人教A版高中数学必修二 3.2.2 直线的两点式方程课件.ppt

《人教A版高中数学必修二 3.2.2 直线的两点式方程课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修二 3.2.2 直线的两点式方程课件.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.2.2 直线的两点式方程 前面我们学习了直线方程的哪些形式？前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？点斜式：点斜式：y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)斜截式：斜截式：y=kx+by=kx+b 垂直于垂直于x轴的直线：轴的直线：x=x0 垂直于垂直于y轴的直线：轴的直线：y=y0温故知新思考：思考：大家都知道：两点确定一条直线！大家都知道：两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程能否用那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式公式”直接写出来呢？直接写出来呢？例如例如:已知两个点的坐标已知两个点的坐标 P(1,2)

2、,Q(3,5).(1)如何求出经过如何求出经过P,Q两点的直线的方程？两点的直线的方程？(2)由此你还有直线方程的新发现吗？由此你还有直线方程的新发现吗？提出问题直线的两点式方程 设直线设直线l经过两点经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中其中 x1x2，y1y2，则则 (1)直线直线l的斜率是什么？的斜率是什么？(2)你能写出直线你能写出直线l的点斜式方程吗？的点斜式方程吗？(1)斜率：斜率：(2)方程：方程：写成比例式可化为写成比例式可化为 .直线方程的两点式直线方程的两点式:已知直线上两点已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中（其中x1x2,y1y2），

3、如何求出通过这两点的直线方），如何求出通过这两点的直线方程呢？程呢？经过直线上两点经过直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其（其中中x1x2,y1y2）的直线方程叫做直线的）的直线方程叫做直线的两两点式方程点式方程，简称，简称两点式两点式。1 1、直线的两点式方程、直线的两点式方程:垂直于垂直于x轴的直线：轴的直线：x=x0 垂直于垂直于y轴的直线：轴的直线：y=y0说明说明:(1)这个方程由直线上两点确定这个方程由直线上两点确定;(2)当直线当直线没有斜率或斜率为没有斜率或斜率为0时时,不能用不能用两点式求出它们的方程两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到此时方程如何得到?)

4、无法表示垂直无法表示垂直坐标轴的直线坐标轴的直线可以可以2 2、中点坐标公式、中点坐标公式:（1）已知）已知x轴上两点轴上两点P1(x1，0)，P2(x2,0)，则，则线段线段P1P2的中点的中点P0的坐标是什么？的坐标是什么？（2）已知）已知y轴上两点轴上两点P1(0,y1)，P2(0,y2)，则线段则线段P1P2的中点的中点P0的坐标是什么？的坐标是什么？（3）已知两点）已知两点P1(0,y)，P2(x,0)，则线，则线段段P1P2的中点的中点P0的坐标是什么？的坐标是什么？（4）已知两点）已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线则线段段P1P2的中点的中点P0的坐标是什么？的坐

5、标是什么？例例4、三角形的顶点是、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程线的方程.x xy yO O.M M四、例题分析四、例题分析:B B.A A.C C例例3、已知直线、已知直线l与与x轴的交点为轴的交点为A(a,0),与与y轴的交点轴的交点为为B(0,b),其中其中a0,b0,求这条直线求这条直线l的方程的方程.说明说明(1)直线与直线与x轴的交点轴的交点(a,0)的的横坐标横坐标a叫做直线在叫做直线在x轴的截距，轴的截距，此时直线在此时直线在y轴的截距是轴的截距是b;x x

6、 l l B B A A O O y y(3)(3)截距式适用于截距式适用于横、纵截距横、纵截距都都存在存在且都且都不为不为0 0的直线的直线.(2)(2)这个方程由直线在这个方程由直线在x x轴和轴和y y轴的截距确定轴的截距确定,所以叫所以叫做直线方程的做直线方程的截距式方程截距式方程;3 3、直线的截距式方程：、直线的截距式方程：（1）当）当x1=x2时时,直线直线l的方程是的方程是（2）当）当y1=y2时时,直线直线l的方程是的方程是（3）若两点是直线）若两点是直线l与与x轴的交点轴的交点A(a,0),和和 与与y轴的交点轴的交点B(0,b),其中其中a0,b0,则直线则直线l的方程是

7、怎样的？的方程是怎样的？定义：设直线定义：设直线l与与x轴、轴、y轴的交点分别是轴的交点分别是 (a,0),(0,b)，则，则a、b分别叫做直线分别叫做直线 在在x、y轴上的截距轴上的截距.叫做直线的叫做直线的截距式截距式方程方程.x=x1y=y1无法表示垂直无法表示垂直坐标轴和过原坐标轴和过原点的直线点的直线B练一练 2.求经过点求经过点P(2，4)，且在两坐标轴，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程上的截距相等的直线方程.3.求经过点求经过点P(0，5)，且在两坐标轴，且在两坐标轴上的截距之和为上的截距之和为2的直线方程的直线方程.4.4.已知两点已知两点A(-3,4),B(3,2),过点过

