电动力学 .ppt

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1、电动力学课件 现在学习的是第1页，共74页2023/4/512.1 基本方程和唯一性定理一基本方程 (分区均匀线性各向同性介质)（2.1.1)（2.1.3)（2.1.2)二 静电势及其微分方程（2.1.4)（2.1.9)（2.1.5)泊松方程泊松方程三 边值关系（2.1.8)1n【备注】齐次边值关系用于直接求解；非齐次关系事后用来计算界面电荷密度（题目给定非零 0 的情况例外）2现在学习的是第2页，共74页2023/4/522.1 基本方程和唯一性定理四定解条件（实现解的唯一、存在）l边界条件：解域边界上外加条件 标定边界条件的三个原则：1.可测（控）性：标定的物理量可以测量，或可以控制 2.

2、自洽性：与基本方程和边值关系不矛盾 3.定解问题的适定性：解唯一存在l正则条件 1.解域内电势处处单值、有限（点电荷或线电荷上例外）2.无限远处的渐近条件 (1)电势趋于零（无外场及有限电荷分布情况）(2)均匀场条件，例如：E=E0 ez E0 z (3)解域内存在无限长柱状电荷：(:线电荷密度)现在学习的是第3页，共74页2023/4/532.1 基本方程和唯一性定理五静电场唯一性定理l采用“倒叙法”：要使解唯一，至少要加上什么边界条件？1.所提边界条件的依据是什么？2.边界条件是否过分而导致无解？3.有几种可供选择的标定边界条件的方案？l 待加边界条件的定解问题的静电场解，至少需在边界 S

3、 给 加上何种边界条件才保证解的唯一性？（注意：（注意：0 和和0 事先给定，可以为零）事先给定，可以为零）分区均匀介质，解域：V，边界 S；各介质区体积：V i，边界 Si满足现在学习的是第4页，共74页2023/4/542.1 基本方程和唯一性定理l 回答：反证法设有两个解：1 和 2；令 则将第三格林公式用于第 i 介质区,得式中右边第二项消失,据此求得对各区求和得(2.1.13)合适的边界条件应确保上式右边面积分为零，从而解唯一现在学习的是第5页，共74页2023/4/552.1 基本方程和唯一性定理1.第一类边界条件：给定边界电势 S=0;2.第二类边界条件：给定边界电势的法向导数

4、(/n)S=0;满足高斯定理自洽条件：满足高斯定理自洽条件：，参见式，参见式(2.1.17)(2.1.17)1.混合边界条件：一部分边界第一类；另一部分边界第二类2.给定各导体的电量(2.1.18)证明：(2.1.13)证毕【说明】不能认定【说明】不能认定0=0,否则用不上条件否则用不上条件(2.1.18)！(2.1.18)现在学习的是第6页，共74页2023/4/562.2 分离变量法一由泊松方程到拉普拉斯方程l 方法实质：将偏微分方程化为若干个常微分方程分别求解l 适用范围：线性齐次偏微分方程泊松方程：特解：令则 满足拉普拉斯方程(齐次)：【备注】以下限于二维问题，电势仅为两个空间坐标的函

5、数 1.与三维问题分离变量法求解过程类似 2.电动力学课程一般不涉及三维问题 3.基本不涉及数理方程中出现的复杂特殊函数建议：建议：在学习数理方程课程中，可参考有关电动力学参考书，适在学习数理方程课程中，可参考有关电动力学参考书，适当扩大分离变量处理复杂问题的范围。例如：当扩大分离变量处理复杂问题的范围。例如：J.D.Jackson,经典电动力学经典电动力学,高等教育出版社高等教育出版社,北京北京,2002.现在学习的是第7页，共74页2023/4/572.2 分离变量法二 直角坐标（x,y,z）下二维问题的分离变量解(2.2.9)本征值 由齐次边界条件确定(可能为虚数），系数由边值关系和定解

6、条件（边界条件和正则条件）确定现在学习的是第8页，共74页2023/4/582.2 分离变量法例例2.1 2.1 如图如图2 21 1所示所示,电场局限于由间距为电场局限于由间距为a的两个半的两个半无限平行导体平板和与之垂直、宽度为无限平行导体平板和与之垂直、宽度为a 的无限长导体的无限长导体端板构成的区域之中端板构成的区域之中,端板和平行板之间彼此绝缘端板和平行板之间彼此绝缘.将两将两平行导体平板接地平行导体平板接地,端板加上电势端板加上电势 V0,求该区域内的电势求该区域内的电势分布分布.图21xyaOV0解解 采用直角坐标采用直角坐标,写出通解：写出通解：由第由第3个条件得个条件得 c=

