2022年新教材高中数学第二章等式与不等式1.1_1.2等式的性质与方程的解集一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件新人教B版必修第一册课件（(共21张PPT).pptx

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1、2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系1.掌握等式的性质,能够对二次三项式实施因式分解,会通过因式分解解一元二次方程.2.理解一元二次方程根与系数的关系.等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,等式仍成立.如果a=b,那么ac=bc.(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c0,那么=.因式分解1.恒等式平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).两数和(差)的平方公式:(ab)2=a22ab+b2.立方差与立方和公式:a3b3=(ab)(a2ab+b

2、2).关于x的二次三项式x2+(a+b)x+ab可分解为(x+a)(x+b).十字左边相乘等于x2,是二次项;十字右边相乘等于ab,是常数项.交叉相乘为bx和ax,再相加就是ax+bx=(a+b)x,是一次项.助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱.图示解读:2.十字相乘法配方法解法步骤:(1)化二次项系数为1;(2)移项:把常数项移到方程的右边,二次项和一次项移到方程的左边;(3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个式子平方的形式;(4)解方程:若方程右边是非负数,通过直接开平方法求方程的根公式法一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时,x=一元二次

3、方程的解法因式分解法一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解因式,即产生AB=0的形式,则可将原方程化为两个一元一次方程,即A=0或B=0,从而得方程的两根一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式是b2-4ac,通常用符号来表示.利用根的判别式,不解方程就可以判断方程根的情况:当0时,方程有两个不相等的实数根;当=0时,方程有两个相等的实数根;当1,则关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个正根.()=-(4k+1)2-42(2k2-1)=8k+9,k1,17,方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2,x1+x2=0,x1x2=0,x10

4、,x20,方程有两个正根.将多项式乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3).已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.问题1.方程是否总有两个实数根?提示:利用判别式的值与零的大小关系来判断,因为=-(k+3)2-41(2k+2)=(k-1)20,所以方程总有两个实数根.因式分解与解方程2.x2-(k+3)x+2k+2能用“十字相乘法”进行因式分解吗?提示:能,x2-(k+3)x+2

5、k+2=(x-2)(x-k-1).3.若上述方程有一个根小于1,如何求k的取值范围?提示:x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,x1=2,x2=k+1.方程有一个根小于1,k+11,解得k0,k的取值范围为k0方程有两个不相等的实数根;=0方程有两个相等的实数根;0方程没有实数根.破疑典例1.()已知x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的两个实数根.(1)是否存在实数m,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由;(2)若|x1-x2|=,求m的值和此时方程的解集.解析(1)存在.x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2

6、mx+m=0的两个实数根,m-30且=4m2-4m(m-3)0,m的取值范围为m0且m3.根据根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,-x1+x1x2=4+x2,x1x2=4+x1+x2,=4-,m=12.(2)|x1-x2|=,(x1-x2)2=3,即(x1+x2)2-4x1x2=3,-4=3,解得m1=1,m2=9.当m=1时,原方程变形为2x2-2x-1=0,解得x1=,x2=,此时方程的解集为;当m=9时,原方程变形为2x2+6x+3=0,解得x1=,x2=,此时方程的解集为.方法指导明确一元二次方程根与系数的关系,结合待求代数式的变形应用,将求得的两根之和与两根之积整体代入求值.2.(2019浙江杭州外国语学校期中,)已知3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0且mn1,求的值.解析由3m2-7m-2=0及2n2+7n-3=0,可知m0,n0,又mn1,m.2n2+7n-3=0可变形为3-7-2=0,根据3m2-7m-2=0和3-7-2=0的特征知,m、是方程3x2-7x-2=0的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系可得m+=,=-,=,=,=.