数值微分与数值积分讲稿.ppt

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1、计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件关于数值微分与数值积分第一页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件（1 1）向前差商）向前差商由泰勒（由泰勒（TaylorTaylor）展式：）展式：向前差商的截断误差为：向前差商的截断误差为：2第二页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件（2 2）向后差商）向后差商向后差商的截断误差阶为：向后差商的截断误差阶为：（3 3）中心差商）中心差商3由泰勒（由泰勒（TaylorTaylor）展式：）展式：第三页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件中心差商的截断误差阶为

2、：中心差商的截断误差阶为：4第四页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件2.1.2 2.1.2 插值型数值微分插值型数值微分以以为插值点的插值多项式为为插值点的插值多项式为当当时时误差项：误差项：5第五页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件例例2.2 2.2 给定三点给定三点并且并且求求解解 过三点的插值多项式为过三点的插值多项式为6第六页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件得三点公式：得三点公式：7第七页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件对定义在区间对定义在区间a,b上的定

3、积分上的定积分以上公式多称为牛顿以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，F(x)为为f(x)的原函数的原函数.但有时但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算出或计算.如被积函数为如被积函数为:等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力为力.为解决定积分的近似计算为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：从定积分的定义：2.2.1 2.2.1 求积公式求积公式8 2.2 2.2 数值积分数值积分第八页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方

4、方方方法法法法课课课课件件件件结束结束9 这样就避开了求原函数的运算这样就避开了求原函数的运算.上式就叫做求积公式，上式就叫做求积公式，Ak(k=0,1,n)与函数与函数f(x)无关，叫做求积系数无关，叫做求积系数,显然要确定一个求显然要确定一个求积公式，要确定求积结点积公式，要确定求积结点xk和求积系数和求积系数Ak，或者说不同的求积结点，或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积公式和求积系数将确定不同的求积公式.2.2.2 求积公式的余项和代数精度求积公式的余项和代数精度一般情况下，上式两端并不相等一般情况下，上式两端并不相等.我们称我们称:为求积公式为求积公式 的的余项余项，或，或

5、截断误差截断误差.第九页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束10 为考查一个求积公式的误差，通常用为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度代数精度来表示，如果来表示，如果一个求积公式对于不超过一个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立次的多项式都能够精确成立(Rf0)，而对而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代数精次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代数精度为度为m.例如求积公式：例如求积公式：验证当验证当f(x)=xm，m=0,1,2,3,4时，是否有时，是否有Rxm=0第十页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法

6、法法课课课课件件件件结束结束11所以以上求积公式的代数精度为所以以上求积公式的代数精度为3.3.任何一个求积公式的代数精度至少为零任何一个求积公式的代数精度至少为零,即取即取f(x)=1)=1时公式应精确时公式应精确成立成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检验一个求积公，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检验一个求积公式的系数的正确性式的系数的正确性.求代数精度的另一种方法：利用余项公式求代数精度的另一种方法：利用余项公式求代数精度求代数精度m.m.如：如：若取：若取：则则而而有有所以求积公式的代数精度为所以求积公式的代数精度为3.3.第十一页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方

7、方方法法法法课课课课件件件件结束结束122.2.3 插值型数值积分插值型数值积分 由插值可知，对任一函数由插值可知，对任一函数f(x)(包括表格形式的函数包括表格形式的函数)可用一可用一n次多项次多项式对其插值，即式对其插值，即当当Pn(x)为拉格朗日插值多项式时，即为拉格朗日插值多项式时，即第十二页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束13其中其中:通常将公式通常将公式(2.1)(2.1)叫做叫做插值型求积公式插值型求积公式.（2.22.2）称为求积公式）称为求积公式的的余项或误差。余项或误差。第十三页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课

8、课课件件件件例：例：建立建立0,20,2上以上以x x0 0=0,x=0,x1 1=0.5,x=0.5,x2 2=2=2为节点的为节点的数值积分公式。数值积分公式。解解 第十四页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件 为便于上机计算，通常在求积公式中取等距节点，即将积分区间为便于上机计算，通常在求积公式中取等距节点，即将积分区间a,bn等分，即令等分，即令h=(b-a)/n，且记，且记x0=a,xn=b，则节点为，则节点为xk=x0+kh(k=0,1,n)，作变换，作变换:t=(x-x0)/h，代入求积系数公式：，代入求积系数公式：结束结束15这种等距节点的求积公式

9、通常叫做这种等距节点的求积公式通常叫做牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式,下面介绍几下面介绍几个常用的公式个常用的公式:2.2.4 Newton-Cotes积分积分第十五页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件取取a=x0,b=x1,(即即n=1)，代入，代入(2.3)式得式得结束结束1 梯形公式梯形公式所以梯形公式为所以梯形公式为16从从图图2.1看到，这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，梯形公式看到，这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，梯形公式的误差估计为：的误差估计为：第十六页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件ya0 xb图图2