7、0；不妨令不妨令 d =1.由齐次边界条件由齐次边界条件(第第1个个)确定本征值确定本征值 和和 b：列出边界条件和正则条件列出边界条件和正则条件：最后由第最后由第2个条件确定个条件确定a：现在学习的是第9页，共74页2023/4/592.2 分离变量法解毕解毕利用正弦函数的级数展开系数计算公式得利用正弦函数的级数展开系数计算公式得(续解例续解例2.1)现在学习的是第10页，共74页2023/4/5102.2 分离变量法三 圆柱坐标（,z）下二维问题的分离变量解(2.2.14)本征值本征值m由周期边界条件确定由周期边界条件确定(02),系数由边值关系和定解条件确定系数由边值关系和定解条件确定现

8、在学习的是第11页，共74页2023/4/5112.2 分离变量法图22xzE0Oa例例2.2 2.2 半径为半径为 a 的无限长导体圆柱置于均匀电场的无限长导体圆柱置于均匀电场E0之中之中,该电场与圆柱轴线垂直该电场与圆柱轴线垂直,单位长度圆柱所带电荷为单位长度圆柱所带电荷为 .设柱外为真空设柱外为真空,求空间电势分布求空间电势分布.解解 取圆柱坐标系取圆柱坐标系,尝试取通解中尝试取通解中m=0,1的项：的项：利用单位长度导体电量为利用单位长度导体电量为 的的条件确定条件确定 b0：列出边界条件和正则条件：列出边界条件和正则条件：1.周期边界条件周期边界条件(已体现在通解的选择之中已体现在通

9、解的选择之中)2.远处渐近条件远处渐近条件:均匀场长直线电荷场均匀场长直线电荷场（部分体现）（部分体现）3.导体带电量和导体表面为等势面导体带电量和导体表面为等势面(尚未使用尚未使用)利用导体表面为等势面的条件定出：利用导体表面为等势面的条件定出：利用远处（利用远处（）均匀场条件定出：）均匀场条件定出：现在学习的是第12页，共74页2023/4/5122.2 分离变量法式中无关紧要的常数式中无关紧要的常数 0 可通过适当选择电势零点确定可通过适当选择电势零点确定.解毕解毕四 球坐标（r,）下二维问题的分离变量解勒尚德多项式勒尚德多项式(续解例续解例2.2)现在学习的是第13页，共74页2023

10、/4/5132.2 分离变量法(2.2.21)1.本征值 n 由关于 0 和 电势有限的条件确定：n 为正整数；2.对于简单问题，只需取通解中的头几项（系数由边值关系和定解条件确定）：可直接验证它们分别满足可直接验证它们分别满足现在学习的是第14页，共74页2023/4/5142.2 分离变量法例例2.3 2.3 半径为半径为a、介电常量为、介电常量为 的均匀介质的均匀介质球球,置于均匀电场置于均匀电场 E0 之中之中,球外真空球外真空,求空间电求空间电势和电场分布势和电场分布.图23yzE0Oax0解解 取球坐标系取球坐标系,尝试取通解中尝试取通解中m=0,1的项：的项：球内球内（r a）：

11、）：共共6个待定系数个待定系数.列出正则条件和边值关系：列出正则条件和边值关系：1.球内电势处处有限球内电势处处有限（已体现在（已体现在 1 的选择之中）的选择之中）2.远处渐近条件远处渐近条件:均匀场均匀场（部分体现）（部分体现）3.球面上的边值关系球面上的边值关系（尚未使用）（尚未使用）,现在学习的是第15页，共74页2023/4/5152.2 分离变量法余下余下4个系数由边值关系确定：个系数由边值关系确定：利用远处（利用远处（r ）均匀场条件定出：）均匀场条件定出：且不妨令且不妨令将上述两式按是否含因子将上述两式按是否含因子 cos 用整理如下用整理如下：左右两边分别等于零，得左右两边分

12、别等于零，得4个方程；从中解得余下个方程；从中解得余下4个系数：个系数：(续解例续解例2.3)现在学习的是第16页，共74页2023/4/5162.2 分离变量法启示：启示：小带电体近似：小带电体近似：p 0，因极化或感应造成的相互影响可以忽略因极化或感应造成的相互影响可以忽略1.电势：电势：2.电场：电场：(2.2.24)(2.2.25)式中：式中：(2.2.26)【备注】【备注】从从(2.2.25)减去减去E0，得均匀极化球的场（见教材），解毕，得均匀极化球的场（见教材），解毕(续解例续解例2.3)现在学习的是第17页，共74页2023/4/5172.2 分离变量法l注意三个问题1.能进行

13、变量分离的正交曲线坐标系只有11种，参见 P.M.Morse and H.Feshbach,Methods of Theoretical Physics,2 Pts.,McGraw-Hill,New York,1953;或：P.Moon and D.E.Spencer,Field Theory Handbook,Springer Verlag,1961.2.分离变量法所得特解的正交完备性质需要证明3.分离变量法适用于其他线性齐次方程，例如第四章将要提到的波动方程（赫姆霍兹方程）l分量变量法步骤1.列出通解（无穷级数）或猜解（级数的头1至2项）2.列出全部边值关系、边界条件和正则条件3.确定本征

