人教A版高中数学必修四1.3三角函数的诱导公式 课件（共2课时）.ppt

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1、1.31.3三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第第1 1课时课时1.sin(2kp p+a a)=sina a 吗吗?余弦和正切呢余弦和正切呢?2.sin(kp p+a a)=sina a 吗吗?sin(kp p-a a)=sina a 吗吗?余余弦和正切呢弦和正切呢?3.诱导公式一是诱导公式一是“2kp p+a a”与与“a a”的三角函的三角函数关系数关系,诱导公式二、三、四分别是哪样的关系诱导公式二、三、四分别是哪样的关系?这些关系式是怎样的这些关系式是怎样的?4.用诱导公式一、二、三、四能解决三角函数用诱导公式一、二、三、四能解决三角函数中哪样的问题中哪样的问题?学习要点学习要点 问

2、题问题 1.前面我们学了一组公式前面我们学了一组公式,只要知道只要知道 a a 的的三角函数值三角函数值,就可求得就可求得 a a+2kp p 的三角函数值的三角函数值.(1)你你还能写出这组公式吗还能写出这组公式吗?(2)类似地类似地,如果知道如果知道 a a 的三的三角函数值角函数值,能求出能求出 p p+a a,p p-a a 的三角函数值吗的三角函数值吗?sin(a a+2kp p)=sina a.cos(a a+2kp p)=cosa a.tan(a a+2kp p)=tana a.诱导公式一诱导公式一:sin(a a+p p)=sina a 成立吗成立吗 问题问题2.a a+p p

3、 的终边与的终边与 a a 的终边有什么位置关系的终边有什么位置关系?两条终边与单位圆的交点的坐标有什么关系两条终边与单位圆的交点的坐标有什么关系?你能你能根据这一坐标关系写出根据这一坐标关系写出 a a+p p 与与 a a 的三角函数关系吗的三角函数关系吗?xyoP1P2a aa a+p p两终边互为反向延长线两终边互为反向延长线,关于原点对称关于原点对称.设设 P1(x,y),则则 P2().-x,-y由三角函数的定义有由三角函数的定义有sina a=y,sin(a a+p p)=-=-y,于是得于是得sin(a a+p p)=-=-sina a.cosa a=x,cos(a a+p p

4、)=-=-x,cos(a a+p p)=-=-cosa a.=tana a.+p p同理同理:p p-a a 的终边的终边与与 a a 的终边关于的终边关于 y 轴对称轴对称,xyoP1P2a ap p-a a设设 P1(x,y),则则 P2().-x,ysina a=y,sin(a a+p p)=y,得得 sin(p p-a a)=sina a.cosa a=x,cos(p p-a a)=-=-x,得得 cos(p p-a a)=-=-cosa a.得得 tan(p p-a a)=-=-tana a.p p-a a同理同理:-a a 的终边与的终边与 a a 的终边关于的终边关于 x 轴对称

5、轴对称,xyoP1P2a a-a a设设 P1(x,y),则则 P2().x,-ysina a=y,sin(-a a)=-=-y,得得 sin(-a a)=-=-sina a.cosa a=x,cos(-a a)=x,得得 cos(-a a)=cosa a.得得 tan(-a a)=-=-tana a.公公式式二二公公式式三三公公式式四四xyoP1P2a aa a+p pxyoP1P2a ap p-a axyoP1P2a a-a asin(p p+a a)=-=-sina a,cos(p p+a a)=-=-cosa a,tan(p p+a a)=tana a.sin(p p-a a)=sin

6、a a,cos(p p-a a)=-=-cosa a,tan(p p-a a)=-tana a.sin(-a a)=-=-sina a,cos(-a a)=cosa a,tan(-a a)=-tana a.利用公式一利用公式一 四四,可把任意角的三角函数转化可把任意角的三角函数转化成成0 90 间的三角函数求值间的三角函数求值.负角变正角负角变正角(公式三公式三),大角化小角大角化小角(公式一公式一),优角用优角用 p p+a a(公式二公式二),钝角用钝角用 p p-a a(公式四公式四).sin(-a a)=-=-sina a,cos(-a a)=cosa a,tan(-a a)=-tan

7、a a.sin(a a+2kp p)=sina a.cos(a a+2kp p)=cosa a.tan(a a+2kp p)=tana a.sin(p p+a a)=-=-sina a,cos(p p+a a)=-=-cosa a,tan(p p+a a)=tana a.sin(p p-a a)=sina a,cos(p p-a a)=-=-cosa a,tan(p p-a a)=-tana a.例例 1.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos225;(2)(3)(4)cos(-2040).解解:(1)cos225=cos(180+45)=-=-cos45(优角化锐角优

