人教A版高中数学必修二 4.1.2 圆的一般方程 课件.pptx

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1、4.1.2 圆的一般方程圆的标准方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a0)特征特征：直接看出圆心与半径温故知新（1，-2）（-2，2）（-a，2）x2y 2DxEyF0把把圆的标准方程圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于由于a,b,r均为常数均为常数结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式2.形如的方程的曲线是不是圆？1.下列方程表示什么

2、图形？下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.圆心为（圆心为（1、-2）半径为半径为2的圆的圆点（点（1、2）不存在不存在将将左边配方，得左边配方，得动脑筋（1）当）当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F0(2)当当D2E24F0时，方程表示一个点时，方程表示一个点；(3)当当D2E24F0时，方程无实数解时，方程无实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如所以形如x2y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程一、一、圆的一般方程

3、：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2+E2-4F0)没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；（1）圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程标准方程标准方程各自特点与联系1、AC0圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、D2E24AF0二元二次方程二元二次方程表示圆的一般方程表示圆的一般方程二元二次方程：二元二次方程：Ax2+BxyCy2DxEyF0表示圆的

4、条件表示圆的条件:(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即x2与y2的系数相等；不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2E24F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可位置关系代数关系点M在圆外x02y02Dx0Ey0F0点M在圆上x02y02Dx0Ey0F0点M在圆内x02y02Dx0Ey0F0练习练习1、判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表

5、示圆的方程,若若能写出圆心与半径能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1，-2）半径）半径3是是圆心（3，-1）半径不是不是不是不是不是不是1.已知圆已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于2.x2+y2-2ax-y+a=0表示圆，则表示圆，则a的取值范围的取值范围是是因为因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上

6、（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2方法一：所求圆的方程为：所求圆的方程为：（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标并求出这个圆的半径和圆心坐标.二、圆的方程的求法二、圆的方程的求法待定系数法例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标程，并求出这个圆的半径和圆心坐

7、标.解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：因为因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（即（x-4）2+（y+3）2=25方法二：F=0D=-8E=6解得待定系数法例例1：求过三点求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.方法三：yxM1(1,1)M2(4,2)0几何方法圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点距离半径：圆心到圆上一点

8、距离注意:用待定系数法求圆的方程时,要根据条件恰当选择圆的方程形式:若知道若知道涉及圆心和半径涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用圆的标准方程求解求解.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程,我们一般采用我们一般采用圆的一般方程求解求解.【变式【变式探究探究】试判断】试判断A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，D(4,3)四点是否在同一圆上四点是否在同一圆上【分析】先求过【分析】先求过A，B，C三点的圆的方程，再三点的圆的方程，再把把D代入圆的方程，看是否成立即可代入圆的方程，看是否成立即可【解】设【解】设A，B，C三点所在圆的方程为三点所在圆的方程为x2y2DxEyF0，把把A，B

9、，C三点的坐标分别代入圆的方程，得三点的坐标分别代入圆的方程，得过过A，B，C三点的圆的方程是三点的圆的方程是x2y22x2y230，将将D(4,3)代入方程，代入方程，适合适合。故故A，B，C，D四点在同一圆上四点在同一圆上解：设点解：设点M的坐标为（的坐标为（x，y），点），点A的坐标为（的坐标为（x0，y0）由于点由于点B的坐标是（的坐标是（4，3），且点），且点M是线段是线段AB的中点，的中点，所以所以，于是有于是有，因为点因为点A在圆（在圆（x+1）2+y2=4上运动，上运动，所以点所以点A的坐标满足方程（的坐标满足方程（x+1）2+y2=4即（即（x0+1）2+y02=4把把代入代

10、入得得整理得整理得所以，点所以，点M的轨迹方程为的轨迹方程为例例2、已知线段、已知线段AB的端点的端点B的坐标是（的坐标是（4，3），端点），端点A在在圆圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的的轨迹方程轨迹方程.三、与圆有关的轨迹问题三、与圆有关的轨迹问题相关点法相关点法【规律总结规律总结】相关点法（代点法）求轨迹方程相关点法（代点法）求轨迹方程：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所在的方程具体步骤如下：在的方程具体步骤如下：设所求轨迹上任意一点设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点，与点Q相关的动点相关

11、的动点P(x0，y0)；根据条件列出根据条件列出x，y与与x0，y0的关系式，求得的关系式，求得x0，y0(即用即用x，y表示出来表示出来)；将将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程满足的关系式即为所求的轨迹方程【变式探究变式探究2】已知一曲线是与两定点已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线曲线.yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直接法直接法课本P124B组T3规律总结：规律总结：求轨迹方程的常用方法：

12、求轨迹方程的常用方法：(1)直接法直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程步：能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下：骤如下：(2)相关点法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点的所在的方程具体步骤如下：设所求轨迹上任意一点Q(x，y)，与点Q相关的动点P(x0，y0)；根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)；将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点Q(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程1、本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为其表达式为3、求轨迹方程的常用方法：、求轨迹方程的常用方法：(1)直接法；直接法；(2)相关点法。相关点法。2、求圆的方程两种方法：、求圆的方程两种方法：(1)几何法；几何法；(2)待定系数法。待定系数法。课堂小结