8、点P(2,-1)的直线的直线l与与线段线段AB有公共点有公共点.求直线求直线l的斜率的斜率k的取值范围的取值范围.五、小结五、小结直线方程名称直线方程名称 直线方程形式直线方程形式 适适 用用 范范 围围 点斜式点斜式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式不垂直不垂直x轴轴y=kx+b不垂直不垂直x轴轴不垂直两不垂直两个坐标轴个坐标轴不垂直两个坐标不垂直两个坐标轴且不经过原点轴且不经过原点例例1:已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形求这个三角形的三边所在直线的方程以及的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程边上的高线所

9、在直线的方程.分析分析:求直线的方程时要选好方程的形式求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适用范围要注意方程的适用范围.题型一题型一 直线的两点式方程直线的两点式方程解解:如右图如右图,直线直线AC过点过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程由直线的两点式方程得得整理可得整理可得2x+5y-6=0,这就是所求直线这就是所求直线AC的方程的方程.直线直线AB经过经过A(-2,2),B(3,2),由于其由于其纵坐标相等纵坐标相等,可知其方程为可知其方程为y=2,这就是所求直线这就是所求直线AB的方程的方程.直线直线BC经过经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等由于其横

10、坐标相等,可知其方程为可知其方程为x=3,这就是所求直线这就是所求直线BC的方程的方程.由于由于A(-2,2),C(3,0),kAC=由由AC边上的高线与边上的高线与AC垂直垂直,设其斜率为设其斜率为k,则则kkAC=-1,得得根据直线的点斜式方程根据直线的点斜式方程,得得y-2=(x-3),即即5x-2y-11=0,这就是所求的这就是所求的AC边上的高线所在直边上的高线所在直线的方程线的方程.规律技巧规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时当直线与坐标轴平行或重合时,不能不能用两点式用两点式,应作特殊处理应作特殊处理.变式训练变式训练1:已知两点已知两点A(3,2),B(8,12).(1)求出直

11、线求出直线AB的方程的方程;(2)若点若点C(-2,a)在直线在直线AB上上,求实数求实数a的值的值.解解:(1)由直线的两点式方程得由直线的两点式方程得即为即为2x-y-4=0,这就是直线这就是直线AB的方程的方程.(2)点点C(-2,a)在直线在直线AB上上,2(-2)-a-4=0.a=-8.例例2:直线直线l过点过点P(-6，3)，且它在，且它在x轴上的截距是它在轴上的截距是它在y轴轴上截距的上截距的3倍，求直线倍，求直线l的方程的方程.分析分析:设直线设直线l在在y轴上的截距为轴上的截距为b,则在则在x轴上的截距为轴上的截距为3b.因为截距可正因为截距可正,可负可负,可为零可为零,所以

12、应分所以应分b=0和和b0两种情两种情况解答况解答.题型二题型二 直线的截距式方程直线的截距式方程解解:(1)当直线在当直线在y轴上的截距为零时轴上的截距为零时,直线过原点直线过原点,可设可设直线直线l的方程为的方程为y=kx,直线直线l过点过点P(-6,3).3=-6k,k=-.直线直线l的方程为的方程为y=-x,即即x+2y=0.(2)当直线在当直线在y轴上的截距不为零时轴上的截距不为零时,由题意可由题意可设直线设直线l的方程为的方程为又直线又直线l过点过点P(-6,3),解得解得b=1.直线直线l的方程为的方程为 +y=1.即即x+3y-3=0.综上所述综上所述,所求直线所求直线l的方程

13、为的方程为x+2y=0或或x+3y-3=0.变式训练变式训练2:根据条件根据条件,求下列各题中直线的求下列各题中直线的截距式方程截距式方程.(1)在在x轴上的截距为轴上的截距为-3,在在y轴上的截距为轴上的截距为2;(2)在在x轴上的截距为轴上的截距为1,在在y轴上的截距为轴上的截距为-4.例例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为且斜率为-2的直线的直线方程方程.分析分析:依题意知依题意知,截距不为截距不为0,故可设出直线的截距式方程故可设出直线的截距式方程,利用利用待定系数法求解待定系数法求解.题型三题型三 直线方程的应用直线方程的应用规律技巧规律技巧

14、:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式,由于本题由于本题涉及到直线在两坐标上的截距涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截距式方程因此设出了直线的截距式方程.变式训练变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为且斜率为-4的直线的直线l的方程的方程.例例4:已知直线已知直线l经过点经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距且在两坐标轴上的截距相等相等,求直线求直线l的方程的方程.错解错解:错解错解1:由于直线由于直线l的截距相等的截距相等,故直线故直线l的斜率为的斜率为1.若若k=1,则直线方程为则直线方程为