8、角化锐角)例例 1.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos225;(2)(3)(4)cos(-2040).解解:(2)(大角化小角大角化小角)(负角化正角负角化正角)例例 1.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos225;(2)(3)(4)cos(-2040).解解:(3)(负角化正角负角化正角)(大角化小角大角化小角)(负角化正角负角化正角)(钝角化锐角钝角化锐角)例例 1.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos225;(2)(3)(4)cos(-2040).解解:(4)cos(-2040)=cos(2040)=cos(

9、6 360-120)(负角化正角负角化正角)(大角化小角大角化小角)=cos(-120)=cos(180-60)(钝角化锐角钝角化锐角)=-=-cos60=cos120(负角化正角负角化正角)例例2.化简化简解解:=1.原式原式=-cosa asina a-sin(a a+180)cos(180+a a)sina a(-cosa a)-cosa asina a=1.将下列三角函数转化为锐角三角函数将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填并填在题中横线上在题中横线上:(1)cos =;(2)sin(1+p p)=;(3)sin =;(4)cos(-70 6 )=.-sin1cos70 6 练习练习

10、练习练习:2.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-420);(2)(3)sin(-1300);(4)解解:(1)cos(-420)=cos420=cos(360+60)=cos60(2)2.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-420);(2)(3)sin(-1300);(4)解解:(3)sin(-1300)=-=-sin1300=-=-sin(3 360+220)=-=-sin220=-=-sin(180+40)=sin40 0.6428.2.利用公式求下列三角函数值利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-420);(2)(3)si

11、n(-1300);(4)解解:(4)3.化简化简:(1)sin(a a+180)cos(-a a)sin(-a a-180);(2)sin3(-a a)cos(2p p+a a)tan(-a a-p p).解解:(1)原式原式=-sina a cosa a-sin(a a+180)=-=-sina a cosa a sina a=-=-sin2a a cosa a.(2)原式原式=-sin3a a cosa a-tan(a a+p p)=-=-sin3a a cosa a(-tana a)=sin4a a.课堂小结课堂小结诱导公式以及应用要点诱导公式以及应用要点sin(-a a)=-=-sin

12、a a,cos(-a a)=cosa a,tan(-a a)=-tana a.sin(a a+2kp p)=sina a.cos(a a+2kp p)=cosa a.tan(a a+2kp p)=tana a.sin(p p+a a)=-=-sina a,cos(p p+a a)=-=-cosa a,tan(p p+a a)=tana a.sin(p p-a a)=sina a,cos(p p-a a)=-=-cosa a,tan(p p-a a)=-tana a.公式一公式一公式二公式二公式三公式三公式四公式四大角变小角大角变小角负角变正角负角变正角优角变小角优角变小角钝角变锐角钝角变锐角小

13、试牛刀小试牛刀 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填并填在题中横线上在题中横线上:(1)cos210 =;(2)sin263 42 =;(3)(4)(5)(6)cos(-104 26)=;(7)tan632 24 =;(8)-cos30-sin83 42-cos75 34-tan87 36 2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos1615 8;(6)解解:(1)2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(

14、2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos1615 8;(6)解解:(2)sin(-1574)=-=-sin1574=-=-sin(4 360+134)=-=-sin134=-=-sin(180-46)=-=-sin46-0.7193.2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos1615 8;(6)解解:(3)sin(-2160 52)=-=-sin2160 52=-=-sin(6 360+52)=-=-

15、sin52-0.0151.2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos1615 8;(6)解解:(4)cos(-1751 36)=cos1751 36=cos(4 360+311 36)=cos311 36=cos(360-48 24)=cos(-48 24)0.6639.=cos48 24 2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos161

16、5 8;(6)解解:(5)cos1615 8 =cos(4 360+175 8)=cos175 8=cos(180-4 52)=-=-cos4 52-0.9964.2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值:(1)(2)sin(-1574);(3)sin(-2160 52);(4)cos(-1751 36);(5)cos1615 8;(6)解解:(6)1.31.3三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第第2 2课时课时 2.有多少个诱导公式有多少个诱导公式,这些公式各有什么作用这些公式各有什么作用?你用什么方法能较好地把它们熟记你用什么方法能较好地把它们熟记?1.的三角函数有什么关

