数学建模插值法和曲线拟合讲课.ppt

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1、关于数学建模插值法与曲线拟合讲课第一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月一、问题的提出 在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况：（1）其表达式不便于计算；（2）无表达式.而只有函数在给定点的函数值，怎样预测其它点的函数值？xx0 x1x2xnyy0y1y2yn第二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月飞机机翼制造 下下表表给给出出的的x x、y y数数据据位位于于机机翼翼端端面面的的轮轮廓廓线线上上，Y1Y1和和Y2Y2分分别别对对应应轮轮廓廓的的上上下下线线。假假设设需需要要得得到到x x坐坐标标每每改改变变0.10.1时时的的y y坐坐标标，试试完完成成加加工工所需数

2、据，画出曲线所需数据，画出曲线.x035791112131415Y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6Y201.21.72.02.02.01.81.21.01.6第三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月山体地貌n要在某山区方圆大约27平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测量一次，得到一些地点的高程：试做出该山区的地貌图.第四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月船在该海域会搁浅吗？船在该海域会搁浅吗？-作业作业 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，20

3、0）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入.第五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月水深和流速的问题 在水文数据测量中，不同水深的流速是不同的.水文数据的测量时天天进行的，为了减少测量的工作，希望得到确定的水深和水流之间的关系.为此测量了一系列不同水深和流速值.下表给出了对某河流的测量数据，其中水深和流速根据适当的单位进行了规范化，共10个值.第六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月美国人口问题n据美国人口普查局数据：从1790每隔10年至2000年的总人口（单位：百万）如下示nt=1790:10:2000;np=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.1,

4、31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,105.7,122.8,131.7,150.7,179,205,226.5,251.4,281.422;n预测2001，2002年的美国人口数？并与调查数据285.318，288.369比较，选择拟合较好的模型。第七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月农作物施肥效果分析1992年A题在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的关系做了一实验，得到了氮肥、磷肥的施肥量与土豆产量的对应关系如下表：1.根据上表数据分别给出土豆产量与氮、磷肥的关系式。2.施肥问题优化策略氮肥量（公斤/公顷）0346710113520225933640447

5、1土豆产量（公斤）15.1821.3625.7232.293439.4543.1543.4640.8330.75磷肥量（公斤/公顷）024497398147196245294342土豆产量（公斤）33.4632.4736.0637.964140.141。342.240.442.7第八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月配药方案-作业 一种新药用于临床之前,必须设计给药方案.在快速静脉注射的给药方式下,所谓给药方案是指,每次注射剂量多大,间隔时间多长.药物进入机体后随血液输送到全身,在这个过程中不断地被吸收,分布,代谢,最终排出体外.药物在血液中的浓度,即单位体积血液中的药物含量,称血药浓

6、度.在最简单的一室模型中,将整个机体看作一个房室,称中心室,室内的血药浓度是均匀的.快速静脉注射后,浓度立即上升;然后逐渐下降.当浓度太低时,达不到预期的治疗效果;血药浓度太高,又可能导致药物中毒或副作用太强.临床上,每种药物有一个最小有效浓度 c1 和一个最大治疗浓度 c2.设计给药方案时,要使血药浓度保持在 c1-c2 之间.设本题所研究药物的最小有效浓度c1=10,最大治疗浓度 c2=25().第九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月 显然,要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律.为此,从实验和理论两方面着手.在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300

7、mg后,在一定时刻 t(小时)采集血样,测得血药浓度c.如表:血药浓度c(t)的测试数据 t0.250.511.523468c19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01问题问题 ：1.1.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律；律；2.2.给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长？隔时间多长？配药方案第十张，PPT共六十五页，创

8、作于2022年6月二、问题的解决（1）插值法；（2）曲线拟合法 1、问题的抽象、问题的抽象xx1x2xmyy1y2ym构造一个构造一个简单易于计算简单易于计算的近似函数的近似函数 p(x)f(x)（精确函数）。（精确函数）。2、构造近似函数，、构造近似函数，p(x)的方法有两种：的方法有两种：在实验中经常给出一组离散点，在实验中经常给出一组离散点，第十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值法定义：定义：当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复杂非常复杂或或未知时未知时，在一系列节点，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0=f(x0),，yn=f(xn)，由此构造一个