15、:y+2=x-3,即为即为x-y-5=0;若若k=-1,则直线方程为则直线方程为:y+2=-(x-3),即为即为x+y-1=0.易错探究易错探究错解错解2:由题意由题意,直线在两轴上的截距相等直线在两轴上的截距相等,可设直线可设直线的方程为的方程为:由于直线过点由于直线过点(3,-2),则有则有 所以所以a=1.即所求的方程为即所求的方程为x+y-1=0.错因分析错因分析:在上述两种错解中在上述两种错解中,错解错解1忽视了截距的忽视了截距的意义意义,截距不是距离截距不是距离,它可正可负它可正可负,也可以为也可以为0.当当k=1时时,直线直线x-y-5=0在两轴上的截距分别为在两轴上的截距分别为

16、5和和-5,它们它们是不相等的是不相等的.另外另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为的截距均为0时的特殊情形时的特殊情形;错解错解2中中,没有注意到截没有注意到截距式方程的适用范围距式方程的适用范围,同样也产生了漏解同样也产生了漏解.正解正解:解法解法1:依题意依题意,直线直线l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0,设其斜率为设其斜率为k,则可得直线的方程为则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令令x=0,得得y=-2-3k;令令y=0,得得由题意得由题意得-2-3k=3+解得解得k=-1,或或k=所以所以l的方程为的方程为:y+2=-(x-3),或或y+2

17、=(x-3).即为即为x+y-1=0,或或2x+3y=0.解法解法2:设直线设直线l在两轴上的截距均为在两轴上的截距均为a.(1)若若a=0,则直线则直线l过原点过原点,此时此时l的方程为的方程为:2x+3y=0;(2)若若a0,则则l的方程可设为的方程可设为:因为因为l过点过点(3,-2),知知 =1,即即a=1.所以直线所以直线l的方程为的方程为x+y=1,即为即为x+y-1=0.综合综合(1)(2)可知可知:直线直线l的方程为的方程为2x+3y=0,或或x+y-1=0.课堂小结1.两点式、截距式、中点坐标两点式、截距式、中点坐标.2.到目前为止，我们所学过的直线方程到目前为止，我们所学过

18、的直线方程 的表达形式有多少种？它们之间有什的表达形式有多少种？它们之间有什 么关系？么关系？3.要求一条直线的方程，必须知道多少要求一条直线的方程，必须知道多少 个条件？个条件？1.过两点过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是的直线方程是()A.x=5 B.y=2 C.x=2D.x+y=2C2.在在x,y轴上截距分别为轴上截距分别为4,-3的直线方程是的直线方程是()A小试牛刀3.过过(x1,y1)和和(x2,y2)两点的直线方程是两点的直线方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0C4.直线直线

19、ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是与两坐标轴围成的三角形的面积是()Dx=3y=-26.过过(3,0)点与点与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_,纵纵截距为截距为-2且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_.5.直线直线ax-y+a=0(a0)在两坐标轴上截距之和是在两坐标轴上截距之和是()A.a-1B.1-a C.a+1 D.解析解析:令令x=0,得得y=a.令令y=0,得得x=-1,故直线在两坐标故直线在两坐标轴上截距之和为轴上截距之和为a-1.A7.过过(5,7)及及(1,3)两点的直线方程为两点的直线方程为_,若若点点(a,12)在此直线上在此直线上,则则a=_

20、.解析解析:过点过点(5,7)及及(1,3)两点的直线方程为两点的直线方程为即即x-y+2=0.点点(a,12)在在x-y+2=0上上,a-12+2=0.a=10.x-y+2=0108.已知直线已知直线l的斜率为的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之，且在两坐标轴上的截距之和为和为10，求此直线，求此直线l的方程的方程.解法解法1:设直线方程为设直线方程为y=6x+b,令令x=0,得得y=b,令令y=0得得由题意由题意 =10.b=12.所以所求直线方程为所以所求直线方程为6x-y+12=0.9.求斜率为求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的周长为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线的直线l的

21、方程的方程.10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在且在两坐标轴上的截距之和为两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条求这样的直线有几条?12.(上海上海)已知直线已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行平行,则则k的值是的值是()A.1或或3B.1或或5 C.3或或5 D.1或或2解析解析:当当k=3时时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行显然平行;验证当验证当k=1时时,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,显然不平行显然不平行.因此因此,选选C.11.(安徽文安徽文4)过点过点(1,0)且与直线且与直线x-2y-2=0平行的直线方程平行的直线方程为为()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析解析:所求直线可设为所求直线可设为x-2y+c=0.过点过点(1,0),1+c=0,c=-1.所求直线为所求直线为x-2y-1=0.AC