17、系的三角函数有什么关系?与与 a a 呢呢?学习要点学习要点复习复习:请同学们写出四组诱导公式请同学们写出四组诱导公式.公式二公式二公式三公式三公式四公式四sin(p p+a a)=-=-sina a,cos(p p+a a)=-=-cosa a,tan(p p+a a)=tana a.sin(p p-a a)=sina a,cos(p p-a a)=-=-cosa a,tan(p p-a a)=-tana a.sin(-a a)=-=-sina a,cos(-a a)=cosa a,tan(-a a)=-tana a.sin(a a+2kp p)=sina a,cos(a a+2kp p)=

18、cosa a,tan(a a+2kp p)=tana a.公式一公式一 填表填表:a atana acosa asina axyo-111法一法一,用诱导公式计算用诱导公式计算.法二法二,看角的终边位置确定看角的终边位置确定.练习练习:(请同学们填在你的课本上请同学们填在你的课本上)xyoPa a【诱导公式五、六诱导公式五、六】(互余函数公式互余函数公式)问题问题 3.a 的终边与的终边与 a a 的终边的位置关系关的终边的位置关系关于什么对称于什么对称?两条终边与单位圆的交点的坐标是什么两条终边与单位圆的交点的坐标是什么样的关系样的关系?你能根据这一坐标关系写出你能根据这一坐标关系写出 a

19、a 与与 a a 的的三角函数的关系吗三角函数的关系吗?P1P2-a-aa a设设 P(x,y),则则 P1(y,x),P2(-y,x).sina a=y,cosa a=x,公公式式五五公式六公式六例例3.证明证明:(1)(2)证明证明:(1)=-=-cosa a.(2)=-=-sina a.证明证明:(1)(2)证明证明:(1)=-=-cosa a.(2)=sina a.练习练习:sin(-a a)=-=-sina a,cos(-a a)=cosa a,tan(-a a)=-tana a.sin(a a+2kp p)=sina a.cos(a a+2kp p)=cosa a.tan(a a+

20、2kp p)=tana a.sin(p p+a a)=-=-sina a,cos(p p+a a)=-=-cosa a,tan(p p+a a)=tana a.sin(p p-a a)=sina a,cos(p p-a a)=-=-cosa a,tan(p p-a a)=-tana a.为了便于记忆为了便于记忆,在各组公式中在各组公式中,我们把我们把 a a 看作锐看作锐角角,则如图则如图:xyO2kp p+a ap p+a ap p-a a-a a一一象限象限三象限三象限四四象限象限二二象限象限横轴加减横轴加减,同名函数同名函数,象限位置定正负象限位置定正负.为了便于记忆为了便于记忆,在各组

21、公式中在各组公式中,我们把我们把 a a 看作锐看作锐角角,则如图则如图:xyO一一象限象限二象限二象限三三象限象限四四象限象限纵轴加减纵轴加减,互余函数互余函数,象限位置定正负象限位置定正负.例例 4.化简化简解解:原式原式=sin(-a a)(-cosa a)(-sina a)(-cosa a)sina a-sin(p p+a a)-cosa a sin2a a-cosa a sin2a a=-=-tana a.练习练习:1.将下列各函数化成锐角的互余函数将下列各函数化成锐角的互余函数:(1)sin195;(2)cos(-130);(3)2.化简下列各式化简下列各式:(1)(2)1.将下列

22、各函数化成锐角的互余函数将下列各函数化成锐角的互余函数:(1)sin195;(2)cos(-130);(3)解解:(1)sin195=sin(270-75)=-=-cos75.(2)cos(-130)=cos(-90-40)=-=-sin40.(3)解解:(1)原式原式=-tana asina a(-cosa a)+(-cosa a)2=sin2a a+cos2a a=1.2.化简下列各式化简下列各式:(1)(2)解解:(2)原式原式=-=-1.2.化简下列各式化简下列各式:(1)(2)(解题思想解题思想:变为同角变为同角,向向20 靠近靠近)sin20-cos20 的正负的正负?(三角函数线

