人教A版高中数学必修二3.2.1 直线方程的几种形式 课件.pptx

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1、3.2.1 直线方程的几种形式 复习提问1、直线的斜率定义是什么？、直线的斜率定义是什么？2、直线的斜率公式是什么？、直线的斜率公式是什么？1 1、过已知点、过已知点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)的直线有多少条？过已知点的直线有多少条？过已知点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),),斜率为斜率为k k的直线的直线l l有多少条？由此你可得有多少条？由此你可得出什么结论？出什么结论？2 2、已知直线、已知直线l l经过点经过点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)且直线的斜率为且直线的斜率为k k，如何求直线如何求直线l l的方程？（即直线的方程？（即直线l l上任意一点

2、上任意一点P P（x,yx,y）的坐标满足的关系）的坐标满足的关系）P1（x1,y1)P(x,y)合作探究设点设点 P(x,y)是直线上不同于点是直线上不同于点P1(x1,y1)的任的任意一点意一点,根据经过两点的直线的斜率公式根据经过两点的直线的斜率公式,得得其中其中为直线上一点坐标为直线上一点坐标,k为直线斜率为直线斜率.可化为可化为说明说明:这个方程是由直线上一点和斜率确定这个方程是由直线上一点和斜率确定的的;叫做直线方程的叫做直线方程的点斜式点斜式。一、直线方程的点斜式一、直线方程的点斜式 P1（x1,y1)P(x,y)xOy1.可以验证：直线可以验证：直线L上的每个点的坐标都是这个方

3、上的每个点的坐标都是这个方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在直线程的解，以这个方程的解为坐标的点都在直线L上；所以这个方程就是过点上；所以这个方程就是过点P1斜率为斜率为k的直线的的直线的方程。方程。两种特殊的直线的方程(1)过点A(a,b),且平行于x轴的直线L的方程是y=b.特别地，b=0时，得x轴的方程y=0.(2)过点B(a，b)，且平行于y轴的直线L的方程是x=a。特别地，a=0时，得y轴的方程x=0.xOyaxOyb 例例1.求过点求过点(2，3)且倾斜角为且倾斜角为450 的直线的点斜式方程，并画出直线。的直线的点斜式方程，并画出直线。解：解：直线过点直线过点(2，3)，斜率，

4、斜率 k=tan450 =1 代入点斜式，得代入点斜式，得 y3=x+2 即即 xy+5=0 为所求的直线方程。为所求的直线方程。例 2.已 知 直 线 l过 点 A(2，1)和 B(4，3)，求直线l的方程。解：l的斜率k=2l过点A(2，1)，代入点斜式，得y+1=2(x2)，即:2xy5=0。已知直线L的斜率是k，在y轴上的截距是b，求直线L的方程。因为b是直线L在y轴上的截距，所以直线L过点(0，b)，又知直线的斜率为k，代入点斜式便得出直线L的方程。yb=k(x0)即y=kx+b这个方程(也就是一次函数表达式)是由直线L的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以称为直线方程的斜截式斜截式。

5、二、直线方程的斜截式一条直线与x轴交点的横坐标，叫做这条直线在x轴轴上上的的截截距距；直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。轴上的截距。2.如何求截距？如何求截距？一般地，直线一般地，直线L与与y轴（或轴（或x轴）交点的纵坐标（或横坐轴）交点的纵坐标（或横坐标）叫做直线标）叫做直线L在在y轴（或轴（或x轴）上的截距轴）上的截距.截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；在截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；在此要区分截距和距离，距离必须大于或等于此要区分截距和距离，距离必须大于或等于0，求截距的方法：在直线求截距的方法：在直线L的方程中，的方程中，令令x=0，解出，解出

6、y的值，即得直线的值，即得直线L的纵截距；的纵截距；令令y=0，解出，解出x的值，即得直线的值，即得直线L的横截距；的横截距；说明说明:b为直线为直线l在在y轴上截距；轴上截距；斜截式方程可由过点（斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；）的点斜式方程得到；当当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.例例4：已知直线：已知直线L的方程为的方程为9x-4y=36，则，则L在在y轴上轴上的截距为的截距为()A.9 B.-9 C.-4 D.-4/9例例5：写出斜率为写出斜率为2，在，在y轴上截距为轴上截距为m的直线方的直线方程。程。当当m为何值时，直线通过为何