10、.1梯形求积公式的余项：梯形求积公式的余项：梯形求积公式的代数精度：梯形求积公式的代数精度：取取 所以，代数精度为所以，代数精度为1 1。第十七页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束18例例 利用梯形公式计算利用梯形公式计算解解:2 2 抛物形（辛卜生）公式抛物形（辛卜生）公式取取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(,(即即n=2)=2)，代入，代入(2.3)(2.3)式得式得第十八页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束19所以抛物形（所以抛物形（SimpsonSimpson）公式为）公式为其中其中h=(b-a

11、)/2,上式也可写成上式也可写成:SimpsonSimpson公式的余项：公式的余项：第十九页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束20或或例例2 2 利用抛物形公式计算利用抛物形公式计算解解:SimpsonSimpson公式的代数精度：公式的代数精度：取取 所以，代数精度为所以，代数精度为3 3。第二十页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束(2.3)式给出式给出213 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中:可以看出，可以看出，C(n)k不依赖函数不依赖函数f(x)和积分区间和积分区间a,b，可以事先计算出来，可以事先

12、计算出来，通常叫做通常叫做牛顿牛顿-柯特斯系数柯特斯系数，下面给出，下面给出n从从16的牛顿的牛顿-柯特斯系数柯特斯系数表：表：第二十一页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束22n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840CotesCotes系数表系数表第二十二页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件

13、结束结束当当n为奇数，为奇数，f(x)C n+1a,b时，求积公式的余项为时，求积公式的余项为:23 代数精度为代数精度为n.4 牛顿牛顿-柯特斯公式的余项与代数精度柯特斯公式的余项与代数精度当当n为偶数，为偶数，f(x)C n+2a,b时，求积公式的余项为时，求积公式的余项为:代数精度为代数精度为n+1.第二十三页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束2.3 2.3 复化求积公式复化求积公式24 高阶的高阶的Newton-CotesNewton-Cotes公式不能保证数值积分的系列的收敛性；公式不能保证数值积分的系列的收敛性；同时，高阶同时，高阶Newto

14、n-CotesNewton-Cotes积分的计算是不稳定的。积分的计算是不稳定的。因而，在实际应用中往往采用因而，在实际应用中往往采用 将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式的求积公式(梯形公式或抛物形公式梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式.这就是复化求积公式的基本思想。这就是复化求积公式的基本思想。第二十四页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束2.3.1.复化梯形

15、公式复化梯形公式用用n+1个分点将区间个分点将区间a，bn等分。每个区间长等分。每个区间长 在在xk，xk+1上用梯形公式，则上用梯形公式，则25Tn叫做叫做复化梯形求积公式复化梯形求积公式，下标，下标n表示将积分区间等分的份数表示将积分区间等分的份数.第二十五页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束 公式的特点：节点公式的特点：节点xk(k=1,2,n-1)作为小区间的端点参与前、作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为后两个小区间的计算，因而系数为2，端点，端点a与与b只参与一次计只参与一次计算，系数为算，系数为1.26 如果在如果在Tn的

16、基础上，将各小区间对分，这时节点数为的基础上，将各小区间对分，这时节点数为2n+1，分，分段数为段数为2n.记新的分点的函数值的和为记新的分点的函数值的和为n，则，则T2n应为原内节点与应为原内节点与新增节点函数值的和的两倍，加上两端点新增节点函数值的和的两倍，加上两端点a,b的函数值之和再乘上的函数值之和再乘上新区间长度的一半，即新区间长度的一半，即第二十六页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束定理定理 设设 f(x)C2a,b，复化梯形公式的截断误差，复化梯形公式的截断误差复化梯形积分的余项复化梯形积分的余项其中：其中：h=(b-a)/n27从这一公式

17、可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一作为一个整体保留个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，应将积分区间等分多少份，即应将积分区间等分多少份，即n取多少取多少.这种误差估计方法称为事前这种误差估计方法称为事前误差估计误差估计.第二十七页，讲稿共四十七页哦

18、计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件例例 利用复化梯形公式计算利用复化梯形公式计算使其误差限为使其误差限为1010-4-4，应将区间，应将区间0,10,1几等分几等分?结束结束解解:因为被积函数因为被积函数28取取n=48=48可满足要求可满足要求.第二十八页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束29将积分区间将积分区间 a,b22m等分，等分，n=2=2m，节点为，节点为xk k=a+kh(k=0,1,2,=0,1,2,2,2m)，h=(b-a)/2m.在每两个小区间在每两个小区间x2 2k k,x2 2k k+2+2(k=0,1,2,=0,1

19、,2,m-1)-1)上用抛物形公式，则有上用抛物形公式，则有:2.3.2 2.3.2 复化抛物形（复化抛物形（SimpsonSimpson）公式）公式S2 2m m叫做叫做复化抛物形求积公式复化抛物形求积公式，下标，下标2 2m表示积分区间等分的份数，表示积分区间等分的份数，2 2m强调为偶数份强调为偶数份.第二十九页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束30定理定理 设函数设函数f(x)C4a,b，则，则Simpson的余项为的余项为公式的特点为节点公式的特点为节点x2k,(k=1,2,m-1)作为小区间作为小区间x2k,x2k+2的端点，参的端点，参与前