9、由此构造一个简单易算简单易算的近似函数的近似函数 p(x)f(x)，满足条件，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,n)，（插值条件），（插值条件）这里的这里的 p(x)称为称为f(x)的的插值函数；插值函数；构造插值函数的方法为构造插值函数的方法为插值法插值法。第十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月曲线拟合 但是不要求使但是不要求使 p(xi)=yi,而只要而只要 p(xi)yi 总体上总体上尽可能小。这种构造近似函尽可能小。这种构造近似函数数p(x)的方法称为的方法称为曲线拟合法曲线拟合法，p(x)称为称为拟合函数。拟合函数。定义：定义：当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复

10、杂非常复杂或或未知时未知时，在一系列节点，在一系列节点x0 xn 处处,测得函测得函数值数值 y0,，yn，由此构造一个，由此构造一个简单易简单易 算算的近似函数的近似函数 p(x)f(x)，第十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值与拟合的相同点n都需要根据已知数据构造函数。n可使用得到函数计算未知点的函数值。xx1x2xmyy1y2ym求一个求一个简单易算简单易算的近似函数的近似函数 p(x)f(x)。第十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值与拟合的不同点n插值:过节点;；n拟合:不过点,整体近似；第十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值法n拉格朗日插值n

11、牛顿插值n三次埃尔米特插值法n分段线性插值n分段三次埃尔米特插值法n三次样条插值第十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月1、拉格朗日插值公式（）定义对给定的n+1个节点x0,x1,x2,xn及对应的函数值y0,y1,y2,yn，构造一个n次插值多项式：即为拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式，其中插值基函数插值基函数第十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月拉格朗日插值的matlab实现function y=lagrange(x0,y0,x)%x0插值节点，y0插值节点处的函数值，x要计算函数值的点；n=length(x0);%计算x0的长度m=length(x);%计算x的长度fo

12、r i=1:m s=0;z=x(i);nfor k=1:nn p=1.0;n for j=1:nn if j=knp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);n%计算插值基函数n endn endn s=p*y0(k)+s;nendny(i)=s;%计算在x(i)处的函数值（拉格朗日）nend第十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月2、牛顿插值法牛顿插值公式：Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn)其中：fx0,x1一阶差商fx0,x1,x2,xnn阶差商n注：牛顿插值法与拉格朗日插值法，同一个多项式，不同的

13、表达方式，但是计算量不一样，牛顿插值法的计算量小。第十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月龙格现象Runge在上个世纪初发现：在-5,5上用n+1个等距节点作n次插值多项式Pn(x)，当在n时，插值多项式Pn(x)在区间中部趋于f(x)=1/(1+x2),但对于3.63x1的x，Pn(x)严重发散。用图形分析问题。第二十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月forn=10:2:20%从10等份到20等份x0=-5:10/n:5;%插值节点y0=1./(1+x0.2);%插值节点处的精确函数值x=-5:0.1:5;%要进行计算函数值的点y=lagrange(x0,y0,x);%调用函

14、数计算x点的函数值plot(x0,y0,*,x,1./(1+x.2),r,x,y)%绘制图形pause%等待，按任意键end第二十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月3、分段低次插值法（1）分段线性插值 定义：已知n+1个不同节点x0,x1,xn,构造分段多项式I(x)，使之满足lI(x)在a，b上连续；lI(xk)=yk；lI(x)在xi,xi+1上是一次多项式；I(x)=第二十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月（2）分段三次埃尔米特插值法定义：已知n+1个不同节点x0,x1,xn,构造分段多项式I(x)，使之满足：lI(x)在a，b上二阶连续导数；lI(xk)=yk，I(

15、xk)=yk，；lI(x)在xi,xi+1上是三次次多项式。第二十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月4、三次样条插值法 对于给定n+1个不同节点x0,x1,xn及函数值y0,y1,yn，其中a=x0 x1xn=b，构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足：lS(x)在a,b上二阶导数连续；lS(xk)=yk(k=0,1,n)；l每个子区间xk,xk+1上S(x)是三次多项式(k=0,1,n)。第二十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值法的matlab实现一维插值命令：interp1(x0,y0,x，method)其中：x0：插值节点；y0：插值节点处

16、的函数值；x：要计算函数值的点；method：linear：分段线性插值；：分段线性插值；cubic：分段三次埃尔米特插值；spline：三次样条插值。第二十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月插值法的应用n一水库上游河段降暴雨，根据预报测算上游流入水库的流量为一水库上游河段降暴雨，根据预报测算上游流入水库的流量为Q(t)(10Q(t)(102 2立立方米方米/秒秒)：t(时时)8 12 16 24 30 44 48 56 60 Q（t）36 54 78 92 101 35 25 16 13 通过这个预报值，分别用不同的数值方法插值法来估计通过这个预报值，分别用不同的数值方法插值法来估

