人教A版高中数学必修五3.4 基本不等式课件 课件.ppt

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1、3.4 基本不等式引入新课正方形的面积为：四个直角三角形的面积和为：我们得到一个不等式：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。特别地，如果a0,b0,我们用 ，分别代替a，b，可得到通常，我们把上式写作 以上的不等式是我们从几何图形中的面积关系得出的，以上的不等式是我们从几何图形中的面积关系得出的，能否利用不等式的性质直接推导出来呢？能否利用不等式的性质直接推导出来呢？证明：证明：在圆在圆中，中，AB是圆的直径，点是圆的直径，点C是是AB上一点，上一点，AC=a，BC=b.过点过点C作垂直作垂直

2、于于AB的弦的弦DE，连接连接AD、BD.你能利用你能利用这个图形，得出不等式（这个图形，得出不等式（*）的几何解释吗？）的几何解释吗？ABCDEab合作探究2.几何意义：几何意义：半弦半弦长小于等于半径长小于等于半径（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）1.1.思考思考:如果用如果用 去替换去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?必须要满足什么条件必须要满足什么条件?3.代数意义：代数意义：几何几何平均数小于等于算术平均数平均数小于等于算术平均数算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数探究新知构造条件构造条件例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.变变3:若若 ,求求 的

3、最小值的最小值.变变1:若若 求求 的最小值的最小值变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式均值定理：均值定理：已知已知x,y都是正数，（都是正数，（1）如果积）如果积xy是定值是定值P，那么那么当当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值 ；（；（2）如果和）如果和x+y是定值是定值S，那么当那么当x=y时

4、，积时，积xy有最大值有最大值条件说明：条件说明：1、函数式中各项必须都是正数、函数式中各项必须都是正数.2、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）.3、等号成立条件必须存在、等号成立条件必须存在.“一正二定三等一正二定三等”，这三个条件缺一不可，这三个条件缺一不可.【例例3】(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆长 是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：解：(1)设矩形菜园的长为

5、x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0 x18,解：解：其面积为:当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.【例例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题

6、转化，即建立分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。定理。解：解：设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得当时y有最小值297600所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元1.(1)已知 ，求函数 的最大值。(2)已知 ，且 ，求 的最小值。小试牛刀2.求 函数的值域。3.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四 角分别截去一个小正方形，然后做成一个无盖的水箱，问 水箱边长取多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？(1)函数的解析式中，各项均为正数；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；课堂小结