32同角三角函数关系及诱导公式.ppt

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1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2.2.能能进进行弧度与角度的互化行弧度与角度的互化.3.3.理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定的定义义.4.4.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：1.1.三角函数的定三角函数的定义义及及应应用是本用是本节节的考的考查查重点重点.2.2.同角三角函数关系式常用来化同角三角函数关系式常用来化简简、求、求值值,常与其他三角函数知常与其他三角函数知识识相相结结合考合考查查，

2、是高考的，是高考的热热点点.3.3.主要以主要以选择题选择题、填空、填空题题的形式考的形式考查查，难难度不大，属低档度不大，属低档题题.1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)定定义义：角可以看成平面内的一条射：角可以看成平面内的一条射线绕线绕着它的着它的_从一个位从一个位置置_到另一个位置所成的到另一个位置所成的图图形形.(2)(2)分分类类：_、_、_._.(3)(3)终边终边相同的角：相同的角：与角与角终边终边相同的角可构成集合相同的角可构成集合S=|=S=|=+_._.端点端点旋转旋转正角正角负角负角零角零角 k k360360,kZ,kZ【即时应用即时应用】(1)(1)思考：角思

3、考：角为锐为锐角是角角是角为为第一象限角的什么条件？第一象限角的什么条件？提示：提示：充充分不必要条件分不必要条件.因为锐角为大于因为锐角为大于0 0小于小于 的角，而第一的角，而第一象限角的范围为象限角的范围为(2)(2)若若是第二象限角，判断下列表述是否正确是第二象限角，判断下列表述是否正确.(.(请请在括号内填在括号内填“”或或“”)|=k|=k360360+45+45，kZ ()kZ ()|90|90180180 ()()|k|k360360+90+90k k360360+180+180，kZ ()kZ ()|=k|=k180180+135+135,kZ (),kZ ()【解析解析】=

4、k=k360360+45+45，kZkZ表示的是与表示的是与4545终边相同终边相同的角，是第一象限的角，故不正确的角，是第一象限的角，故不正确.9090180180,不能表示所有第二象限的角，故不正确不能表示所有第二象限的角，故不正确.正确正确.=k=k180180+135+135表示的是当表示的是当k k为偶数时，与为偶数时，与135135终边相同终边相同的角；当的角；当k k为奇数时，与为奇数时，与315315终边相同的角，不能表示第二象终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确限的角，故不正确.答案：答案：2.2.弧度的定弧度的定义义和公式和公式(1)(1)定定义义：长长度等于度等于

5、_的弧所的弧所对对的的圆圆心角叫做心角叫做1 1弧度的角弧度的角.弧弧度度记记作作rad.rad.半径长半径长(2)(2)公式公式角角 的弧度数公式的弧度数公式=_（弧长用（弧长用l表示）表示）角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1=_rad=_rad弧长公式弧长公式弧长弧长l=_扇形面积公式扇形面积公式S=_S=_=_=_1rad=(_)1rad=(_)【即时应用即时应用】(1)337(1)3373030的弧度数是的弧度数是_._.(2)(2)的度数的度数为为_._.(3)(3)扇形半径扇形半径为为4545，圆圆心角心角为为120120，则则弧弧长为长为_._.【解析解析】(1)337(1)

6、3373030表示的弧度数为表示的弧度数为(2)(2)的度数为的度数为(3)(3)圆心角圆心角120120的弧度数为的弧度数为 故弧长故弧长l=答案：答案：(1)(2)75(1)(2)75 (3)30 (3)303.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定定义义：设设角角终边终边与与单单位位圆圆交于交于P(x,y)P(x,y)，则则sin=_sin=_，cos=_cos=_，tan=_.tan=_.y yx x(2)(2)几何表示几何表示:三角函数三角函数线线可以看作是三角函数的几何表示可以看作是三角函数的几何表示.正弦正弦线线的起点都在的起点都在x x 轴轴上上,余弦余弦线线的起点

7、都是原点的起点都是原点,正切正切线线的起点都的起点都是是(1,0).(1,0).如如图图中有向中有向线线段段MPMP，OMOM，ATAT分分别别叫做角叫做角的的_，_和和_._.正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线(3)(3)诱导诱导公式公式(一一)sin(+ksin(+k2)=_2)=_；cos(+kcos(+k2)=_2)=_；tan(+ktan(+k2)=_.(kZ)2)=_.(kZ)(4)(4)同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:_,:_,商数关系商数关系:_.:_.sinsincoscostantansinsin2 2+cos+cos2 2=1=1【即时应用