7、值时，直线通过(1,1)点。点。例例6：已知直线：已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2,试讨试讨论论:（1）l1l2（2）l1l2的条件分别是什么的条件分别是什么?1、一条直线过点P1（-2，3），倾斜角为45，则这条直线的方程是_2、一条直线过点P1(x1,y1），倾斜角为0，则这条直线的方程是_3、一条直线过点P1(x1,y1），倾斜角为90，则这条直线的方程是_4、一条直线过点P1(0,b），斜率为k，则这条直线的方程是_5、直线y=-3x-2的斜率是_，在y轴上的截距是_x-y+5=0y=y1x=x1y=kx+b-3-2理解应用1、方程y-y1=k(x-x1)是由直线

8、上的一点和直线的斜率确定的所以叫直线的点斜式2、方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的所以叫直线的斜截式3、方程y=kx+b方程y-y1=k(x-x1)的特殊情形，运用它们的前提是：直线斜率k存在4、当斜率k不存在时，即直线与轴平行或重合，经过点P1(x1,y1)的方程为:x=x1知识梳理课堂小结方程名称已知条件 直线方程 示意图应用范围点斜式斜截式 求直线方程时，可先将斜率k或截距b作为未知数引入，再根据条件确定k 或 b待定系数法，但要注意讨论斜率是否存在。直线方程的两点式、截距式、一般式.复习回顾 上一节课,我们一起学习了直线方程的点斜式和斜截式,这一节,我们将利用点斜式

9、来推导直线方程的两点式.探究 已知直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)（x1x2）求该直线的方程.推导:因为直线l经过点，并且所以它的斜率.代入点斜式,得,当说明:这个方程由直线上两点确定;当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程.但把两点式化为整式形式(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),就可以表示全体了.讲授新课 1.直线方程的两点式:不包括直线不包括直线 x=xx=x1 1，y=yy=y1.1.局限性 例例1.已知直线已知直线 l 与与x 轴的交点为（轴的交点为（a,0）,与与 y 轴的交轴的交点点 为（为（0,b）,其中其中 ab 0,求直线求

10、直线l 的方程的方程.如果直线与如果直线与x轴交于点（轴交于点（a,0）,则称则称a 为直线在为直线在x轴上轴上的截距的截距（或称为横截距）（或称为横截距）.解解:局限性是什么？局限性是什么？解:因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得:说明:这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式.其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.方程的条件是a0,b0，即两个非零截距，这就是说，截距式方程不能表示过原点的直线，以及与坐标轴平行的直线。例例2.三角形的顶点是三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、）、C（0，2）,求求BC边所在直线的

11、方程边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程以及该边上中线所在直线的方程.解解:直线直线BC过过C(0,2),斜率是斜率是由斜截式得由斜截式得:整理得整理得:即直线即直线BC的方程的方程.说明说明:例例2中用到了直线方程的斜截式与两点式中用到了直线方程的斜截式与两点式,说明了说明了求解直线方程的灵活性求解直线方程的灵活性,应引起注意应引起注意.思考思考1.在在 x 轴上的截距是轴上的截距是 2,倾斜角为倾斜角为 120的直线方程是的直线方程是_.2.直线直线 axb y 1与两坐标轴相交所围成的三角形的与两坐标轴相交所围成的三角形的面积是多少面积是多少?3.若直线若直线 过点过点 P（1

12、，2）且与两坐标轴围成等腰直）且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求此直线的方程角三角形，求此直线的方程.4：写出下列直线的截距式方程：写出下列直线的截距式方程(1)x轴上的截距是轴上的截距是2，y轴上的截距是轴上的截距是3；(2)x轴上的截距是轴上的截距是-5，y轴上的截距是轴上的截距是6；(3)x轴上的截距是轴上的截距是 ，y轴上的截距是轴上的截距是例例4：如图已知点：如图已知点A(2,5)与点与点B(4,-7)，试在，试在y轴上求轴上求一点一点P，使得，使得|PA|+|PB|的值为最小。的值为最小。变式变式：一条光线从点：一条光线从点A(3,2)发出，经发出，经x轴反射，通轴反射，通过过B(

13、-1,6)点，求入射光线和反射光线所在的方程。点，求入射光线和反射光线所在的方程。例例5：求过定点：求过定点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直且在两坐标轴上截距相等的直线方程。线方程。变式变式：求过点：求过点P(4,-3)且在两坐标轴上截距相等的直且在两坐标轴上截距相等的直线有线有_条。条。例例3：求过点：求过点(2,1)和点和点(a,2)的直线方程。的直线方程。在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于表示这条直线的关于 x、y 的二元一次方程。的二元一次方程。在平面直角坐标系中，任何关于在平面直角坐标系中，任何关于 x

