人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教学课件.ppt

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1、2.3 等差数列的前n项和（二）复习回顾复习回顾形式形式1:形式形式2:1、前、前n项和公式项和公式2、在等差数列、在等差数列 an 中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个中的任意三个,可以求出其余两个量可以求出其余两个量.结论：知结论：知 三三 求求 二二解题思路一般是解题思路一般是:建立方程建立方程(组组)求解求解分析：分析：Sn=a1+a2+an，Sn-1=a1+a2+an-1(n2)an=Sn-Sn-1(n2)特别地，当特别地，当n=1时，时，a1=S1例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数

2、列是等差数列吗？的通项公式，这个数列是等差数列吗？解：当解：当n2时，时，当当n=1时，时，a1也满足也满足式式数列数列an的通项公式为的通项公式为这是首项为这是首项为 ，公差为，公差为2的等差数列的等差数列例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？和公差分别是什么？若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=注意注意：（：（1）这种做法适用于所有数列；）这种做法

3、适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验用这种方法求通项需检验a1是否满足是否满足an.例例3变式、已知数列变式、已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？45页探究题页探究题探究：探究：一般地，如果数列一般地，如果数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r，其中其中p、q、r为常数，且为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：当分析：当n=1时，时，a1=S1=p+q+r又又当当n=1时，

4、时，an=2p-p+q=p+q 当且仅当当且仅当r=0时，时，a1满足满足an=2pn-p+q故只有当故只有当r=0时该数列才是等差数列，时该数列才是等差数列，此时首项此时首项a1=p+q，公差，公差d=2p(p0)当当n1时，时，an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q例例4、已已知知一一个个等等差差数数列列的的前前10项项的的和和是是310，前前20项的和是项的和是1220，求该数列前，求该数列前30项的和。项的和。例例4、已知等差数列、已知等差数列 的前的前n项和为项和为Sn，求，求使得使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.解：由题意

5、知，解：由题意知，a1=5，公差，公差d=解解2：由题意知，由题意知，a1=5，公差，公差d=由由得得解得解得7n8 当当n取取7或或8时，时，Sn最大最大例例4、已知等差数列、已知等差数列 的前的前n项和为项和为Sn，求，求使得使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.求等差数列求等差数列an的前的前n项和项和Sn的最值的方法：的最值的方法：（1）利用）利用Sn=pn2+qn进行配方，求二次函数的最值，进行配方，求二次函数的最值，此时此时n应取最接近应取最接近_的正整数值；的正整数值；（2）利用等差数列的增减性及）利用等差数列的增减性及an的符号变化，的符号变化，当当a10，d0时，时，Sn有

6、最大值，有最大值，此时可由此时可由an0且且an+10求出求出n的值；的值；当当a10时，时，Sn有最小值，有最小值，此时可由此时可由an0 且且an+1 0求出求出n的值；的值；注意：当数列中有一项为注意：当数列中有一项为0时，时，n应有两解应有两解.证明：证明：依题意可得依题意可得即即 S6，S12-S6，S18-S12也是等差数列也是等差数列思考：等差数列思考：等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 S6，S12-S6，S18-S12 是等差数列吗？是等差数列吗？一般地，若等差数列一般地，若等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n

7、-S2n，也为等差数列。也为等差数列。练习：练习：1、在等差数列、在等差数列an中，若中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，则则a7+a8+a9=_；2、在等差数列、在等差数列an中，已知中，已知S4=2，S8=7，则，则S12=_；155课堂小结1、利用前、利用前n项和求通项的方法：项和求通项的方法：2、等差数列前、等差数列前n项和的一个重要性质：项和的一个重要性质：S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=一般地，若等差数列一般地，若等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则数列，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，也为等差数列。也为等差数列。3、数列、数列an是等差数列

8、是等差数列练习：在等差数列练习：在等差数列an中，若中，若a2=-18，a4=-10，则该数列，则该数列的前的前n项和项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？何时取得最小值，最小值是多少？解：解：a2=-18，a4=-10a1+d=-18a1+3d=-10解得解得a1=-22，d=4 当当n=6时，时，Sn取最小值取最小值-72思考：思考：在等差数列在等差数列an中，中，Sn为其前为其前n项和，首项项和，首项a1=13，且且S3=S11，求此数列前，求此数列前n项和的最大值。项和的最大值。练习：在等差数列练习：在等差数列an中，若中，若a2=-61，a5=-16，则该数列，则该数列的前的前n项和项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？何时取得最小值，最小值是多少？解：解：a2=-61，a5=-16a1+d=-61a1+4d=-16解得解得a1=-76，d=15 an=a1+(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91令令 ，解得，解得 当当n=6时，时，Sn取最小值，此时取最小值，此时an=15n-910an+1=15(n+1)-910等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：1007