对数函数以及其性质(人教A版必修1).ppt

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1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 关于对数函数及其性质(人教A版必修1)第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.20231.对数函数的概念对数函数的概念函数函数 叫做对数函数叫做对数函数.2.对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质.图在下一页图在下一页y=logax(a0,且且a1)3.对数函数对数函数y=logax(a0,且且a1)与指数函数与指数函数y=ax(a0,且且a1)互为互为 .它们的图象关于它们的图象关于 对称对称.反函数反函数y=x返回返回 第三张，PP

2、T共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023函数 y=logax（a0,a 1）a的取值0a1定义域值域R图象图象特征在y轴的右侧，过定点（1，0）当x0且x0时,图象趋近于 y轴正半轴.当x0且x0时，图象趋近于 y轴负半轴.单调性在(0,+)上是减函数.在(0,+)上是增函数.函数值的变化规律当0 x1 时,y0.当 0 x1 时，y1时，y0 .返回返回 第四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023学点一学点一 比较大小比较大小比较大小：比较大小：（1），；（2）,;（3）,.【分析分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手从对数函数单调性及图象变化规律入手

3、.返回返回 第五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023【解解析析】（1）函函数数y=在在(0,+)上上递递减减，又又,.（2）借借助助y=及及y=的的图图象象，如如图图所所示示，在在(1,+)内内，前前者者在在后后者者的的下下方方，.（3）由由对对数数函函数数的的性性质质知知，0,.返回返回 第六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023【评析评析】比较两个对数值的大小，常用方法：比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象

4、比较，也可用换底）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.返回返回 第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（1）;（2）;（3）(a0，且，且a1).返回返回 第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023（1）考查对数函数考查对数函数y=log2x，因为它的底数，因为它的底数21,所以它在所以它在(0,+)上上是增函数，于是是增函数

5、，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足，因为它的底数满足00.3log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于还是小于1，而已，而已知条件中并未明确指出底数知条件中并未明确指出底数a与与1哪个大，因此，要对底数哪个大，因此，要对底数a进行讨论：进行讨论：当当a1时，函数时，函数y=logax在在(0,+)上是增函数，于是上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当当0aloga5.9.返回返回 第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023求

6、求下下列列函函数数的的定定义义域域：（1）y=;（2）.【解析解析】(1)要使函数有意义，必须且只需要使函数有意义，必须且只需 x0 x0 log0.8x-10 即即 x0.8 2x-10,x ,00 x x-10解解得得x1 3x-10 x 3x-10 x因因此此，函函数数的的定定义义域域为为(1,+).返回返回【评析评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（数的取值条件，在本

7、例（2）（）（4）中还用到指数、对数的单调性）中还用到指数、对数的单调性.第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023求下列求下列函数的函数的定义域：定义域：（1）（2）（1）由由log0.5(4x-3)04x-30得得04x-31,0 x0 得得 x-1 x+11 x0.-1x0或或0 x1).【分析分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解调性求解.返回返回 第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023【解解析析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2

8、+1616,又又-x2-4x+120,00,且且y=logx在在(0,+)上上是是减减函函数数,yR,函函数数的的值值域域为为实实数数集集R.返回返回 第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023（3）令）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为函数的值域为y|y1.【评析评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的函数的单调性

9、求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值取值.返回返回 第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023求值域：求值域：（1）y=log2(x2-4x+6);（2）.(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又又y=log2x在在(0,+)上上是是增增函函数数,log2(x2-4x+6)log22=1.函函数数的的值值域域是是1,+).(2)-x2+2x+2=-(x-1)2+33,0或或 .函函数数的的值值域域是是,返回返回 第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023学点三学点三 对数函数的图像对数函数的图像 已知已知a0且且a1，函数，函