14、值和待定系数小 结现在学习的是第18页，共74页2023/4/5182.3 格林函数法l 方法实质：将一般定解问题约化为点源、齐次方程的定解问题l 物理含义：体现静电场的叠加原理,解写成类似库仑积分的形式l 数学手段：第二格林公式一 定解问题(法向 n 指向解域外部;S 为解域内边界)第一类边值问题：第二类边值问题：二格林函数1.定义(r:场点；场点；r:源点源点)第一类边值问题的格林函数第二类边值问题的格林函数；(2.3.5)(2.3.6)(2.3.4)第二类问题限于内边界第二类问题限于内边界 S 外的无限解域，高斯定理自洽条件自动满足外的无限解域，高斯定理自洽条件自动满足现在学习的是第19

15、页，共74页2023/4/5192.3 格林函数法2.对称性 1.物理学中有趣的互易原理（有条件，但普遍存在）物理学中有趣的互易原理（有条件，但普遍存在）位于位于 r 的源在的源在 r 处处产生的场等于位于产生的场等于位于 r 的源在的源在 r 处产生的场处产生的场 检验格林函数正确性的一个有用判据检验格林函数正确性的一个有用判据 对于有限解域的第二类边值问题的格林函数，可通过适当变换维持格对于有限解域的第二类边值问题的格林函数，可通过适当变换维持格林函数的对称性，参见：林函数的对称性，参见：1 K.J.Kim and J.D.Jackson,Am.J.Phys.,61(12),1144-11

16、46,1993.2 J.D.Jackson,Classical Electrodynamics,高等教育出版社，北京，高等教育出版社，北京，2004，p.52,习题习题1.14(2.3.7)现在学习的是第20页，共74页2023/4/5202.3 格林函数法格林函数对称性的证明：令 证毕 由格林函数满足的微分方程由格林函数满足的微分方程 由格林函数由格林函数满足的边界条件满足的边界条件现在学习的是第21页，共74页2023/4/5212.3 格林函数法三 格林函数法将原格林函数定义方程中的 r 和 r 互换：问题：为何要做这种互换？问题：为何要做这种互换？回答：使得微分和下面即将利用的格林公式

17、中的回答：使得微分和下面即将利用的格林公式中的积分积分对对 r 进行，从而进行，从而作为积分结果的电势解为作为积分结果的电势解为 r 的函数。的函数。现在学习的是第22页，共74页2023/4/5222.3 格林函数法上述表达式只能视为电势的形式解，并非实际边值问题的电势解上述表达式只能视为电势的形式解，并非实际边值问题的电势解 理由：在边界理由：在边界 S 上只需标定电势或其法向导数之一，即得唯一解上只需标定电势或其法向导数之一，即得唯一解利用第二格林公式：利用第二格林公式：令令 为待求电势为待求电势，得得现在学习的是第23页，共74页2023/4/5232.3 格林函数法1.第一类边值问题

18、的解第一类边值问题的解(G1 为第一边值问题的格林函数为第一边值问题的格林函数)2.第二类边值问题的解第二类边值问题的解(G2 为第二边值问题的格林函数为第二边值问题的格林函数)(2.3.12)(2.3.11)3.利用格林函数的对称性利用格林函数的对称性(2.3.11a)(2.3.12a)修改后的解自然体现了源和场的关系和静电场的叠加原理修改后的解自然体现了源和场的关系和静电场的叠加原理 不能认为体积分代表实际体源、面积分代表实际面源的贡献！（举个反例）不能认为体积分代表实际体源、面积分代表实际面源的贡献！（举个反例）体积分满足非齐次方程齐次边界条件，面积分满足齐次方程非齐次边界条件体积分满足

19、非齐次方程齐次边界条件，面积分满足齐次方程非齐次边界条件现在学习的是第24页，共74页2023/4/5242.3 格林函数法四格林函数及格林函数法应用举例l格林函数的计算 1.求解格林函数的定解问题积分或级数形式的格林函数 2.电像法（本课程限于这种情况）(2.3.13)【说明【说明1】相当于单位点电荷的静电场相当于单位点电荷的静电场(不做第一、二类区分不做第一、二类区分)(2.3.15)【说明【说明2】即库仑电势积分；我们从静电场方程出发导出了库仑定律，即库仑电势积分；我们从静电场方程出发导出了库仑定律，从而严格证明了库仑定律（及叠加原理）与静电场两条定理完全等效从而严格证明了库仑定律（及叠

