人教A版高中数学必修五2.3 等差数列的前n项求和公式第1课时课件.ppt

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1、2.3 等差数列的前n项求和公式1、等差数列的通项公式2、等差数列的性质数列a中m+n=p+q，则am+an=ap+aq若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d 当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项温故知新 分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？问题：问题：123100？首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：引入新课高斯的问题，可以看成是求等差数列高斯的问题，可以看成是求等差数列 1 1，2 2，3 3，n n，

2、的前的前100100项的和，求项的和，求:1+2+3+4+:1+2+3+4+n=?+n=?如果令如果令 Sn=1+2 +3 +.+（n-2）+（n-1）+n颠倒顺序得颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+.+3 +2 +1则则 将两式相加将两式相加 2S 2Sn n=（1+n1+n）+（2+n-12+n-1）+.+.+（n+1n+1）下面下面对等差数列前等差数列前n项公式公式进行推行推导设等差数列设等差数列 a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由由(1)+(2)得得

3、 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 公式推导如果代入等差数列的通项公式如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，S Sn n也可也可以用首项以用首项a a1 1和公差和公差d d表示，即表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是或例例1 1 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？例例2 2 已知一个等差数列an的前

4、10项的和是310，前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例例3 3 求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.例题讲解解解：将题中的等差数列记为an，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6(10)=4设数列的前n项和为54，即Sn=54根据等差数列的前n项求和公式代入Sn=54，a1=10，d=4整理得，n26n27=0解得n1=9,n2=3(舍去)因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.解解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220根据等差数列的前n项求和公式得解得 a1=4，d=6因此，等差数列

5、的前n项和的公式是将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)3=3n2+n解解:根据题意，由7n100 得 n1007由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个.即7,14,21,91,98这是一个等差数列,各项的和是因此，集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735由于 Sn=n(a1+an)/2 整理可得 Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均为已知数若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn将等差数列的前将等差数列的前n项和公式写成上项和公式写成上述形式述形式,有利于求其前有利于求其前n项和的极值项和的极值:a10 a10,d0极大值 无 有极小值 有 无nsnnsna10,极小值极小值 a10,d0,S0,S11110,0,则求使则求使a an n00的的n n的最小值的最小值小试牛刀