8、即时应用】(1)(1)已知角已知角终边终边上一点上一点A(2,2)A(2,2)，则则tan=_.tan=_.(2)(2)若若tan=2tan=2，则则 =_.=_.【解析解析】(1)tan=(1)tan=(2)(2)又又tan=2tan=2，答案：答案：(1)1 (2)(1)1 (2)弧度制的弧度制的应应用用 【方法点睛方法点睛】弧度制的弧度制的应应用用(1)(1)引引进进弧度制后，弧度制后，实现实现了角度与弧度的相互了角度与弧度的相互转转化，在弧度制下化，在弧度制下可以可以应应用弧用弧长长公式：公式：l=r|=r|，扇形面，扇形面积积公式：公式：求弧求弧长长和扇形的面和扇形的面积积.(2)(

9、2)应应用上述公式用上述公式时时,要先把角要先把角统统一用弧度制表示一用弧度制表示.利用弧度制比利用弧度制比角度制解角度制解题题更更为简为简捷、方便捷、方便.【提醒提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.【例例1 1】已知扇形的已知扇形的圆圆心角是心角是，半径，半径为为R R，弧，弧长为长为l.(1)(1)若若=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧求扇形的弧长长l.(2)(2)若扇形的周若扇形的周长为长为20 cm20 cm，当扇形的，当扇形的圆圆心角心角为为多少弧度多少弧度时时，这这个扇形的面个扇形的面积积最大？最大？(3

10、)(3)若若=R=R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面，求扇形的弧所在的弓形的面积积.【解题指南解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)利用利用S S弓弓=S=S扇扇-S-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.【规范解答规范解答】(1)(1)l=(2)(2)由已知得：由已知得：l+2R=20,+2R=20,所以所以

11、S=S=10R-R=10R-R2 2=-(R-5)=-(R-5)2 2+25+25，所以所以R=5R=5时，时，S S取得最大值取得最大值2525，此时，此时l=10=10，=2 rad.=2 rad.(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S S弓弓.由题知由题知l=【反思反思感悟感悟】1.1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式l=、扇形面积公式、扇形面积公式S=S=有着必然的内在联系有着必然的内在联系.2.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形所在的三

12、角形.三角函数的定三角函数的定义义【方法点睛方法点睛】1.1.三角函数定三角函数定义义的理解的理解在直角坐在直角坐标标系系xOyxOy中，中，设设P(x,y)P(x,y)是角是角终边终边上任意一点，且上任意一点，且|PO|PO|r r，则则2.2.定定义义法求三角函数法求三角函数值值的两种情况的两种情况(1)(1)已知角已知角终边终边上一点上一点P P的坐的坐标标，则则可先求出点可先求出点P P到原点的距离到原点的距离r r，然后利用三角函数的定，然后利用三角函数的定义义求解求解.(2)(2)已知角已知角的的终边终边所在的直所在的直线线方程，方程，则则可先可先设设出出终边终边上一点的上一点的坐

13、坐标标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义义求解求解相关的相关的问题问题.若直若直线线的的倾倾斜角斜角为为特殊角，也可直接写出角特殊角，也可直接写出角的三的三角函数角函数值值.【例例2 2】已知角已知角的的终边终边在直在直线线3x+4y=03x+4y=0上，求上，求sin,cos,sin,cos,tantan的的值值.【解题指南解题指南】在直线上设出点，求出所设点到原点的距离，求在直线上设出点，求出所设点到原点的距离，求得三角函数值，因为所设点可在不同象限，所以需要讨论得三角函数值，因为所设点可在不同象限，所以需要讨论.【规范解答规范解答】

14、角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,r=|PO|=r=|PO|=当当t t0 0时，时，r=5t,r=5t,当当t t0 0时，时，r=-5t,r=-5t,综上可知，综上可知，或或【反思反思感悟感悟】1.1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角若是角的终边落到一条直线上，一般要分类讨论的终边落到一条直线上，一般要分类讨论.2.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系任意角的三角函

15、数与锐角三角函数的关系.(1)(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r r”同为正值同为正值.(2)(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三它也适合锐角三角函数的定义角函数的定义.(3)(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角

16、函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程由特殊到一般的认识和研究过程.同角三角函数关系式的同角三角函数关系式的应应用用【方法点睛方法点睛】同角三角函数关系式的同角三角函数关系式的应应用用(1)(1)同角三角函数关系式的基本用途：同角三角函数关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数根据一个角的某一个三角函数值值，求出，求出该该角的其他三角函数角的其他三角函数值值；化化简简同角三角函数式；同角三角函数式；证证明同角的三角恒等式明同角的三角恒等式(2)(2)注意公式的逆用和注意公式的逆用和变变形形应应用：用：1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2，sinsin2 2=1-cos1-co