20、加原理）与静电场两条定理完全等效（对比（对比1.1节通过矢量场唯一性定理给出的证明）节通过矢量场唯一性定理给出的证明）l无限空间的格林函数(2.3.14)现在学习的是第25页，共74页2023/4/5252.3 格林函数法l半无限空间的格林函数（电像法）r zROrr 图24R S场点：r(x,y,z)源点：r (x,y,z)像点：r (x,y,z)(2.3.16)(2.3.17)场点场点源点源点像点像点上述两类格林函数满足对称性条件第一类：第二类：现在学习的是第26页，共74页2023/4/5262.3 格林函数法(2.3.18)1.第一类边值问题现在学习的是第27页，共74页2023/4/

21、5272.3 格林函数法2.第二类边值问题(2.3.19)现在学习的是第28页，共74页2023/4/5282.3 格林函数法图25yzOaxV0=0例例2.4 2.4 如图如图2 25 5所示所示,半径为半径为a 的圆的圆周将无限导体平板切割为彼此绝缘周将无限导体平板切割为彼此绝缘的两个部分的两个部分,圆内电势为圆内电势为 V0,圆外圆外电势为零电势为零,求上半空间求上半空间(真空真空)的电势的电势分布分布,给出远处给出远处(r a)电势的近似电势的近似结果结果.解解 属于第一类边值问题，启用圆柱坐标属于第一类边值问题，启用圆柱坐标解域内无电荷，只涉及面积分项解域内无电荷，只涉及面积分项现在

22、学习的是第29页，共74页2023/4/5292.3 格林函数法时，近似有时，近似有解毕解毕当当用泰勒展开化简积分并求得解析结果用泰勒展开化简积分并求得解析结果:代入电势积分表达式，最终求得代入电势积分表达式，最终求得(续解例续解例2.4)现在学习的是第30页，共74页2023/4/5302.3 格林函数法l球外无限空间第一类边值问题的格林函数（电像法）r OrPR图26ar Rz场点：r(x,y,z)源点：r (x,y,z)像点：r (r=a2/r场点场点源点源点像点像点(2.3.20)上述格林函数满足上述格林函数满足对称性条件对称性条件现在学习的是第31页，共74页2023/4/5312.

23、3 格林函数法球外无限空间第一类边值问题的电势解l球内空间第一类边值问题的格林函数和电势解1.格林函数形式完全相同2.电势解可由球外的电势解推得：只需做如下两点修改体积分域改为球内;面积分反号（理由：对球内/n=/r；对球外/n=/r(2.3.25)(2.3.26)现在学习的是第32页，共74页2023/4/5322.3 格林函数法例例2.5 2.5 半径为半径为a的导体球壳被切成两半的导体球壳被切成两半,彼此绝缘彼此绝缘,分别加上电势分别加上电势 V0,置置于真空中于真空中.证明远距离的电场为偶极场证明远距离的电场为偶极场,并给出电偶极矩的表达式并给出电偶极矩的表达式.解解 取球坐标取球坐标

24、,原点位于球心原点位于球心,z 轴与切割面垂直轴与切割面垂直,由负半球指向正半球由负半球指向正半球,则则 在在近似下，有近似下，有解毕解毕现在学习的是第33页，共74页2023/4/5332.3 格林函数法五 格林函数法的其他应用举例 可以在不求出格林函数具体表达式的情况下，分析静电场的某些有趣性质，相应的习题十分灵活，下面举例说明.例例2.6 2.6 证明证明:对于无源空间任意球面对于无源空间任意球面,球面上全部电势的平均值等于球球面上全部电势的平均值等于球心电势心电势.证证 不妨设球面半径为不妨设球面半径为a,球心为坐标原点球心为坐标原点.则由前述球内第一类边值问题则由前述球内第一类边值问

25、题的解求得的解求得【推论】【推论】无源空间的电势分布不可能存在极值点无源空间的电势分布不可能存在极值点.证毕证毕现在学习的是第34页，共74页2023/4/5342.3 格林函数法例例2.7 2.7 由导体板围成的立方体真空解域由导体板围成的立方体真空解域,六个侧面彼此绝缘六个侧面彼此绝缘,其中一个侧面电其中一个侧面电势为势为 V0,其余侧面接地其余侧面接地,求解域中心的电势求解域中心的电势.解解 由第一类边值问题的电势解由第一类边值问题的电势解,写出中心电势与侧面电势之关系写出中心电势与侧面电势之关系式中式中Si 为第为第i 个侧面，个侧面，Vi 为其电势为其电势.虽不知道格林函数的具体形式

