人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理课件.pptx

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1、1.1.1 正弦定理 ABC 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角，那么我们能否得到边、角关系准确量化的表示呢？那么我们能否得到边、角关系准确量化的表示呢？ABCABC导入新课ABCabc 研究研究AA，BB，CC，a a，b b，c c之间又怎么样之间又怎么样的数量关系？不妨先从特殊的三角形：直角三角形的数量关系？不妨先从特殊的三角形：直角三角形开始开始.探究新知 在直角三角形在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，再根据正弦函数的定义，ABCabc思考思考 对于锐角三角形与钝角三角形，以上关系是否对于锐角三角

2、形与钝角三角形，以上关系是否仍然成立？下面来看对于锐角三角形的情况仍然成立？下面来看对于锐角三角形的情况.D设边设边ACAC上的高是上的高是BDBD，则由三角函数定义：则由三角函数定义：ABCabcEABCabc同理，在同理，在ABCABC中，做边中，做边BCBC的高的高AE,AE,探究探究 对于钝角三角形，上式仍然成立吗？能否用对于钝角三角形，上式仍然成立吗？能否用其他方法证明呢？其他方法证明呢？向量法可以吗？向量法可以吗？ABC过点过点C作单位向量作单位向量 垂直于垂直于AC,因为因为abc 还有其他还有其他方法吗？方法吗？同理可得同理可得 对于锐角三角形同样可以用这种方法，对于锐角三角形

3、同样可以用这种方法，课下动手做一下吧！课下动手做一下吧！B(c cosA,c sinA)右图右图1,1,以以ABCABC的顶点的顶点A A为原点为原点,边边ACAC所在的射所在的射线为线为x x轴的正半轴建立直角坐标系轴的正半轴建立直角坐标系,顶点顶点B B的坐标是的坐标是(ccosA,csinA).(ccosA,csinA).则则ACAC边上的高边上的高BEBE就是就是B B点的纵坐标点的纵坐标csinA,csinA,于是于是ABCABC的面积：的面积：EOACcabyx图图1 1同样可得同样可得由此由此,我们得到关于任意三角形面积公式我们得到关于任意三角形面积公式:即：三角形的面积等于任意

4、两边与它们夹角的正弦即：三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半的积的一半.正弦定理正弦定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的比相等，即注意它描述了任意三角形中边与角的注意它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系一种数量关系.知识要点BACDOcbBACDOcbaa图图 2 2由图由图2可知，可知，A=D（当（当A 90时），时），A=180-D（当（当A 90时），所以时），所以R R是圆的半径是圆的半径 我们得到关于任意三角形边与角之间的关系的我们得到关于任意三角形边与角之间的关系的另一个重要定理：另

5、一个重要定理：正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即相等，并且都等于外接圆的直径，即 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们和它们的对边的对边a，b，c叫做三角形的元素；叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形（做解三角形（solving triangles）.利用正弦定理可以解决一些怎利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？么样的解三角形问题呢？正弦定理可用于两类：正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任

6、意两个角与一边，求其他两）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边计算其他的角与边.ACB1有两解有两解无无 解解有一解有一解无解无解练一练当当A为锐角为锐角三角形的情况：三角形的情况：当当A为直角或钝角为直角或钝角ABCabab一解一解CAab ab 无解无解 例例2中，中，求求解：根据正弦定理解：根据正弦定理得到得到由三角形内角和可以知道由三角形内角和可以知道由由得到得到例例4 在在ABC中，已知中，已知a=20cm，b=28cm,，解三角形（角度精确到，解三角形（角度

7、精确到 ，边长精，边长精确到确到1cm）解：根据正弦定理，解：根据正弦定理，因为因为所以所以2.2.解斜三角形解斜三角形 1.1.已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两角和任一边，求其它两边和一角；2.2.已知两边及其中一边对角，求另一边的对角已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角及其他的边和角.1.1.正弦定理正弦定理课堂小结1.在在ABC中，中，（）A.B.C.2 D.A 【解析】由正弦定理，【解析】由正弦定理，得得BC ，故选，故选A.小试牛刀2.已知已知ABC中，中，A，B，C的对边分的对边分别为别为a，b，c若若ac，且，且 A75，则（），则（）A2BC D 【解

8、析】本题考查三角函数的基本公式、【解析】本题考查三角函数的基本公式、正弦定理及解斜三角形由正弦定理及解斜三角形由ac，C75，B1807530，又又 ，b，而而sin75sin（3045）,b2，故选，故选A3.在在ABC中，若，中，若，150，BC1，则，则AB.【解析】在【解析】在ABC中因中因 ，C150，A为锐角，为锐角，又又B1，则根据正弦定理，则根据正弦定理AB .4.在在ABC中中,(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则则5.在在ABC中中,A:B:C=4:1:1,则则a:b:c=()A 4:1:1 B 2:1:1 C:1:1 D:1:1 7:5:3 D6.已知已知a=16,b=,A=30,求角求角B，C和边和边c.或或解：由正弦定理：解：由正弦定理：得得,得于是得于是由由得得求求ABC的面积的面积.7.在在ABC中中,若若B=30,AB=,AC=2,ABC解：由正弦定理解：由正弦定理得得，所以，所以