14、、y 的二元一次方程的二元一次方程都表示一条直线。都表示一条直线。方程方程 Ax+By+C 0 （其中（其中A、B 不同时为不同时为0）叫）叫做直线方程的做直线方程的一般式一般式.例例1.已知直线经过点已知直线经过点A（6，-4），斜率为），斜率为-4/3，求直线的，求直线的点斜式和一般式方程点斜式和一般式方程.解：过点解：过点A（6，-4）且斜率为）且斜率为 4/3的直线方程的的直线方程的点斜式点斜式是：是：y+4=4/3（x 6）.化成化成一般式一般式，得，得 4x+3y 12=0.例例2.把直线把直线 l 的方程的方程 x 2y+6=0 化成斜截式，求出化成斜截式，求出直线的斜率和它在直

15、线的斜率和它在x轴与轴与y轴上的截距，并画图。轴上的截距，并画图。解：将原方程移项，化解：将原方程移项，化 y的系数为的系数为 1：在方程中令在方程中令 y=0，得直线在，得直线在x轴上的截距是轴上的截距是 6.过点（过点（-6，0）、（）、（0，3）作直线）作直线l.得斜截式方程得斜截式方程 y=x+3.因此，直线的斜率为因此，直线的斜率为 ，它在，它在y 轴上的截距为轴上的截距为 3.思考 直线方程直线方程 Ax+By+C=0 的系数的系数A、B、C 满足什么关系时，满足什么关系时，这条直线有以下性质这条直线有以下性质：1.与两条坐标轴都相交；与两条坐标轴都相交；2.只与只与x 轴相交；轴

16、相交；3.只与只与 y 轴相交；轴相交；4.是是x 轴所在直线；轴所在直线；5.是是y 轴所在直线轴所在直线.答：答：AB0A0，B=0；B0，A=0；B0，A=C=0；A0，B=C=0.想一想 已知点已知点 A（0，1）、）、B（1，0）.若直线若直线 y=k（x+1）与线段）与线段AB 总总有公共点，求有公共点，求 k 的取值范围。的取值范围。名称名称 已知条件已知条件 方程方程 局限性局限性点斜式点斜式 点点P1(x1,y1)和斜率和斜率k y-y1=k(x-x1)不包括不包括y轴和平行于轴和平行于y轴轴的直线的直线 斜截式斜截式 斜率斜率k和和y轴上截距轴上截距 y=kx+b 不包括不

17、包括y轴和平行于轴和平行于y轴轴的直线的直线 两点式两点式 点点P1(x1,y1)和点和点P2(x2,y2)不包括坐标轴以及与坐不包括坐标轴以及与坐标轴平行的直线标轴平行的直线 截距式截距式 在在x轴上的截距轴上的截距a在在y轴上的截距轴上的截距b 不包括过原点的直线及不包括过原点的直线及与坐标轴平行的直线与坐标轴平行的直线 一般式一般式 A、B不同时为零不同时为零 Ax+By+C=0 最终化简的形式最终化简的形式 小结小结1、求倾斜角是直线求倾斜角是直线y=2x-3的倾斜角的的倾斜角的2倍，倍，且分别满足下列条件的直线方程：且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点）经过点(-1,4)（2）

18、在）在y轴上的截距为轴上的截距为-5 2、一条光线从、一条光线从M(5,3)射出，与轴正方向所成射出，与轴正方向所成角为角为60，遇到，遇到x轴后反射轴后反射.(1)求入射光线求入射光线L1和和反射光线反射光线L2所在直线的方程所在直线的方程.（2）求入射光）求入射光线线L1和反射光线和反射光线L2在坐标轴上的截距在坐标轴上的截距(3)将反将反射直绕它与射直绕它与Y轴的交点按逆时针方向旋转轴的交点按逆时针方向旋转150得到直线得到直线L3求直线求直线L3的方程。的方程。理解应用1、已知直线、已知直线L经过点（经过点（1，2）且与两坐）且与两坐标轴围成的三角形的面积为标轴围成的三角形的面积为5，求这条，求这条直线的方程。直线的方程。变式变式1：已知直线已知直线L的斜率为的斜率为2且与两坐标且与两坐标轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为4，求这条直线的，求这条直线的方程。方程。变式变式2:已知直线已知直线L经过点（经过点（1，2）且与且与x轴、轴、y轴轴正半轴于正半轴于A、B两点，当三角形两点，当三角形OA的面积最小时的面积最小时直线直线L的方程。的方程。拓展延伸