26、，但从对虽不知道格林函数的具体形式，但从对称性出发，可判断上式右边和式中的面积分应与侧面编号无关，于是得称性出发，可判断上式右边和式中的面积分应与侧面编号无关，于是得代回原式得代回原式得解毕解毕现在学习的是第35页，共74页2023/4/5352.4 多极子电场l 研究意义：提炼和获取带电体（微观粒子）电荷分布的基本信息提炼和获取带电体（微观粒子）电荷分布的基本信息l 数学手段：泰勒展开泰勒展开一小带电体静电场的多极展开l电势积分的难点库仑积分被积式分母中出现的库仑积分被积式分母中出现的 R，使得解析积分难以进行。，使得解析积分难以进行。解决途径：远场近似（解决途径：远场近似（r r），将），

27、将 R 对小参数对小参数 r 进行泰勒展开进行泰勒展开l与 R 有关的微分恒等式场点：场点：r源点：源点：r(2.4.1)(2.4.3)现在学习的是第36页，共74页2023/4/5362.4 多极子电场当当时，有时，有如何理解？如何理解？l 从单变量复合函数求导数运算谈起：从单变量复合函数求导数运算谈起：l 该结论容易推广至三变量函数：该结论容易推广至三变量函数：现在学习的是第37页，共74页2023/4/5372.4 多极子电场l(1/R)相对小参数 r 的泰勒展开r Or图27PRdVB(1/R)的展开结果之一：利用的展开结果之一：利用(2.4.4)现在学习的是第38页，共74页2023

28、/4/5382.4 多极子电场(1/R)的展开结果之二：的展开结果之二：(2.4.5)下一步计算下一步计算（1/r)和和(1/r)，写出另一种展开形式：，写出另一种展开形式：(2.4.4)(1/R)的展开结果之一：的展开结果之一：现在学习的是第39页，共74页2023/4/5392.4 多极子电场l电势表达式(2.4.6)(2.4.7)(2.4.8)(2.4.9)(2.4.10)l各阶矩表达式零阶矩（电量）：零阶矩（电量）：(2.4.11)一阶矩（电偶极矩）：一阶矩（电偶极矩）：二阶矩：二阶矩：电四极矩：电四极矩：(2.4.12)二阶矩和电四极矩的关系：二阶矩和电四极矩的关系：电四极矩为零迹张

29、量：电四极矩为零迹张量：现在学习的是第40页，共74页2023/4/5402.4 多极子电场l各阶矩对应的电势和电场1.点电荷场（零阶矩）2.电偶极子场（一阶矩）3.电四极子场（二阶矩或电四极矩）现在学习的是第41页，共74页2023/4/5412.4 多极子电场l关于电四极子电场表达式的推导(符号法下标法）符号法下标法）现在学习的是第42页，共74页2023/4/5422.4 多极子电场 l用四极矩取代的理由1.1.电势和电场表达式简洁电势和电场表达式简洁2.2.独立分量个数少一个，减少计算量独立分量个数少一个，减少计算量3.3.物理意义更加清晰：对球对称电荷分布，四极矩为零，但电二阶矩物理

30、意义更加清晰：对球对称电荷分布，四极矩为零，但电二阶矩不为零；二者求得的四极子场同为零。不为零；二者求得的四极子场同为零。究竟先算究竟先算还是还是回答回答:仅仅3 3个对角分量算个对角分量算1 1或多个分量算或多个分量算现在学习的是第43页，共74页2023/4/5432.4 多极子电场当零阶矩当零阶矩 Q=0 时不受影响时不受影响二 参考点选择的影响 如图如图2 28 8，将原参考点，将原参考点O移至移至O：r ROrPr1图28O1r0以一阶矩为例：以一阶矩为例：仍取原参考点仍取原参考点O 为坐标原点：为坐标原点：电荷密度仍为电荷密度仍为(r)；被积式中的被积式中的 r 换成换成1.电量不

31、受影响2.电偶极矩现在学习的是第44页，共74页2023/4/5442.4 多极子电场3.电二阶矩当零阶矩当零阶矩 Q=0 和一阶矩和一阶矩 p=0 时不受影响时不受影响【结论】【结论】当直到当直到 n 阶矩等于零时，第阶矩等于零时，第 n+1 阶矩不受影响阶矩不受影响 换句话说，最低阶非零矩不受参考点选择的影响换句话说，最低阶非零矩不受参考点选择的影响二 参考点选择的影响（续）（续）【提示】【提示】题目通常只关心最低阶非零矩，题目通常只关心最低阶非零矩，它它不受参考点选不受参考点选 择的影响；择的影响；通常将参考点选在电荷系统的中心位置通常将参考点选在电荷系统的中心位置现在学习的是第45页，

