人教A版高中数学必修五2.4等比数列课件(共两课时).pptx
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1、2.4 等比数列第第1 1课时课时操作题操作题1.请同学们写出下面数列请同学们写出下面数列:(1)一种细菌进行分裂繁殖一种细菌进行分裂繁殖,1 个细菌一次分裂成个细菌一次分裂成 2个个,且每分钟分裂一次且每分钟分裂一次,写出写出 1 个这种细菌经过个这种细菌经过 1,2,3,4,分钟后的细菌个数分钟后的细菌个数;(2)一个容器中盛有一个容器中盛有10升某种溶液升某种溶液,每次倒出容器每次倒出容器中溶液的一半中溶液的一半,写出每次倒出后容器中剩余溶液数量写出每次倒出后容器中剩余溶液数量;(3)银行的复利计息方式是银行的复利计息方式是:把前一期的利息加入把前一期的利息加入本金计算下一期的利息本金计
2、算下一期的利息.现存入本金现存入本金10000元元,年利率年利率为为1.98%,写出写出 5 年内各年末的本利和年内各年末的本利和.(1)2,4,8,16,(2)5,(3)10000 1.0198,10000 1.01982,10000 1.01983,10000 1.01984,10000 1.01985.问题问题1.刚才写出的数列是等差数列吗刚才写出的数列是等差数列吗?如果不如果不是是,那么它们有什么共同的特征那么它们有什么共同的特征?根据它们的共同特根据它们的共同特征你想把它们叫做什么数列征你想把它们叫做什么数列?(1)2,4,8,16,(2)5,(3)10000 1.0198,1000
3、0 1.01982,10000 1.01983,10000 1.01984,10000 1.01985.特征特征:各数列中各数列中,每一项与它前一项的比值是一个相等每一项与它前一项的比值是一个相等的数的数.(1)中的比值是中的比值是 2,(2)中的比值是中的比值是(3)中的比值是中的比值是1.0198.每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以 2.每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以 1.0198.定义定义:一般地一般地,如果一个数列从第如果一个数列从第 2 项起项起,每每一项与它的前一项的比等于同一个常数一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个
4、数那么这个数列就叫做列就叫做等比数列等比数列,这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比,公比通常用字母公比通常用字母 q 表示表示 (q0),即即则数列则数列 an 为等比数列为等比数列,常数常数 q 是公比是公比.判断几个数是否成等比数列判断几个数是否成等比数列,看其是否满足看其是否满足 判断以通项表示的数列是否是等比数列判断以通项表示的数列是否是等比数列,看其是看其是否满足否满足(常数常数).(4)不是等比数列不是等比数列,(2)是等比数列是等比数列,(3)是等比数列是等比数列,问题问题 2.下列各数列是否是等比数列下列各数列是否是等比数列?如果是如果是,公公比是多少比是多少?
5、(1)(2)(3)7,7,7,7,(4)0,1,4,16,(1)是等比数列是等比数列,公比公比 q=等比数列的任一项都不能为等比数列的任一项都不能为 0.a2=a1q,【等比数列的通项公式等比数列的通项公式】操作题操作题2.已知等比数列已知等比数列an的首项为的首项为 a1,公比为公比为 q,写出这个数列的写出这个数列的 a2,a3,a4,a5,并由此归纳出并由此归纳出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,猜:猜:an=a1qn-1.等比数列的通项公式等比数列的通项公式:an=a1qn-1 等比数列等比数列 an=a1qn-1 的图象是函数的图象是函数
6、 y=a1qx-1 的图象上的图象上 x 取正整数的点取正整数的点.等比数列的图像等比数列的图像等比中项等比中项:如果在如果在 a 与与 b 中间插入一个数中间插入一个数 G,使使 a,G,b 成成等比数列等比数列,那么那么 G 叫做叫做 a 与与 b 的的等比中项等比中项,G2=ab,等差中项等差中项:如果三个数如果三个数 a,A,b 成等差数列成等差数列,则中间一则中间一个数个数 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差中项等差中项,或或 2A=a+b.例例3.一个等比数列的第一个等比数列的第 3 项和第项和第 4 项分别是项分别是12和和18,求它的第求它的第 1 项与第项与第 2 项项.由
7、等比数列通项公式得由等比数列通项公式得,解解:解关于解关于 a1 与与 q 的方程组的方程组:a3=a1q2=12,a4=a1q3=18,得得将将 q 的值代入的值代入式得式得则则 a2=a1q=8.这个数列的等这个数列的等 1 项是项是 第第 2 项是项是 8.2.4 等比数列第第2 2课时课时 1.等比数列的通项公式是怎样的等比数列的通项公式是怎样的?它是什么它是什么类型的函数类型的函数?2.由通项公式与等比中项能推出等比数列中由通项公式与等比中项能推出等比数列中的哪些项的关系的哪些项的关系?3.怎样用等比数列知识解决某些实际问题怎样用等比数列知识解决某些实际问题?练习练习 (补充补充).