20、后两次的辛普生公式的计算，因而系数为与前后两次的辛普生公式的计算，因而系数为2，而奇数节点，而奇数节点x2k+1,(k=0,1,m-1)因辛普生公式中间点的求积系数为因辛普生公式中间点的求积系数为4而保留而保留4，前，前面的面的h/3为辛普生公式的公共求积系数为辛普生公式的公共求积系数.复化抛物形（复化抛物形（SimpsonSimpson）公式的余项和代数精度）公式的余项和代数精度Simpson的代数精度为的代数精度为3第三十页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束31解解:利用例利用例3的结果的结果因此只需将区间因此只需将区间0,1四等分，即取四等分，即取

21、m=2(n=4).例例4 利用复化抛物形公式计算利用复化抛物形公式计算使其误差限为使其误差限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?第三十一页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件2.3.3 复化积分的自动控制误差算法复化积分的自动控制误差算法在计算中常用在计算中常用 来估计误差。来估计误差。（1）的计算公式的计算公式对于对于 取分点取分点n=1,h1=(b-a),得：得：对分对分(取分点取分点n=2),h2=(b-a)/2 得：得：32第三十二页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件再对分再对分(取分点取分点n=4),h4=(

22、b-a)/4 得：得：33，再对分，再对分(取分点取分点n=2m),h2m=(b-a)/(2m),得：得：或：或：其中其中 第三十三页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件34（2）计算公式的误差控制计算公式的误差控制比较比较 若要若要 只需只需 后者比前者便于控制后者比前者便于控制 第三十四页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件复化梯形积分的算法复化梯形积分的算法 1.输入误差控制精度输入误差控制精度tol，初始分点数，初始分点数n，端点，端点a,b,h=(b-a)/n 2.建立函数文件建立函数文件f(x)3.T2=(f(a)+f(b

23、)*h/2;T1=T2+100;6.S=Sum(S1);T2=T1/2+h*S;Clear S1 end 5.For i=1:n/2 计算计算 S1(i)=f(a+(2*i-1)*h)end 4.While|T2-T1|tol T1=T2 h=h/2;n=2n;%区间分半区间分半357.输出输出T2 第三十五页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束362.3.4 龙贝格龙贝格(Romberg)积分公式积分公式我们已知的我们已知的T2n与与Tn的关系的关系1.Romberg积分公式积分公式于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4

24、,T8,此序列收敛于积分此序列收敛于积分真值真值I.当当|T2n-Tn|时时,取取T2n为为I的近似值的近似值.以上算法称为以上算法称为复化梯形复化梯形公式的逐次分半公式公式的逐次分半公式.但由于此序列收敛太慢但由于此序列收敛太慢,因此并不实用因此并不实用.现我现我们试图将它改造成为收敛快的序列们试图将它改造成为收敛快的序列.第三十六页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件第三十七页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束38如认为如认为则有则有于是有于是有:记记这样我们从收敛较慢的这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的序列推

25、出了收敛较快的Sn序列序列.截断误差由截断误差由O(h2)提高到提高到O(h4).如认为如认为则有则有于是有于是有:记记这样我们从这样我们从Sn序列又推出了收敛更快的序列又推出了收敛更快的Cn柯特斯序列柯特斯序列.截断误差提高到截断误差提高到O(h6),代数精度为代数精度为5.第三十八页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束39如认为如认为则有则有于是有于是有:记记这样我们从这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的序列又推出了收敛更快的Rn序列序列.Rn序列也称为龙序列也称为龙贝格序列贝格序列.截断误差提高到截断误差提高到O(h8),代数精度为代数精度为7.Ro

26、mberg积分公式：积分公式：对每一个对每一个k，j从从2做到做到k，一直做到，一直做到Tk,k-Tk,k-1tol时停止计时停止计算。算。第三十九页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束40T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2表表7-27-2该表四个序列都是收敛的该表四个序列都是收敛的.第四十页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束41例例5 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算解解:计算结果列如下表计算结果列如下表:i2iT序列S序列C序列R序列013.00000123.100003.133332

27、43.131183.141573.14212383.138993.141593.141593.141594163.140943.141593.141593.14159这一结果与这一结果与I=相比较已有较好的精度相比较已有较好的精度.第四十一页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件算法公式：算法公式：i=2,3,其中：其中：第四十二页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件算法：算法：第四十三页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件例例5 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算程序：先建立函数文件，文件名程序：先建立

28、函数文件，文件名,ff.mfunction y=ff(x)y=4/(1+x2)第四十四页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件主程序：主程序：Romberg1.ma=0,b=1.5,m=5;h=b-a;T=zeros(m);T(1,1)=h*(ff(a)+ff(b)/2;for i=2:m for k=1:2(i-2)ss(k)=ff(a+(k-0.5)*h);end T(i,1)=(T(i-1,1)+h*sum(ss)/2;for j=2:i T(i,j)=(4(j-1)*T(i,j-1)-T(i-1,j-1)/(4(j-1)-1);end if abs(T(i,j)-T(i,j-1)tol break end h=h/2;endT第四十五页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件结束结束462.4 重积分计算重积分计算第四十六页，讲稿共四十七页哦计计计计算算算算方方方方法法法法课课课课件件件件感谢大家观看第四十七页，讲稿共四十七页哦