32、共74页2023/4/5452.4 多极子电场三 点电荷丛的多极矩 第 i 个点电荷 qi 位于 ri：电量：电量：(2.4.21)(2.4.22)(2.4.23)(2.4.24)电偶极矩：电偶极矩：电二阶矩：电二阶矩：电四极矩：电四极矩：【提示】【提示】1.取参考系，将电荷编号并列出各自的电量和位置矢量取参考系，将电荷编号并列出各自的电量和位置矢量2.将位置矢量按直角坐标基矢展开将位置矢量按直角坐标基矢展开3.二阶矩或四极矩按直角坐标下的并基矢展开：二阶矩或四极矩按直角坐标下的并基矢展开：现在学习的是第46页，共74页2023/4/5462.4 多极子电场四 四极矩及四极子场计算举例lO图2

33、9xzqqqd例例2.8 计算图计算图29所示的点电荷丛的四极矩及所示的点电荷丛的四极矩及其电势其电势.解解 先给先给4个点电荷编号列表个点电荷编号列表i1234qiq q qqzi(l+d)/2(l d)/2(l d)/2(l+d)/2易见点电荷丛的电量和电偶极矩为零，电四极矩只有易见点电荷丛的电量和电偶极矩为零，电四极矩只有对角分量对角分量(因因yi=zi=0)，且由对称性可知，且由对称性可知,.只需计算只需计算q现在学习的是第47页，共74页2023/4/5472.4 多极子电场该电四极子的电势为该电四极子的电势为：考察点矢径与考察点矢径与 z 轴之间的夹角轴之间的夹角.（续解例（续解例

34、2.82.8）重写前述计算结果：重写前述计算结果：解毕解毕另一种方案：从二阶矩出发，容易判断只有一个分量另一种方案：从二阶矩出发，容易判断只有一个分量结论：对本例，两种方案各有千秋结论：对本例，两种方案各有千秋现在学习的是第48页，共74页2023/4/5482.4 多极子电场例例2.92.9 对于非球对称原子核对于非球对称原子核,人们常采用具有均匀电荷分布的旋转椭球加人们常采用具有均匀电荷分布的旋转椭球加以逼近以逼近.设原子核电量为设原子核电量为 Q,沿对称轴方向的半轴为沿对称轴方向的半轴为 b,垂直方向的半轴垂直方向的半轴为为 a,求原子核相对中心的四极矩和总电势求原子核相对中心的四极矩和

35、总电势.解解 取对称轴为取对称轴为 z 轴，子午面（通过轴，子午面（通过 z 轴）椭球的截面方程为轴）椭球的截面方程为椭球体积为椭球体积为电荷密度为电荷密度为带电椭球的电量不为零，但电偶极矩为零；四极矩与参考点选择带电椭球的电量不为零，但电偶极矩为零；四极矩与参考点选择有关；在目前情况下，选择椭球中心为参考点有关；在目前情况下，选择椭球中心为参考点.由对称性，电四由对称性，电四极矩只有对角分量，且极矩只有对角分量，且只需计算只需计算现在学习的是第49页，共74页2023/4/5492.4 多极子电场续解例续解例2.9:2.9:特定区域内的三重积分特定区域内的三重积分电四极子电势：电四极子电势：

36、原子核总电势：原子核总电势：解毕解毕结论：对本例，第二方案需计算两个分量结论：对本例，第二方案需计算两个分量D11=D22和和D33，较复杂，较复杂 0 xzbaO现在学习的是第50页，共74页2023/4/5502.4 多极子电场r Or图210Or0dVB四 电多极子在外电场中所受的力和力矩作为泰勒展开法的进一步应用，给同学们作为泰勒展开法的进一步应用，给同学们提供掌握泰勒展开法的又一次机会提供掌握泰勒展开法的又一次机会1.采用两个坐标系采用两个坐标系,写出力和力矩表达式写出力和力矩表达式l 实验室坐标系：实验室坐标系：原点原点O，位置矢量，位置矢量 r，l 带电体坐标系：带电体坐标系：原

37、点原点O，位置矢量，位置矢量 r，力：力：力矩：力矩：现在学习的是第51页，共74页2023/4/5512.4 多极子电场当当时，有时，有如何理解？如何理解？l 从单变量复合函数求导数运算谈起：从单变量复合函数求导数运算谈起：l 该结论容易推广至三变量函数：该结论容易推广至三变量函数：l 同理可证：同理可证：现在学习的是第52页，共74页2023/4/5522.4 多极子电场2.将外电场相对参考点将外电场相对参考点 O 做泰勒展开（注意做泰勒展开（注意 0）四 电多极子在外电场中所受的力和力矩（续）（续）3.力：力：现在学习的是第53页，共74页2023/4/5532.4 多极子电场四 电多极