8、一个等比数列的第一个等比数列的第 9 项是项是 公比是公比是 求它的第求它的第 1 项项;第第第第 4 4 题题题题.(课本课本课本课本5353页页页页)习题习题习题习题 2.42.4B B组组组组第第第第 1 1 题题题题.解解:由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得即即解得解得 a1=2916,这个数列的第这个数列的第 1 项是项是 2916.(补充补充).一个等比数列的第一个等比数列的第 9 项是项是 公比是公比是 求它的第求它的第 1 项项;4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an
9、-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结论?解解:(1)a52=(a1q4)2=a12q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=a12q8,a1a9=a1(a1q8)=a12q8,a52=a3a7=a1a9 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结
10、论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结论?解解:(2)an2=(a1qn-1)2=a12q2n-2,an-1an+1=(a1qn-2)(a1qn)=a12q2n-2,an2=an-1an+1 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结
11、论?解解:an2=(a1qn-1)2=a12q2n-2,an-kan+k=(a1qn-k-1)(a1qn+k-1)=a12q2n-2,an2=an-kan+k 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)结论结论:an 是是 an-k 和和 an+k(nk0)的等比中项的等比中项.在等比数列在等比数列an中中,an2=an-1an+1=an-2an+2=an-3an+3=an-kan+k (1)如果某项的序号是另外两项序号和的一半如果某项的序号是另外两项序号和的一半,那么这一项的平方等于另两项的积那么这一项的平方等于另两项的积.2p=m+n,ap2=aman.(2)如果有两项的序号之和等于另
12、两项的序号之如果有两项的序号之和等于另两项的序号之和和,那么这两项的积等于另两项的积那么这两项的积等于另两项的积.p+q=m+n,apaq=aman.B 组组1.已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为 q,求证求证:证明证明:=q(m-1)-(n-1)=qm-n.例例1.某种放射性物质不断变化为其他物质某种放射性物质不断变化为其他物质,每经每经过一年剩留的这种物质是原来的过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这种物质的半这种物质的半衰期为多长衰期为多长(精确到精确到 1 年年)?解解:经过经过 n 年后年后,这种物质的剩留量是原来的这种物质的剩留量是原来的(84%)n=0.84n.公式可
13、知公式可知,各年剩留量成等比数列各年剩留量成等比数列,其中其中a1=0.84,q=0.84,若设原来这种物质的质量为若设原来这种物质的质量为1,由等比数列通项由等比数列通项要使要使 an=0.5,即得即得0.84n=0.5.两边取常用对数得两边取常用对数得 nlg0.84=lg0.5,4.答答:这种物质的半衰期大约是这种物质的半衰期大约是 4 年年.练习练习练习练习课本课本课本课本52535253页页页页第第第第 2 2、5 5 题题题题.2.在利用电子邮件传播病毒的例子中在利用电子邮件传播病毒的例子中,如果第一如果第一轮感染的计算机数是轮感染的计算机数是80台台,并且从第一轮起并且从第一轮起
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