人教A版高中数学必修二1.1.7 柱、锥、台和球体的体积课件.ppt

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1、1.1.7 柱、锥、台和球体的体积复习回顾复习回顾1.正方体的体积公式正方体的体积公式 V正方体正方体=a3(这里这里a为棱长为棱长)2.长方体的体积公式长方体的体积公式V长方体长方体=abc(这里这里a,b,c分别为长方体长、宽、高分别为长方体长、宽、高)或或V长方体长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高分别表示长方体的底面积和高)等底等高的三角形面积相等等底等高的三角形面积相等等面积法：等面积法：取一摞作业本放在桌面上取一摞作业本放在桌面上(如图所示如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？后的体积是否发生变化？从以上事实中

2、你得到什么启发？从以上事实中你得到什么启发？一一.祖暅原理祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在也就是说，夹在两个平行平面两个平行平面间的两个间的两个几何体，被平行于这两个平面的几何体，被平行于这两个平面的任意平面任意平面所截，如果截得的两个截面的所截，如果截得的两个截面的面积总相等面积总相等，那么这两个几何体的那么这两个几何体的体积相等体积相等.祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的式的基础和纽带基础和纽带，原理中含有三个条件，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在条件一是两个几何体夹在两个平行平两个平行平

3、面面之间；之间；条件二是用条件二是用平行于两个平行平面平行于两个平行平面的任的任何一平面可截得两个平面；何一平面可截得两个平面；条件三是两个条件三是两个截面的面积总相等截面的面积总相等，这，这三个条件缺一不可，否则结论不成立三个条件缺一不可，否则结论不成立.祖冲之（祖冲之（公元公元429年年公元公元500年）是我国杰出的年）是我国杰出的数学数学家家，科学家。南北朝时期人，科学家。南北朝时期人，汉族人，字汉族人，字文远文远。生于宋文。生于宋文帝帝元嘉元嘉六年，卒于齐昏侯永六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。天文历法和机械三方面。祖暅，祖冲之

4、之子，圆满解决了球面积的计算问题，祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出提出“幂势既同则积不容异幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的相等，这就是著名的“祖暅原理祖暅原理”（或刘祖原理）。（或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大

5、利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？体积相等体积相等等高、等截面面积（不受截面形状影响）等高、等截面面积（不受截面形状影响）二二.棱柱和圆柱的体积棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面底面积积S和高和高h的积的积.即即V柱体柱体=Sh.h hh h底面半径是底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算，高为的圆柱体的体积的计算公式是公式是V圆柱圆

6、柱=R2h.将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？1 12 23 31 12 23 3三三.棱锥和圆锥的体积棱锥和圆锥的体积 1.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是是S，高是，高是h，那么它的体积是，那么它的体积是V锥体锥体=Sh.2.如果圆锥的底面半径是如果圆锥的底面半径是R，高是，高是h，则它，则它的体积是的体积是V圆锥圆锥=R2h.四四.棱台和圆台的体积棱台和圆台的体积 1.V台体台体

7、=；其中；其中S、S分别分别为台体上、下底面面积，为台体上、下底面面积，h为台体的高为台体的高.2V圆台圆台=(r2+Rr+R2)h,其中其中r、R分别为圆台的上、分别为圆台的上、下底面的半径，高为下底面的半径，高为h.V柱体=shS=S/S/=0SSSS数数形形五五.球的体积球的体积 V球球=，其中，其中R为球的半径为球的半径.实验:给出如下几何模型给出如下几何模型RR球的体积证明：球的体积证明：步骤步骤拿出圆锥和圆柱将圆锥倒立放入圆柱结论结论:截面面积相等截面面积相等 R则两个几何体的体积相等则两个几何体的体积相等取出半球和新的几何体做它们的截面RRR球的体积计算公式：RS1探究球的表面积

8、：球的表面积：例例1.如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABC D中，用截面截下一个棱锥中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥求棱锥CADD的体积与剩余部分的体的体积与剩余部分的体积之比。积之比。ADCBC/D/B/A/CA/D/DSh例例1.如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABC D中，用截面截下一个棱锥中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥求棱锥CADD的体积与剩余部分的体的体积与剩余部分的体积之比。积之比。解：已知长方体可以看解：已知长方体可以看作是直四棱柱作是直四棱柱ADDABCCB。设底面设底面ADDA的面积的面积是是S，高为，高为h，则它的体积为则它的体积为

9、V=Sh.因为棱锥因为棱锥CADD的底面面积是的底面面积是 S，高是高是h，所以棱锥所以棱锥CADD的体积是的体积是 VCADD=所以所以 棱锥棱锥CADD的体积与剩余部分的体积与剩余部分的体积之比是的体积之比是1：5.例例2有一堆规格相同的铁制有一堆规格相同的铁制(铁的密度是铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽，已知螺帽底面是正六边形，边长为底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径内孔直径为为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约，问这堆螺帽大约有多少个（有多少个（取取3.14，可用计算器）？，可用计算器）？解：六角螺帽的体积是解：六角螺帽的体积是六

10、棱柱的体积与圆柱体六棱柱的体积与圆柱体积之差，积之差，因此约有因此约有 5.8103(7.82.956)252(个个)答：螺帽的个数约为答：螺帽的个数约为252个个.练习题：练习题：1设六正棱锥的底面边长为设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为，侧棱长为 ，那么它的体积为（，那么它的体积为（）（A）6 （B）（C）2 （D）2B2正棱锥的高和底面边长都缩小原来的正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的体积是原来的（，则它的体积是原来的（）（A）（B）（C）（D）B3直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的体积为的体积为V，已知点已知点P、Q分别为分别为AA1、CC1上的点，而上的点，而且满足且满足A

11、P=C1Q，则四棱锥，则四棱锥BAPQC 的的体积是（体积是（）（A）（B）（C）（D）B4把一个大金属球表面涂漆，需油漆把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成，若把这个金属球熔化，制成64个半个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆些小金属球表面涂漆，需用油漆 kg.9.65已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为8，底面周长为，底面周长为6，则它的体积是，则它的体积是 .6一个正方体的所有顶点都在球面上，若一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是这个球的体积是V，则这个正方体的体积是，则这个正方体的体积是 .7.若球的大圆面积扩大为原来的若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则倍，则它的它的 体积扩大为原来的（体积扩大为原来的（）（A）3倍倍 （B）9倍倍 （C）27倍倍 （D）3 倍倍D8.圆台的上、下底面半径和高的比为圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长，母线长10，则圆台的体积为（，则圆台的体积为（）（A）672 （B）224 （C）100 （D）B祖暅原理祖暅原理柱柱、锥锥、台台的的体体积积课堂小结 1.本节主要在学习了柱本节主要在学习了柱,锥锥,台及球体台及球体的体积和球的表面积的体积和球的表面积.2.应用上述结论解决实际问题应用上述结论解决实际问题.