38、子在外电场中所受的力和力矩（续）（续）4.力矩：力矩：(2.4.30)(2.4.31)(2.4.32)(2.4.35)(2.4.34)(2.4.33)现在学习的是第54页，共74页2023/4/5542.4 多极子电场1.熟练掌握泰勒展开法及其应用2.计算连续电荷分布带电体和点电荷丛的四极矩3.计算电四极子的电势和电场4.计算电偶极子和电四极子在外电场中所受的力和力矩【备注】【备注】记住各阶矩的定义式，但电偶极子和电四极子的电势和电场表达式，以及力和力矩表达式不必记（题目会告知相关公式）小 结现在学习的是第55页，共74页2023/4/5552.5 静电能l 从电磁场能量和能量守恒普遍结果出发

39、，导出静电场的能量表达式及守恒定理l 静电场热力学基本知识及简单应用一 静电能基本公式静电场的能量密度：静电场的能量密度：1.从电磁学结果推导电场能公式从电磁学结果推导电场能公式重要说明：静电场线性电介质系统的静电能重要说明：静电场线性电介质系统的静电能现在学习的是第56页，共74页2023/4/5562.5 静电能2.2.从电磁场能量守恒定理出发推导电场能公式从电磁场能量守恒定理出发推导电场能公式 目的：从普遍结果回到静电场的特殊情况；明确其中所做的假目的：从普遍结果回到静电场的特殊情况；明确其中所做的假设（近似）设（近似）静电场近似：略去辐射项静电场近似：略去辐射项(S=0)，设磁能始终为

40、零，设磁能始终为零(B=0)，则，则外界对静电场的功率：外界对静电场的功率：静电场的能量：静电场的能量：能量守恒定理：能量守恒定理：(2.5.1)(2.5.4)(2.5.3)(2.5.2)；(2.5.5)现在学习的是第57页，共74页2023/4/5572.5 静电能3.静电能公式转换静电能公式转换4.注意注意(1)能量密度中包含介质极化能能量密度中包含介质极化能:(2)因而介质必须是线性无色散、无损耗介质，但可非均匀因而介质必须是线性无色散、无损耗介质，但可非均匀(3)在静电能表达式在静电能表达式(2.5.7)中，中，为总电势，为总电势，0 为自由电荷！为自由电荷！(4)可放心在非均匀（一般

41、分区均匀）介质中使用可放心在非均匀（一般分区均匀）介质中使用(2.5.7)及相关及相关能量守恒定理能量守恒定理(2.5.4)：(2.5.7)(2.5.4)(2.5.6)现在学习的是第58页，共74页2023/4/5582.5 静电能例例2.10 2.10 将电量为将电量为 e 的带电粒子从无限远移至内径为的带电粒子从无限远移至内径为 R、厚度为、厚度为t、电量、电量为为 Q 的空心导体球壳的球心位置的空心导体球壳的球心位置,求外界做功求外界做功.解解 始态：无限远离的带电粒子和带电导体球壳始态：无限远离的带电粒子和带电导体球壳We：带电粒子静电能带电粒子静电能第二项：外径第二项：外径 R+t

42、带电导体球壳静电能带电导体球壳静电能末态：中心：末态：中心：e；内壁：；内壁：e；外壁：；外壁：Q+e2(0)：导体球壳在球心产生的导体球壳在球心产生的电势；电势；(R)：导体球壳上总电势：导体球壳上总电势中间参量中间参量We将被消去，关键在于计算将被消去，关键在于计算2(0)和和(R)eeQ+eRR+t现在学习的是第59页，共74页2023/4/5592.5 静电能2(0)和和(R)的计算的计算1.1.由高斯定理计算总电场：由高斯定理计算总电场：2.2.积分求总电势：积分求总电势：3.3.导体球壳在腔内产导体球壳在腔内产生的电势：生的电势：4.确定确定2(0)和和(R)：（续解例（续解例2.

43、102.10）现在学习的是第60页，共74页2023/4/5602.5 静电能最终结果：最终结果：解毕解毕（续解例（续解例2.102.10）现在学习的是第61页，共74页2023/4/5612.5 静电能例例2.11 2.11 将半径为将半径为a、介电常量为、介电常量为 的小介质球从无限远移至外电场的小介质球从无限远移至外电场E0中中,求外界做功求外界做功.解法解法1：由始末态能量分析求功：由始末态能量分析求功引入中间量引入中间量 外场的静电能（始态）：外场的静电能（始态）：末态：末态：式中式中0 题目未给定题目未给定.利用电势的库仑积分可证明如下对易关系：利用电势的库仑积分可证明如下对易关系

44、：从而避免了从而避免了0 未曾给定的困难未曾给定的困难.现在学习的是第62页，共74页2023/4/5622.5 静电能 由由2.32.3节例节例2 2结果结果 负功：介质球被负功：介质球被外场吸入其中外场吸入其中解毕解毕（续解例（续解例2.112.11）现在学习的是第63页，共74页2023/4/5632.5 静电能解法解法2 直接计算外界克服电磁力做功直接计算外界克服电磁力做功解毕解毕式中式中由由得得与解法与解法1的结果相同的结果相同.(续解例续解例2.11)现在学习的是第64页，共74页2023/4/5642.5 静电能如果用如果用算得算得结果不正确，结果不正确，试问错在何处？试问错在何

