极限运算法则讲稿.ppt

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1、关于极限运算法则1第一页，讲稿共五十一页哦2利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限函数有没有极限?如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运算法则。本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件.极限运算法则极限运算法则第二页，讲稿共五十一页哦3一、无穷大与无穷小1.无穷小：注意：无穷小与很小的数的区别。定义：如果当 （或 ）时函数的极限为零，那

2、么 叫做 （或 ）时的无穷小.以0为极限的数列 也称为 时的无穷小.第三页，讲稿共五十一页哦4 在 的变化过程中是否为无穷小量，与 x 的变化趋势有关。如当第四页，讲稿共五十一页哦5其中(x)为时的无穷小量.定理定理 .(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第五页，讲稿共五十一页哦6时,有无穷小的性质无穷小的性质定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第六页，讲稿共五十一页哦7说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小

3、.（P57,题3）第七页，讲稿共五十一页哦8定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.第八页，讲稿共五十一页哦9例例1.求下列无穷小的和的极限解解:第九页，讲稿共五十一页哦10例例2.求解解:利用定理 2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.第十页，讲稿共五十一页哦193二、二、无穷大无穷大第十九页，讲稿共五十一页哦20定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在第

4、二十页，讲稿共五十一页哦21注意注意1）无穷大是变量,它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆.3)无穷大是一种特殊的无界变量,但2 2）不可认为 极限存在；是无界变量未必是无穷大.有界有界无界无界无穷大无穷大存在某存在某“时刻时刻”,那时刻后那时刻后一切一切 x，均满足，均满足概概念念回回放放第二十一页，讲稿共五十一页哦22故函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数当故函数为无界,但所以时,不是无穷大!第二十二页，讲稿共五十一页哦234）若 则直线为曲线的铅直渐近线.第二十三页，讲稿共五十一页哦24例例2.证明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有

5、所以直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明说明:第二十四页，讲稿共五十一页哦25例3研究 x0 时，函数是否为无穷小.解解因因 x 0+时，时，当当 x 0-时，时，第二十五页，讲稿共五十一页哦26因因 x0 时，函数的左右极限不等时，函数的左右极限不等,极限不极限不存在存在,故不是无穷小，故不是无穷小，但但 时为无穷小时为无穷小.第二十六页，讲稿共五十一页哦27 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系(证明证明)此时对此时对使得当使得当第二

6、十七页，讲稿共五十一页哦28关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对此时对使得当使得当第二十八页，讲稿共五十一页哦29二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理定理 3(1).若第二十九页，讲稿共五十一页哦30推论推论:若且则利用保号性定理证明.说明说明:定理可推广到有限个函

7、数相加、减的情形.提示提示:令第三十页，讲稿共五十一页哦31定理定理 3(2).若则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理及无穷小乘法性质证明.说明说明:定理 2可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)例例2.设 n 次多项式试证证证:第三十一页，讲稿共五十一页哦32为无穷小定理定理 3(3).若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,第三十二页，讲稿共五十一页哦33定理定理4:若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1,2,3直接得出.第三十三页，讲稿共五十一页哦34 x=3 时分母为 0

8、!例例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.例例4.若第三十四页，讲稿共五十一页哦35例例5.求解解:x=1 时分母=0,分子0,但因第三十五页，讲稿共五十一页哦36例例6.求下列函数的极限解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”解解:第三十六页，讲稿共五十一页哦37例例7.求解解:分子分母同除以 解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”原式3.求第三十七页，讲稿共五十一页哦38一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)第三十八页，讲稿共五十一页哦39定理定理6.设且 x 满足时,又则有 2.若定理中若定理中则类似可得三、三、复合

9、函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则说明说明:1.:1.公式表明，公式表明，在相应条件下求复合函数的极限，在相应条件下求复合函数的极限，可通过代换化复合函数为简单函数.第三十九页，讲稿共五十一页哦403.复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则(证明证明)定理定理.设且 x 满足时,又则有证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.第四十页，讲稿共五十一页哦41例例7.求求解解:令已知 原式=第四十一页，讲稿共五十一页哦42例例8.求求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2第四十二页，讲稿共五十一页哦43例例9*9*分析函数复合的层次：解首先改写第四十三页，讲稿共五十一页哦44

10、例例10：求下列函数的极限（分子有理化）第四十四页，讲稿共五十一页哦45例例11.求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=第四十五页，讲稿共五十一页哦46例例12.试确定常数 a 使解解:令则故因此第四十六页，讲稿共五十一页哦47解解:利用前一极限式,可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故例例1313第四十七页，讲稿共五十一页哦48内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第四十八页，讲稿共五十一页哦49 3.极限求法小结 多项式与分式函数代入法求极限;因式分解消去零因子法求极限;无穷小因子分出法求极限;利用左右极限求分段函数极限；利用极限四则运算性质求极限;利用复合函数求极限法。第四十九页，讲稿共五十一页哦50思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问第五十页，讲稿共五十一页哦感感谢谢大大家家观观看看第五十一页，讲稿共五十一页哦