非线性规划42讲解.pptx

《非线性规划42讲解.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性规划42讲解.pptx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 凸函数及其性质定义 设f(X)为定义在非空凸集 上的函数。若对任意的 及D 中任意两点 和 有（）成立，则称f（X）为D上的凸函数，或称f（X）在D上是凸的。第1页/共31页（）成立，则称f（X）为D上的严格凸函数，或称f（X）在D上是严格凸的。注1：若f 是D 上的（严格）凸函数，则称-f 是D 上的（严格）凹函数，或称-f 在D 上是（严格）凹的。实际上，我们也可以仿照定义4.2.1来定义凹函数，只要令式（4.2.1）和（4.2.2）不等号反向。若对任意的 及任意两点有第2页/共31页 当n=1时，如图所示凸（凹）函数的函数曲线上任意两点间的连线总在函数曲线的上（下）图（a）凸函数方。第

2、3页/共31页图（b）凹函数第4页/共31页注2：由凸（凹）函数的定义，可知线性函数既是凸函数也是凹函数。根据凸函数的定义，易证凸函数有如下的基本性质。性质设f（X）是凸集D上的凸函数，为 实数，则 也是D上的凸函数。性质设 和 均为凸集D上的凸函数，则 也是D上的凸函数。第5页/共31页性质4.2.3 设 均为凸集D上的凸函数，也是D上的凸函数。且则线性组合 性质4.2.4 实数 ，集合设f（X）是凸集D上的凸函数，对任一也是凸集。证明：任取则且第6页/共31页任取因为D为凸集，所以又因为f（X）为D上的凸函数，所以由集合 的定义知，根据凸集的定义知 为凸集。证毕。我们称集合 为f（X）在

3、集合D上关于数 的水平集。第7页/共31页3 凸函数的判定 我们可以根据凸函数的定义来判定一个我们可以根据凸函数的定义来判定一个函数是否为凸函数，但如果该函数是可函数是否为凸函数，但如果该函数是可微函数，那么可按下述法则判别。微函数，那么可按下述法则判别。第8页/共31页定理（函数凸性的一阶条件）设D是 的非空开凸集，函数 具有一阶连续的偏导数，则函数f 为凸函数的充要条件是恒有（4.2.3）其中 为函数 f 在 处的梯度向量。第9页/共31页证明：必要性。因为D是 的非空开凸集，所以 因为函数f 为凸函数，所以 从而有由于上式不等式两边同除以 得第10页/共31页由于f 具有一阶连续的偏导数

4、，故有所以 于是得到第11页/共31页充分性。因为D是的非空开凸集，则由充分性条件式（）得以和分别乘以上述两个不等式的两边，并相加整理得由定义知函数为凸函数。证毕。第12页/共31页定理（函数凸性的二阶条件）设D是 的非空开凸集，函数 二阶连续的偏导数，则函数f 为凸函数的充要条件是具有函数 f 的Hesse矩阵 H（X）在D 上为半正定矩阵。函数f 为严格凸函数的充要条件是函数 f 的Hesse矩矩阵 H（X）在D 上为正定矩阵。第13页/共31页证明：必要性。因为D是的非空开凸集，所以有f 为严格凸函数，因为D是的非空开凸集，所以存在 当时，由定理得 因为函数f 具有二阶连续的偏导数，由T

5、aylor展式得 第14页/共31页所以由上两式得上式两边同除以 注意到则有即Hesse矩阵H（X）在D上为半正定矩阵。充分性。由Taylor展式得，第15页/共31页其中因为D 是凸集，所以由充分性的条件知Hesse矩阵H（X）在D 上为半正定矩阵，从而为半正定矩阵，即有 所以由定理知函数为的凸函数。第二个结论的证明只要把上述的不等号换成严格的不等号即知成立。证毕。第16页/共31页例判断 为凸函数。是否解：用二阶条件。第17页/共31页从而有因为顺序主子式所以H（X）正定，故f（X）为严格凸函数。第18页/共31页定理若f（X）是凸集 上的凸函数，则它的任一局部极小点就是它在D 上的全局极

6、小点，而且它的极小点全体形成一个凸集。证明：设 是任一局部极小点，充分小的邻域，为其则 有 充分小，则有 所以 第19页/共31页因为f（X）是凸集 上的凸函数，所以 将上两式相加并除以 即得 所以结论成立。证毕。第20页/共31页定理设 f（X）在凸集 上可微且为凸函 数，若存在点 都有（）则 是f（X）在D上的全局极小点；若f（X）为可微 的严格凸函数，则 即 是f（X）的唯一 全局极小点。证明：由定理知 由条件 知 第21页/共31页所以 若f（X）为可微的严格凸函数，则（）成立 严格不等号，即 由X 的任意性知 由定理知结论成立。证毕。是f（X）在D上的全局极小点。第22页/共31页定

7、理的含义可参考图图第23页/共31页凸规划及其性质 考虑非线性规划问题这里 约束D 可表示为 若f（X）为凸函数，为凸函数（或说 为凸函数），则称以上非线性规划为凸规划。第24页/共31页凸规划是一类比较简单，而且具有一些良好性质的非线性规划。前面已经指出，凸规划的可行域为凸集，其局部极小点就是全局极小点，而且局部极小点的全体构成一个凸集。当凸规划的目标函数为严格凸函数时，其全局极小点唯一。注1：注2：线性规划是一种特殊的凸规划。第25页/共31页例验证下述非线性规划为凸规划。解：目标函数可写成 第26页/共31页f（X）的海赛矩阵为 它的顺序主子式分别为故为正定矩阵，即f（X）为严格凸函数。第27页/共31页同理可以验证 为严格凸函数，是线性函数，因此上所以此规划的可行域为凸集，述非线性规划为凸规划。若非线性规划的目标函数为的二次函数或二 次型，约束条件又全是线性函数，则称之为二次 规划。二次规划的数学模型可表示为第28页/共31页这里 若目标函数第二项的二次型为正定（或半正定）则目标函数必为严格凸函数（或凸函数）。二次规划的可行域为凸集，故此时为凸规划，它是非线性规划中比较简单的一类，较容易求解。许多实际问 题，均可归结为二次规划模型。第29页/共31页作业P180（3）；（4）第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页