45、处？回答：求梯度时回答：求梯度时 p 应视为常量！积分应视为常量！积分过程中则应计入过程中则应计入 p 的变化的变化(求力视求力视 p 为常量为常量)(积分视积分视 p 为变量为变量)回到前述解法回到前述解法2 2及其正确结果及其正确结果(续解例续解例2.11)现在学习的是第65页，共74页2023/4/5652.5 静电能小结：关于静电场的能量分析1.求功的两种方法：始末态能量分析和直接计算做功2.分析始末态能量时，放心使用（对线性非均匀介质）3.直接计算做功时，电偶极子受力公式中的 p 应视为常量,不受梯度算符的作用,不管它实际上是否变化！换句话说，应使用式中 为总电势，为总电势，0 为自

46、由电荷！为自由电荷！计算中注意技巧，大胆引入中间参量。且在积分过程中，考虑 p 随 E 的变化现在学习的是第66页，共74页2023/4/5662.5 静电能二小带电体在外电场中的静电能前提：带电体电荷分布和外电场维持不变前提：带电体电荷分布和外电场维持不变电磁学中的结果：电磁学中的结果：再次提供大家熟悉泰勒展开的机会：再次提供大家熟悉泰勒展开的机会：r Or图210Or0dVB现在学习的是第67页，共74页2023/4/5672.5 静电能二小带电体在外电场中的静电能（续）（续）点电荷：点电荷：电偶极子：电偶极子：电四极子：电四极子：现在学习的是第68页，共74页2023/4/5682.5

47、静电能二小带电体在外电场中的静电能（续）（续）电磁力表示为能量的负梯度：电磁力表示为能量的负梯度：在以上推导中：在以上推导中：1.1.视偶极矩和四极矩为视偶极矩和四极矩为“常量常量”，不管它们实际上是否变化，不管它们实际上是否变化2.2.用到外电场在带电体内的旋度为零的性质：用到外电场在带电体内的旋度为零的性质：(参见参见1.1节例节例1.5)(2.5.13)现在学习的是第69页，共74页2023/4/5692.5 静电能三 静电场热力学l在非线性介质中，无法针对外界移动自由电荷定义相对应的能量，在非线性介质中，无法针对外界移动自由电荷定义相对应的能量，怎么办？怎么办？l一旦碰到这种情况，采用

48、热力学方法进行处理：承认能量守恒，一一旦碰到这种情况，采用热力学方法进行处理：承认能量守恒，一般伴随功热转换的不可逆过程般伴随功热转换的不可逆过程l 静电场热力学方程静电场热力学方程对可逆过程：对可逆过程：(2.5.14)(2.5.15)l第一章第第一章第4 4节的一般结果节的一般结果 电磁场热力学方程电磁场热力学方程现在学习的是第70页，共74页2023/4/5702.5 静电能图211OEP例例2.12 计算各向同性铁电体的电滞损耗计算各向同性铁电体的电滞损耗,证明证明电滞回线只可能逆时针运行电滞回线只可能逆时针运行.解解 按图示电滞回线运行方向，对绝热按图示电滞回线运行方向，对绝热过程有

49、过程有在反复极化过程中，功全部转化为热能在反复极化过程中，功全部转化为热能.若电滞回线运行方向改为顺时针，则上述积分变负，即系统损失若电滞回线运行方向改为顺时针，则上述积分变负，即系统损失热能（冷却），并全部转化为功；换言之，从单一热源取热，全热能（冷却），并全部转化为功；换言之，从单一热源取热，全部转换为功部转换为功 违反热力学第二定律！违反热力学第二定律！结论：任何各向同性铁电体的电滞回线只可能逆时针运行结论：任何各向同性铁电体的电滞回线只可能逆时针运行解毕解毕现在学习的是第71页，共74页2023/4/5712.5 静电能例例2.13 证明线性各向异性电介质的介电常量为对称张量证明线性各

50、向异性电介质的介电常量为对称张量:证证 引入热力学函数引入热力学函数 d 为全微分：为全微分：证毕证毕现在学习的是第72页，共74页2023/4/5722.5 静电能1.L.D.Landao,E.M.Lifshitz,L.P.Pitaevskii,Electrodynamics of Continuous Media,2nd ed.,世界图书出版公司世界图书出版公司,1999,Chapter 2.2.王竹溪：热力学，高等教育出版社，第二版，王竹溪：热力学，高等教育出版社，第二版，1960，19.要了解更多关于静电场热力学的内容，参阅要了解更多关于静电场热力学的内容，参阅现在学习的是第73页，共