17、s2 2，coscos2 2=1-sin=1-sin2 2，sin=cossin=costan.tan.【例例3 3】已知已知(1)(1)求求sinx-cosxsinx-cosx的的值值；(2)(2)求求tanxtanx的的值值.【解题指南解题指南】(1)(1)利用平方关系，把已知两边平方得利用平方关系，把已知两边平方得2sinxcosx2sinxcosx，再把，再把sinx-cosxsinx-cosx平方求得平方求得(sinx-cosx)(sinx-cosx)2 2，再根据，再根据x x的范围得的范围得sinx-cosx.sinx-cosx.(2)(2)由由sinx+cosxsinx+cos

18、x和和sinx-cosxsinx-cosx求得求得sinxsinx，cosxcosx，再利用商式关，再利用商式关系求得系求得tanx.tanx.【规范解答规范解答】(1)(1)由由sinx+cosx=sinx+cosx=平方得平方得sinsin2 2x+2sinxcosx+cosx+2sinxcosx+cos2 2x=x=即即2sinxcosx=2sinxcosx=(sinx-cosx)(sinx-cosx)2 2=1-2sinxcosx=1-2sinxcosx=又又 x x0 0，sinxsinx0 0，cosxcosx0 0，sinx-cosxsinx-cosx0 0，故，故sinx-co

19、sx=sinx-cosx=(2)(2)由由(1)(1)得得sinx-cosx=sinx-cosx=故由故由 得得【反思反思感悟感悟】1.1.在利用同角三角函数关系式解题时，变形非在利用同角三角函数关系式解题时，变形非常关键，同时常关键，同时“1 1”的代换也经常巧妙地用在里面，使问题得的代换也经常巧妙地用在里面，使问题得以解决以解决.2.2.有些题目还用到方程思想，函数思想有些题目还用到方程思想，函数思想.【易错误区易错误区】同角三角函数平方关系的同角三角函数平方关系的应应用用误误区区 【典例典例】(2011(2011重重庆庆高考高考)若若cos=cos=且且则则tan=_.tan=_.【解题

20、指南解题指南】根据角所在的范围，先求出根据角所在的范围，先求出sinsin的值，再根据的值，再根据商数关系求出正切值商数关系求出正切值.【规范解答规范解答】因为因为 cos=cos=所以所以 所以所以tan=tan=答案：答案：【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示 求解本题时，常会出现以下两种失误：求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)(1)易忽视题目中已知条件易忽视题目中已知条件的范围，求得的范围，求得sinsin的两的两个值而致错个值而致错.(2)(

21、2)虽注意到虽注意到的范围，但判断错的范围，但判断错sinsin的符号而导致的符号而导致tantan的值错误的值错误.备备考考建建议议由同角三角函数的平方关系求由同角三角函数的平方关系求sinsin或或coscos时，要注时，要注意以下两点：意以下两点：(1)(1)题目中若没有限定角题目中若没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符号应有两种情况，不可漏掉的符号应有两种情况，不可漏掉.(2)(2)若已给出若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内的范围，则要准确判断在给定范围内sinsin或或coscos的符号，不合题意的一定要舍去的符号，不合题意的一定要舍去.1.(2011

22、1.(2011新新课标课标全国卷全国卷)已知角已知角的的顶顶点与原点重合，始点与原点重合，始边边与与x x轴轴的正半的正半轴轴重合，重合，终边终边在直在直线线y=2xy=2x上，上，则则cos2=()cos2=()【解析解析】选选B.B.由题意知，由题意知，tan=2tan=2，即，即sin=2cossin=2cos，将其代，将其代入入sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中可得中可得coscos2 2=故故cos2=2coscos2=2cos2 2-1=-1=2.(20112.(2011上海高考上海高考)若三角方程若三角方程sinx=0sinx=0与与sin2x=0sin2x=0的

23、解集分的解集分别别为为E E，F,F,则则()()(A)E(A)E F (B)E F (B)E F F(C)E=F (D)EF=(C)E=F (D)EF=【解析解析】选选A.A.因为因为sinx=0sinx=0，sin2x=0sin2x=0，所以角，所以角x x和角和角2x2x的终边都的终边都在在x x轴上，所以轴上，所以E=x|x=k,kZE=x|x=k,kZ，F=x|x=kZF=x|x=kZ，所以，所以E E F.F.3.(20113.(2011江西高考江西高考)已知角已知角的的顶顶点点为为坐坐标标原点，始原点，始边为边为x x轴轴的正半的正半轴轴，若，若P(4,y)P(4,y)是角是角终边终边上一点，且上一点，且sin=sin=则则y=_.y=_.【解析解析】由由P(4P(4，y)y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且sin=sin=可知可知y y0 0，|OP|=|OP|=根据任意角的三角函数的定义得根据任意角的三角函数的定义得 化简得化简得y y2 2=64=64，解得，解得y=-8.y=-8.答案：答案：-8-8