10、数y=ax与与y=loga(-x)的图像只能是（的图像只能是（）【分析分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数a进进行讨论，最后选出正确选项行讨论，最后选出正确选项.【解析解析】解法一解法一:首先首先,曲线曲线y=ax只可只可能在上半平面能在上半平面,y=loga(-x)只可能在只可能在左半平面上左半平面上,从而排除从而排除A,C.其次其次,从单调性着眼从单调性着眼,y=ax与与y=loga(-x)的增减性正好相反的增减性正好相反,又可排除又可排除D.故应选故应选B.返回返回 第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023【评

11、析评析】要正确识别函数的图像，一是要熟悉各种基本初等函数要正确识别函数的图像，一是要熟悉各种基本初等函数的图像，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数的图像，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像等；二是把握函数图像的性质，根据图像的性质去判函数的图像等；二是把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等.返回返回 解法二解法二:若若0a1,则曲线则曲线y=ax上升且过上升且过(0,1),而曲线而曲线y=loga(-x)下降且过下降且过(-1,0),只有只有B满足条件满足条件.解法三解

12、法三:如果注意到如果注意到y=loga(-x)的图象关于的图象关于y轴的对称图象轴的对称图象为为y=logax,又又y=logax与与y=ax互为反函数互为反函数(图象关于直线图象关于直线y=x对称对称),则可直接选定则可直接选定B.第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023函数函数y=ax与与y=-logax(a0,a1,x0)在同一坐标系中的图像形在同一坐标系中的图像形状只能是（状只能是（）(a1时时,y=ax是增函数是增函数,y=logax也是增函数，也是增函数，y=-logax为减函数为减函数.两函数的单调性相反，除两函数的单调性相反，除C，D,而而B中，中，

13、y=-logax中中x0不成立不成立.故应选故应选A.)A返回返回 第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023学点五学点五 求最值求最值已知已知f(x)=2+log3x,x1,9,求求y=f(x)2+f(x2)的最大值及当的最大值及当y取最大值时取最大值时x的值的值.【分析分析】要求函数要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.【解析解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(

14、2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.函数函数f(x)的定义域为的定义域为1,9,要使函数要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须有定义，必须返回返回 第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023 1x29 1x9.1x3,0log3x1.令令u=log3x，则则0u1.又又函数函数y=(u+3)2-3在在-3,+)上是上是增函增函数数,当当u=1时，时，函数函数y=(u+3)2-3有有最大最大值值13.即当即当log3x=1,即即x=3时，时，函数函数y=f(x)2+f(x2)有最有最大值大值为为13.【评析评析】求函数

15、的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法注意求值域或最值的常用方法.返回返回 第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023已已知知x满满足足不不等等式式-3 ,求求函函数数f(x)=的的最最大大值值和和最最小小值值.-3 ，即即 x8,log2x3,f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x-）2 -,当当log2x=,即即x=2 时时，f(x)有有最最小小值值-.又又当当log2x=3,即即x=8时时，f(x)有有最最大大值值2,f(x)min=-,f(x)max=2.返回

16、返回 第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023学点六学点六 求变量范围求变量范围已知函数已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若）若f(x)的定义域为的定义域为R，求实数，求实数a的取值范围；的取值范围；（2）若）若f(x)的值域为的值域为R，求实数，求实数a的取值范围的取值范围.【分析分析】若若f(x)的定义域为的定义域为R，则对一切，则对一切xR,f(x)有意义；若有意义；若f(x)值值域为域为R，则，则f(x)能取到一切实数值能取到一切实数值.【解解析析】（1）要）要使使f(x)的定的定义域义域为为R，只，只要使要使(x)=ax2+2x+1的的值

17、恒值恒为正为正值，值，a0 =4-4a0，返回返回 第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023（2）若若f(x)的的值值域域为为R，则则要要求求(x)=ax2+2x+1的的值值域域包包含含(0,+).当当a0时时，(x)=ax2+2x+1要要包包含含(0,+)，需需 a0 =4-4a0综综上上所所述述，0a1.【评析评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定，由判别式不小于零确定.返

