数列求和的基本方法和技巧 (2)讲稿.ppt

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1、关于数列求和的基关于数列求和的基本方法和技巧本方法和技巧(2)第一页，讲稿共六十九页哦数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面谈谈数列求和的基本方法和技巧.第二页，讲稿共六十九页哦一一.公式法公式法：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 第三页，讲稿共六十九页哦例例1 1：求和：求和：第四页，讲稿共六十九页哦错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应

2、等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用项乘积组成，此时求和可采用错位相减法错位相减法.既既an nbn n型型等差等比第六页，讲稿共六十九页哦2错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的对应项之积构成的，那么这个数列的前的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.【错位相减法错位相减法】设设 an的前的前n项和为项和为Sn，ann2n，则，则Sn第七页，讲稿共六十九页哦例例4 求数列 前n项的和解：由题可知，解：由题可知，的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等比数列

3、的通项与等比数列 的通项之积的通项之积设设 （设制错位）（设制错位）得得第八页，讲稿共六十九页哦2023/4/59已知数列第九页，讲稿共六十九页哦2023/4/510解解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比第十页，讲稿共六十九页哦2023/4/511第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:第十一页，讲稿共六十九页哦 解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：例例3 求和：第十二页，讲稿共六十九页哦第十六页，讲稿共六十九页哦第十七页，讲稿共六十九页哦2023/4/5231、2、已知

4、数列求该数列的前n项和。第二十三页，讲稿共六十九页哦四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可再将其合并即可.第二十四页，讲稿共六十九页哦 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一个等比一个等比22n n ，另外要特别观察通

5、项公式，如果通项公式没给出，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法分组求和法第二十五页，讲稿共六十九页哦 ,+n 11.求数列求数列 +2 3 ,+的前的前n项和项和。,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 n 解：解：=(1+2+3+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+(+)2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 )n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法分组求和法第二十六页，讲稿共六十九页哦例例5.求下面数列的前求下面数列

6、的前n项和项和 第二十七页，讲稿共六十九页哦解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 第二十八页，讲稿共六十九页哦n n个个第三十页，讲稿共六十九页哦例例8 求数列求数列n(n+1)(2n+1)的前的前n项和项和.解：设解：设 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 Sn（分组）（分组）第三十一页，讲稿共六十九页哦例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2=？局部重组转化为常见数列并项求和并项求和第三十三页，讲稿共六十九页哦练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+

7、3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21第三十四页，讲稿共六十九页哦五五.相间两项成等差等比综合相间两项成等差等比综合第三十五页，讲稿共六十九页哦第三十六页，讲稿共六十九页哦an是等差数列，是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若若a1=1,且且an+am=an+m(n,mN*),则则an=_解解:n=m=1时，时，a2=a1+a1=2,得得a1=1,a2=2m=1时时,由由an+

8、am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1-an=1n2.若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，则，则bn=_解：解：n=m=1时，时，b2=b1b1=4,即即b1=2，b2=4，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首项为是首项为b1=2，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习练习第三十七页，讲稿共六十九页哦列项求和法：列项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互

9、抵抵消消，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，这这一一求求和和方方法法称称为为分分裂裂通通项项法法.（见见到到分式型的要往这种方法联想分式型的要往这种方法联想）第三十八页，讲稿共六十九页哦求数列前求数列前n项和方法之一：项和方法之一：裂项相消法裂项相消法第三十九页，讲稿共六十九页哦1特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项相消法，即利用相消法，即利用 (其其中中dan1an)第四十页，讲稿共六十九页哦常见的拆项公式有：第四十一页，讲稿共六十九页哦常见的裂项公式有：第四十二页，讲稿共六十九页

10、哦练习：求和练习：求和裂项法求和裂项法求和提示：提示：第四十三页，讲稿共六十九页哦第四十四页，讲稿共六十九页哦例例9 在数列在数列an中，中，又，又求数列求数列bn的前的前n项项的和的和 解：解：（裂项）（裂项）数列数列bn的前的前n项和项和 第四十五页，讲稿共六十九页哦第四十六页，讲稿共六十九页哦第四十七页，讲稿共六十九页哦第四十八页，讲稿共六十九页哦七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前的规律来求数列的前n项

11、和，是一个重要的方项和，是一个重要的方法法.第四十九页，讲稿共六十九页哦例例7 7：已知数列：已知数列5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条件项条件的数列的通项公式及前的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+(+(1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1)通项分析求和通项=2n-1第五十页，讲稿共六十九页哦先求通项再处理通项第五十一页，讲稿共六十九页哦第五十二页，讲稿共六十九页哦第五十三页

12、，讲稿共六十九页哦例例14 求求之和之和.解：由于解：由于（找通项及特征）（找通项及特征）第五十四页，讲稿共六十九页哦例例15 已知数列已知数列an：的的值值.解：解：（找通（找通项项及特征）及特征）（设制分组）（设制分组）（裂项）（裂项）（分组、裂项求和）（分组、裂项求和）第五十五页，讲稿共六十九页哦综合练习综合练习第五十六页，讲稿共六十九页哦第五十七页，讲稿共六十九页哦第五十八页，讲稿共六十九页哦第五十九页，讲稿共六十九页哦解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故数列故数列bn1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列第六十页，讲稿共六十九页哦第六十一页，讲稿共六十九页哦第六十二页，讲稿共六十九页哦第六十三页，讲稿共六十九页哦第六十四页，讲稿共六十九页哦第六十五页，讲稿共六十九页哦第六十六页，讲稿共六十九页哦第六十七页，讲稿共六十九页哦3已知二次函数已知二次函数f(x)x25x10，当，当x(n，n1(nN*)时，把时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求求a1和和a2的值；的值；(2)求求n3时时an的表达式；的表达式；第六十八页，讲稿共六十九页哦2023/4/5感谢大家观看第六十九页，讲稿共六十九页哦