机变量随机变量。收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 没有收到呼叫没有收到呼叫休息休息结束结束 可见，随机事件这个概念实际上是包容可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，在随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。分析中常量与变量的区别那样。休息休息结束结束随机变量分类所有取值所有取值可以逐个可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部
4、可能取值不仅无穷多，而且还不无穷多，而且还不能一一列举。能一一列举。休息休息结束结束例例例例 有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等万户为一开奖组，设特等奖奖2020名，奖金名，奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，奖金万名，奖金4 4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X。2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律休息休息结束结束例例有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等奖万户为一开奖组，设特等奖2020名，奖金名，
5、奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，万名，奖金奖金4 4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X。X 的可能取值为：的可能取值为：04404004000p解：解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.7933.2.006休息休息结束结束 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个，个或可列个，则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量。定义描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布列概率分布列或或分布列
6、分布列X p 即即或休息休息结束结束 概率分布的性质概率分布的性质1)非负性非负性2)正则性正则性概率分布的特征休息休息结束结束例例1 1 一批产品的次品率为一批产品的次品率为8%，从中抽取，从中抽取1件件进行检验，令进行检验，令 写出写出 X 的分布律的分布律.X 的分布律为的分布律为:X p 概率分布图概率分布图:0.080 1 x y0.92 解：解：休息休息结束结束两点分布(01分布)只取两个值的概率分布分布律为：X 1 0pk p 1-p0 p 1或休息休息结束结束应用场合 凡试验只有两个可能结果，常用0 1分布描述，如产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超标等。休
7、息休息结束结束1010件产品中，有件产品中，有3 3件次品，任取两件次品，任取两件，件，X是是“抽得的次品数抽得的次品数”，求分布律。，求分布律。X 可能取值为可能取值为 0，1，2。例例2解：解：休息休息结束结束所以，所以，X的分布律为：的分布律为：X012p7/157/151/15注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。休息休息结束结束例例3 上海的“天天彩”中奖率为p，某人每天买 1 张，若不中奖第二天继续买 1张，直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布律。X=k 表示购买了表示购买了 k 张，张，前前 k-1张都张都未中奖，未中奖，第第 k 张中了奖。张中了奖。几何分
8、布适用于试验首次成功的场合适用于试验首次成功的场合解：解：1 2 3 k-1 k 休息休息结束结束例例4 一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以 X 表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数，求求 X 的的概概率率分分布。布。Ai=第第 i 个路口遇红灯个路口遇红灯 ，i=1，2，3解解:设设依题意，依题意，X 可取值可取值
9、 0，1，2，3。休息休息结束结束 P X=0 =P(A1)=路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1p=1/2 ，休息休息结束结束路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1休息休息结束结束X0123p1/21/41/81/8概率分布：休息休息结束结束二项分布贝努里概型和二项分布例例 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p，生女孩的概率，生女孩的概率为为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个婴儿中中“男孩男孩”的个数。的个数。我们来求我们来求X的概率分布。的概率分布。休息休息结束结束X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩
10、的个个婴儿中男孩的个数，数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X=1X=2X=3X=4休息休息结束结束设试验设试验 E 只有两个结果：只有两个结果：和和 ，记记:将将 E 独立地重复独立地重复 n 次，则称这一串重次，则称这一串重复的独立试验为复的独立试验为 n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)试试验，简称为验，简称为贝努利贝努利(Bernoulli)试验试验休息休息结束结束在在n重贝努利试验中重贝努利试验中，事件，事件A可能发生可能发生0,1,2,n 次次称称 X 服从参数为服从参数为 p 的的二项分布二项分布(binomial)。记作：记作：当当n=1时，时，P(X=k)=pk
11、(1-p)1-k k=0,1 即即0-1分布分布休息休息结束结束（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；且且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。休息休息结束结束 二项分布二项分布 的分布特点：的分布特点：XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在 k=(n+1)p 和和 k=(n+1)p
12、-1 处处达到最大值；达到最大值；当当(n+1)p不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率P(X=k)在在 k=(n+1)p 达到最大值。达到最大值。计算计算休息休息结束结束例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从个次品，现从中中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所个，求在所取的取的3个中恰有个中恰有2个次品的概率。个次品的概率。解解:依题意，依题意，p=0.05设设 X 为所取的为所取的3个中的次品数。个中的次品数。则则 X B(3,0.05),于是，所求概率为于是，所求概率为：计算计算休息休息结束结束例例6设有设有80台台同类型设备，各台工作是相互独同
13、类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是立的，发生故障的概率都是0.01，且一台，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，备维修工人的方法，其一其一是由是由4人维护人维护，每每人负责人负责20台台；其二其二是由是由3人共同维护人共同维护80台台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的及时维修的概率大小概率大小。休息休息结束结束X=第第1人维护的人维护的20台中同一时刻故障台数；台中同一时刻故障台数；Ai：第：第i人维护的人维护的20台故障不能及时维修台故障不能及时维修”（i1，2，3，
14、4）；）；解：解：按第一种方法按第一种方法。而而Xb（20，0.01），故有故有80台中发生故障台中发生故障而不能及时维修的概率为：而不能及时维修的概率为：计算计算休息休息结束结束设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；按第二种方法按第二种方法。0.0169第二种方法优于第一种方法第二种方法优于第一种方法此时Yb（80，0.01），故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：计算计算休息休息结束结束街头赌博街头赌博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验休息休息结束结束PoissionPoission分布分布 例例 单位时间内某电话总机收单位时间内某电话总机收到的呼叫次数用到的呼叫次数用X表示，它是一表示，
15、它是一个离散型随机变量。个离散型随机变量。X=0，1，其中，其中，为常数为常数称称 X 服从服从 参数为参数为 的的Poisson分布分布，记为：，记为：计算计算休息休息结束结束Poisson分布的机理：分布的机理：i.平稳性ii.独立增量性iii.普通性休息休息结束结束x定义 设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数为X 的分布函数。几何意义：Xx2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 休息休息结束结束分布函数的基本性质1.单调性单调性2.有界性有界性3.右连续性右连续性鉴别一个函数是否是某随机变量的分鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。布函数的充分必要条件
16、。休息休息结束结束x 由定义知 X 落在区间(a，b 里的概率可用分布函数来计算：ba休息休息结束结束axaa-xx休息休息结束结束用分布函数表示概率请填空休息休息结束结束解：X 的分布律为 X012p7/157/151/15 例例1 1 求例2中的分布函数 并作图.休息休息结束结束012x 分布函数为 xxxx休息休息结束结束012x1F(x)的图形为:7/157/151/15休息休息结束结束一般情形为:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx休息休息结束结束例2 设随机变量设随机变量 X的分布函数为的分布函数为:试求：（试求：（1）系数）系数 A，B;（2）X落在（落在（-1，1）内的概率）
17、内的概率解：解：由性质由性质休息休息结束结束柯西分布函数休息休息结束结束离散随机变量的分布函数 F(x)是分段阶梯函数，是分段阶梯函数，在在 X 的可能取值的可能取值 xk 处发生间断，处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度在间断点处有跃度 pk休息休息结束结束xyy=f(x)2.42.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度几何几何意义意义xX返回返回休息休息结束结束 对任意实数 x，若随机变量 X 的分布函数可写成：定义定义2.3其中其中 ，则称，则称 X 是是连续型随机变连续型随机变量量，称，称f(x)为为X 的的概率密度函数概率
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