23、三角函数线)课堂小结课堂小结1.诱导公式五、六诱导公式五、六(互余函数公式互余函数公式)公式五公式五公式六公式六补充公式补充公式:2.公式的记忆公式的记忆xyO2kp p+a ap p+a ap p-a a-a a横轴加减横轴加减,同名函数同名函数,象限位置定正负象限位置定正负.同名函数公式同名函数公式纵轴加减纵轴加减,互余函数互余函数,象限位置定正负象限位置定正负.xyO互余函数公式互余函数公式3.公式应用公式应用xyO2kp p+a ap p+a ap p-a a-a axyO负角化正角负角化正角:(-a a)大角化小角大角化小角:(2kp p+a a)优角化小角优角化小角:(p p+a

24、a)钝角化锐角钝角化锐角:(p p-a a)一象限角化互余一象限角化互余二象限角化互余二象限角化互余三象限角化互余三象限角化互余四象限角化互余四象限角化互余 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在并填在题中的横线上题中的横线上:(1)tan =;(2)tan100 21=;(3)tan =;(4)tan324 32=.解解:(1)(2)tan100 21 =tan(180-79 39)=-=-tan79 39.-tan79 39(3)(4)tan324 32 =tan(360-35 28)=tan(-35 28)=-=-tan35 28.-tan35 28

25、 小试牛刀小试牛刀2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)cos(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.解解:(1)2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)cos(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.解解:(2)2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)cos(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.

26、解解:(3)cos(-1182 13)=cos1182 13=cos(3 360+102 13)=cos102 13=cos(180-77 47)=-=-cos77 47-0.2116.2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)cos(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.解解:(4)sin670 39)=sin(720-49 21)=sin(-49 21)=-=-sin49 21-0.7587.2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)c

27、os(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.解解:(5)2.用诱导公式求下列三角函数值用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器可用计算器):(1)(2)(3)cos(-1182 13);(4)sin670 39;(5)(6)tan580 21.解解:(6)tan580 21 =tan(360+220 21)=tan220 21=tan(180+40 21)=tan40 21 0.8496.3.化简化简:(1)(2)解解:(1)原式原式=sina acos(-a a)sina acosa a=sin2a a.3.化简化简:(1)(2)解解:(2)原式原式=c

28、os2a a-4.化简化简:(1)sin(-1071)sin99+sin(-171)sin(-261);(2)1+sin(a a-2p p)sin(p p+a a)-2cos2(-a a).解解:(1)原式原式=-sin1071 sin99+sin171 sin261=-=-sin(3 360-9)sin(90+9)+sin(180-9)sin(180+81)=sin9 cos9+sin9(-sin81)=sin9 cos9-sin9 sin(90-9)=sin9 cos9-sin9 cos9=0.4.化简化简:(1)sin(-1071)sin99+sin(-171)sin(-261);(2)

29、1+sin(a a-2p p)sin(p p+a a)-2cos2(-a a).解解:(2)原式原式=1+sina a(-sina a)-2cos2a a=1-sin2a a-2cos2a a=1-(sin2a a+cos2a a)-cos2a a=1-1-cos2a a=-cos2a.a.5.求证求证:(1)sin(360-a-a)=-=-sina a;(2)cos(360-a-a)=cosa a;(3)tan(360-a-a)=-=-tana a.(此组结论与诱导公式中此组结论与诱导公式中-a 那一组相同那一组相同,记住有用记住有用)证明证明:(1)sin(360-a a)=sin(-a

30、a)=-=-sina.a.(2)cos(360-a a)=cos(-a a)=cosa.a.(3)tan(360-a a)=tan(-a a)=-=-tana.a.6.计算计算:(1)sin420 cos750+sin(-330)cos(-660);(2)tan675+tan765-tan(-330)+tan(-690);(3)解解:(1)原式原式=sin(360+60)cos(720+30)-sin330 cos660=sin60 cos30-sin(360-30)cos(720-60)=sin60 cos30-sin(-30)cos(-60)=sin60 cos30+sin30 cos60

31、=1.6.计算计算:(1)sin420 cos750+sin(-330)cos(-660);(2)tan675+tan765-tan(-330)+tan(-690);(3)解解:(2)原式原式=tan(720-45)+tan(720+45)+tan330-tan690=tan(-45)+tan45+tan(360-30)=-=-tan45+tan45+tan(-30)-tan(-30)=0.-tan(720-30)6.计算计算:(1)sin420 cos750+sin(-330)cos(-660);(2)tan675+tan765-tan(-330)+tan(-690);(3)解解:(3)原式原式=0.7.已知已知 sin(p p+a a)=计算计算:(1)sin(5p p-a a);(2)(3)(4)解解:(1)sin(5p p-a a)=sina a(2)(3)=-=-sina a(4)