17、计14 14 和和2020时上游时上游流入水库的流量。流入水库的流量。第二十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月二维插值的MATLAB实现在MATLAB中，二维插值命令常用的有两个，1、一个是网格节点插值：、一个是网格节点插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)其中，nz：被插值点处的函数值；nx0,y0,z0：插值节点，x0,y0为向量，z0是矩阵，其列数等于x0的长度，行数等于y0的长度；nx,y：要计算函数值的点；interp1(x0,y0,x，method)第二十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月山体地貌n要在某山区方圆大约27平方公里范围内

18、修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测量一次，得到一些地点的高程：试做出该山区的地貌图，并对几种插值法进行比较.第二十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月n程序设计：程序设计：nclearnx0=1200:400:4000;ny0=1200:400:3600;nz0=11301250128012301040900500700;n13201450142014001300700900850;n139015001500140090011001060950;n15001200110013501450120011501010;n150012001100

19、15501600155011801070;n15001550160015501600160016001550;n1480150015501510143013001200980;nxi=1200:10:4000;%加密数据点nyi=1200:10:3600;nzil=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,linear);%线性插值nzic=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,cubic);%三次插值nzis=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,spline);%样条插值nsubplot(2,2,1)nmesh(x0,y0,z0)nsubplot(2,2,2)nmesh

20、(xi,yi,zil)nsubplot(2,2,3)nmesh(xi,yi,zic)nsubplot(2,2,4)nmesh(xi,yi,zis)第二十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月二维插值的MATLAB实现2、另一个是离散数据节点的插值命令：z=griddata(x0,y0,z0,x,y,method)其中，nz：被插值点处的函数值；nx0,y0,z0：插值节点，x0,y0,z0均为向量；nx,y：被插值点；method：插值方法，包括：nlinear线性插值；ncubic三次插值；第三十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6

21、月船在该海域会搁浅吗？船在该海域会搁浅吗？在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入.第三十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月解决问题的步骤：1.作出测量点的分布图；2.求出矩形区域（75，200）*（-50，150）的细分网格节点之横、纵坐标向量；3.利用MATLAB中的散点插值函数求网格节点的水深；4.作出海底曲面图形和等高线图；5.作出水深小于5的海域范围.第三十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月程序nclearnx0=129 140 103.5 88 185.5 19

22、5 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;ny0=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5-6.5-81 3 56.5-66.5 84-33.5;nz0=-4-8-6-8-6-8-8-9-9-8-8-9-4-9;nsubplot(2,2,1)nplot(x0,y0,+);%作出测量点的分布图；作出测量点的分布图；nx=75:1:200;%加密加密ny=-50:1:150;nx,y=meshgrid(x,y);nz=griddata(x0,y0,z0,x,y,cubic);nsubplot(2,2,2)nmesh(x,y,z),%用插值方

23、法求出网格节点处的用插值方法求出网格节点处的z坐标矩阵坐标矩阵,绘制出三维图形绘制出三维图形nsubplot(2,2,3)nmeshc(x,y,z),%绘制等高线绘制等高线nsubplot(2,2,4)ncontour(x,y,z,-5-5);%水深水深5英尺处海底曲面的等高线英尺处海底曲面的等高线ngrid on第三十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月拟合的标准n（1）用各点误差绝对值的和表示n（2）用各点误差按绝对值的最大值表示n（3）用各点误差的平方和表示第三十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月最小二乘拟合n式中R2称

24、为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。n按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。第三十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月+p=a1+a2xp=a1+a2x+a3x2p=a1+a2x+a3x2p=a1+a2/xp=aebxp=ae-bx将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 p(x)：第三十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月MATLAB-曲线拟合工具箱nMatlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱（CurveFittingToolbox）cftool，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟

25、合。n调用：cftooln界面如下所示第三十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月“Data”按钮数据的选取n点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；n利用Xdata和Ydata的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Datasetname”，然后点击“Createdataset”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；第四十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月“Fitting”按钮曲线拟合n点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗

26、口；n点击“Newfit”按钮，可修改拟合项目名称“Fitname”，通过“Dataset”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Typeoffit”选择拟合曲线的类型。第四十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月SSEnThesumofsquaresduetoerror.Thisstatisticmeasuresthedeviationoftheresponsesfromthefittedvaluesoftheresponses.Avaluecloserto0indicatesabetterfit.n偏差平方和，越接近0越好第四十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月R-squa

