向量线性相关性.ppt

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1、关于向量的线性相关性第一张，PPT共十页，创作于2022年6月6.3.1 6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义1 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量，个向量，是是数域数域F中任意中任意r个数个数.我们把和我们把和叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合.如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的线的线性组合，我们也说性组合，我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性表线性表示，因为示，因为第二张，PPT共十页，创作于2022年6月6.3.2 6.3.2 线性相关与线性无关线性相

2、关与线性无关定义定义2 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量。如果存在个向量。如果存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得使得（1）那么就说那么就说 线性相关线性相关.如果不存在如果不存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得等式使得等式（1）成立，换句话说，等式（）成立，换句话说，等式（1）仅当）仅当 时才成立，那么就说，向量时才成立，那么就说，向量 线性无关线性无关.第三张，PPT共十页，创作于2022年6月例例1 令令F是任意一个数域。是任意一个数域。中向量中向量 1=（1,2,3），），2=（2,4,6），），3=（3,5,-4）线性相关。）线性相关。例例2 2 判断判断 的向量的向

3、量 1=（1,-2,3），），2=（2,1,0），），3=（1,-7,9）是否线性）是否线性相关。相关。例例3 在向量空间在向量空间F x里，对于任意非负整数里，对于任意非负整数 n,线性无关。线性无关。第四张，PPT共十页，创作于2022年6月命题命题6.3.1 向量组向量组 中每一个向量中每一个向量 都可以由这一都可以由这一组向量线性表示组向量线性表示.命题命题6.3.2 如果向量如果向量 可以由可以由 线性表示，而每一个又线性表示，而每一个又都可以由都可以由 线性表示，那么线性表示，那么 可以由可以由 线性表示线性表示.命题命题6.3.3 6.3.3 如果向量组如果向量组 线性无关线性无

4、关,那么它的任意一那么它的任意一部分也线性无关部分也线性无关.一个等价的提法是一个等价的提法是:如果向量组如果向量组 有一部分向量线性相关有一部分向量线性相关,那么整个向量那么整个向量组组 也线性相关也线性相关.第五张，PPT共十页，创作于2022年6月命题命题6.3.4 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线线性相关性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.定理定理定理定理 6.3.5 向量向量 线性相关线性相关,必要且只要其中某必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合一个向量是其余向量的线性组合.第六张，PPT共十页，创作于2022年6月6.3.3 向量组等价向量组

5、等价定义定义3 设设 和和 是向量空间是向量空间V的两个向的两个向量组量组,如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表示线性表示,而而每一每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示,那么就说这两那么就说这两个向量组等价个向量组等价.例例4 向量组向量组 1=(1,2,3),2=(1,0,2)与向量组与向量组1=(3,4,8),2=(2,2,5),3=(0,2,1)等价等价.第七张，PPT共十页，创作于2022年6月等价的概念显然具有传递性等价的概念显然具有传递性:如果如果 与与 等价等价,而后者又与而后者又与 等价等价,那么那么 与与 等价等价.定理定理6.3.6(替换定理）替换定理）设向量

6、组设向量组 线性无关线性无关,并且每一并且每一 都都 可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示,那么那么rs,并且必要时可以对并且必要时可以对 中中向量重新编号向量重新编号,使得用使得用 替换替换后所得的向量后所得的向量 与与 等价等价.推论推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。第八张，PPT共十页，创作于2022年6月6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组(1)线性无关；线性无关；定义定义4 向量组向量组 的一部分向量组的一部分向量组 叫叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果果(2)每一每一 ，j=1,n,都可以由都可以由 线线性表示。性表示。第九张，PPT共十页，创作于2022年6月感谢大家观看第十张，PPT共十页，创作于2022年6月