18、回返回 第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023函数函数y=logax在在x2,+)上总有上总有|y|1，求，求a的取值范围的取值范围.依依题题意意得得|logax|1对对一一切切x2,+)都都成成立立，当当a1时时，因因为为x2,所所以以|y|=logax1，即即logaxlog22.所所以以1a2.当当0a1,所所以以logax-1，即即logaxlog2对对x2恒恒成成立立.所所以以a0解得解得f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数是奇函数.（2）证明）证明:设设x1,x2(1,+)，且，且x1x11,x

19、2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即即u(x1)u(x2)0,y=log u在在(0,+)上是减函数上是减函数,log u(x1)log u(x2),即即log log ,f(x1)0 x-10 p-x0当当p1时，函数时，函数f(x)的定义域为的定义域为(1,p)(p1).返回返回 第二十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023（2）因为因为f(x)=所以当所以当 1,即即1p3时，时，f(x)无无最大值和最小最大值和最小值；当值；当1 3,x=时，时，f(x)取得最大取得最大值，值，log2 =2log2(p+1)-2，但无，但无最小值最

20、小值返回返回 第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023学点八学点八 反函数反函数已知已知a0,且且a1，函数，函数y=ax与与y=loga(-x)的图象只能是（的图象只能是（）【分析分析】分分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系象判定关系.B返回返回 第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023【解析解析】解法一：首先，曲线解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在只可能在左半平面，从而排除左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着

21、手，其次，从单调性着手，y=ax与与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除的增减性正好相反，又可排除D，故只，故只能选能选B.解法二：若解法二：若0a1，则曲线，则曲线y=ax上升且过点上升且过点(0,1)，而曲线而曲线y=loga(-x)下降且过下降且过(-1,0)，只有，只有B满足条件满足条件.解法三：如果注意到解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于的图象关于y轴的对称图象为轴的对称图象为y=logax的图象，的图象，因为因为y=logax与与y=ax互为反函数（图象关于直线互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选对称），则可直接选B.【评析评析】本题可以从图象所

22、在的位置及单调性来判别，也可利用本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响对图象的影响.要养成从多角要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数原函数y=f(x)与与其反函数的图象关于其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质对称是其重要性质.返回返回 第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023若函数若函数f(x)=ax(a0，且，且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a=.反函数的图象过点反函数的

23、图象过点(2,-1)，则，则f(x)=ax的图象过的图象过(-1,2),得得a-1=2,a=.返回返回 第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.20231.1.如何确定对数函数的单调区间？如何确定对数函数的单调区间？（1 1）图象法：此类方法的关键是图象变换）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2 2）形如）形如y=logy=loga af(x)f(x)的函数的单调区间的确定方法：的函数的单调区间的确定方法：首先求满足首先求满足f(x)0f(x)0的的x x的范围，即求函数的定义域的范围，即求函数的定义域.假设假设f(x)f(x)在定在定义域的子区间义域的子区间I I1

24、1上单调递增，在子区间上单调递增，在子区间I I2 2上单调递减，则上单调递减，则当当a1a1时，原函数与内层函数时，原函数与内层函数f(x)f(x)的单调区间相同，即在的单调区间相同，即在I I1 1上上单调递增，在单调递增，在I I2 2上单调递减上单调递减.当当0a10a0a0，且，且a1.a1.但指数函数的定义域是但指数函数的定义域是R R，对数函数的定义域是，对数函数的定义域是(0,+).(0,+).对数函数的图象在对数函数的图象在y y轴的右侧，真数大于零，这一切必须轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记熟记.2.2.反函数反函数（1 1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的

25、定义域且底）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；数必须相同；（2 2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；返回返回 第三十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023（3 3）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数图象画法有两种：一是描点法，二是利用指数函数与对数图象画法有两种：一是描点法，二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图；函数互为函数的关系作图；（4 4）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；反函数的定义域；（5 5）互为反函数的两函数的图象关于直线）互为反函数的两函数的图象关于直线y=xy=x对称对称.返回返回 第三十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月05.04.2023感谢大家观看第三十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月