27、renThecoefficientofmultipledetermination.Thisstatisticmeasureshowsuccessfulthefitisinexplainingthevariationofthedata.Avaluecloserto1indicatesabetterfit.n复相关系数平方(决定系数)，越接近1越好第四十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月AdjustedR-squarenThedegreeoffreedomadjustedR-square.Avaluecloserto1indicatesabetterfit.Itisgenerallyth

28、ebestindicatorofthefitqualitywhenyouaddadditionalcoefficientstoyourmodel.n修正的复相关系数平方，越接近1越好第四十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月AdjustedR-squaren下列公式中的m为拟合函数中待估参数个数，如：对一元一次多项式拟合，f(x)=a+bx，此时m=2，n为数据点个数。该修正类似修正的样本方差使其为总体方差的无偏估计。第四十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月RMSEnTherootmeansquarederror.Avaluecloserto0indicatesabetter

29、fit.n偏差平方的均值的算术平方根，越接近0越好第四十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月曲线拟合好坏如何评价n首要指标是目标函数误差最小（拟合度最大）；n其次是应考虑关键点的吻合，这些关键点包括：初始点（有时是原点）、拐点、峰值点、极值点、中间点、渐近点、终值点等，在这些关键点上，数据观察值点与函数值点应尽可能一致；n再次是拟合的模型应尽可能简单（模型的形式简单，参数数少）。第四十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月实践中如何选择模型？n在数据拟合实践中，理性模型毕竟是少数，大多数的情形是根据数据的趋势寻找合适的模型，有时好几个模型对数据都有较好的拟合，但通过对关键点的比较

30、总会找到一种最合适的模型。n在选择不同的模型时，合理性和可解释性是首要考虑的因素。第五十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月美国人口问题n据美国人口普查局数据：从1790每隔10年至2000年的总人口（单位：百万）如下示nt=1790:10:2000;np=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.1,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,105.7,122.8,131.7,150.7,179,205,226.5,251.4,281.422;第五十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月美国人口问题nt=1790:10:2000;np=3.9,5.3,7

31、.2,9.6,12.9,17.1,23.1,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,105.7,122.8,131.7,150.7,179,205,226.5,251.4,281.422;n预测2001，2002年的美国人口数？并与调查数据285.318，288.369比较，选择拟合较好的模型。第五十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Matlab求解n在命令窗口输入命令ncftooln回车，得拟合的图形用户界面第五十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月结果分析nLi

32、nearmodelPoly2:f(x)=p1*x2+p2*x+p3nCoefficients(with95%confidencebounds):np1=0.006757(0.006369,0.007144)np2=-24.32(-25.78,-22.85)np3=2.188e+004(2.049e+004,2.327e+004)nGoodnessoffit:nSSE:184.5nR-square:0.9989nAdjustedR-square:0.9987nRMSE:3.116第五十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月预测第五十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月预测n年：20

33、01年，2002年n预测值：280.432，283.163n调查值：285.318，288.369n绝对误差：-4.8860，-5.2060比较大n相对误差：-1.7125%，-1.8053%n（预测值-调查值）/调查值*100%第五十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Malthus模型nx0=3.9，t=0:21，用一般模型进行拟合n3.9*exp(-b*x)第五十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Malthus模型nGeneralmodel:nf(x)=3.9*exp(-b*x)nCoefficients(with95%confidencebounds):nb=-0.2

34、12(-0.2174,-0.2065)nGoodnessoffit:nSSE:1.734e+004nR-square:0.8923nAdjustedR-square:0.8923nRMSE:28.73第六十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月预测n年：2001年，2002年n预测值：341.458，348.773n调查值：285.318，288.369n绝对误差：56.140060.4040非常大n相对误差：19.6763%，20.9468%n（预测值-调查值）/调查值*100%第六十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月指数型模型第六十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月

35、结果nGeneralmodelExp1:nf(x)=a*exp(b*x)nCoefficients(with95%confidencebounds):na=1.278e-010(-1.497e-010,4.054e-010)nb=0.01424(0.01314,0.01534)nGoodnessoffit:nSSE:2252nR-square:0.986nAdjustedR-square:0.9853nRMSE:10.61第六十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月预测n年：2001年，2002年n预测值：301.643，305.968n调查值：285.318，288.369n绝对误差：16.3250，17.5990相当大n相对误差：5.7217%，6.1029%n（预测值-调查值）/调查值*100%第六十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月感谢大家观看第六十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月