数学建模微分方程方法.ppt

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1、关于数学建模的微分方程方法第一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 许多有趣的实际问题都包含着随时间发展许多有趣的实际问题都包含着随时间发展的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、译回实际对

2、象，最后就可以进行描述、分析、预测和控制实际对象了。预测和控制实际对象了。五步方法五步方法、灵敏性分析灵敏性分析和和稳健性分析稳健性分析等基本原等基本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这些方法。些方法。第二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。数值方法常常不能对系统的行为提供

3、一个好的定性数值方法常常不能对系统的行为提供一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的方法。是最有效的方法。第三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月目录：目录：1 1 五步方法五步方法2 2 灵敏性分析灵敏性分析3 3 稳健性分析稳健性分析4 4 薄膜渗

4、透率的测定薄膜渗透率的测定5 5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用6 6 其他实例其他实例 第四张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 本节简要介绍用数学建模解决问题的一般本节简要介绍用数学建模解决问题的一般过程，称之为过程，称之为五步方法五步方法。1.1.提出问题提出问题 2.2.选择建模方法选择建模方法 3.3.推导模型的数学表达式推导模型的数学表达式 4.4.求解模型求解模型 5.5.回答问题回答问题1 1 五步方法五步方法第五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例1.1 1.1 一头猪重一头猪重200200磅磅,每天增重每天增重5 5磅磅,伺养伺养每天需花费每天需花

5、费4545美分。猪的市场价格是每磅美分。猪的市场价格是每磅6565美分，但是每天下降美分，但是每天下降1 1美分。求出售猪美分。求出售猪的最佳时间。的最佳时间。注：注：1 1磅磅 =0.454=0.454千克千克第六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 而问题需要用数学语言表达，而问题需要用数学语言表达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数学术后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数

6、学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。第一步是第一步是提出问题提出问题，第七张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单位。位。然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或者假设的这些变量之间的关系式的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或不等包括等式或不等式。式。最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式。式。变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了完变量、

7、单位、等式、不等式和假设，就构成了完整的问题。整的问题。第八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月在例在例1.11.1中，变量包括中，变量包括:1.1.猪的重量猪的重量 w(磅磅)2.2.从现在到出售经历的时间从现在到出售经历的时间 t(天天)3.3.t 天内伺养猪的花费天内伺养猪的花费 C(美元美元)4.4.猪的市场价格猪的市场价格 p(美元美元/磅磅)5.5.售出生猪所获得的收益售出生猪所获得的收益 R(美元美元)6.6.最终获得的净收益最终获得的净收益 P(美元美元)还有一些量，如猪的初始重量还有一些量，如猪的初始重量(200(200磅磅)等，但这些量等，但这些量不是变量。不是变

8、量。把变量和常量分开是很重要的。把变量和常量分开是很重要的。第九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，我们要考虑问题中的常量的作用我们要考虑问题中的常量的作用把变量的单位带进去把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。可以检查所列式子是否有意义。第十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月变量变量：t =从现在到出售的时间从现在到出售的时间(天天)w=猪的重量猪的重量(磅磅)p =猪的价格猪的价格(美元美元/磅磅)C =饲养饲养 t 天的花费天的花费(美元美元)R =售出猪的收

9、益售出猪的收益(美元美元)P =净收益净收益(美元美元)假设假设：w =200+5tp =0.65-0.01tC =0.45t R =pwP =R-Ct 0目标目标：求求P的最大值的最大值图图1-1 1-1 售猪问题的第售猪问题的第一步的结果一步的结果注意：注意：第一部分第一部分三个阶段三个阶段(变量、变量、假设、目标假设、目标)的确的确定不需要按特定定不需要按特定的顺序。的顺序。第十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 现在我们已经有了一个用数现在我们已经有了一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。许多问题都

10、可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的许多问题都可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位大都是择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建模比赛，至多也就是参加了学校的建模比首次参加数学建模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形

11、色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什赛，对形形色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。第二步是第二步是选择建模方法选择建模方法。第十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 设设 在在 处是可微的，如果处是可微的，如果 在在 处达到极大或极小处达到极大或极小,则则 。细节可参阅微积分入门教材。细节可参阅微积分入门教材。建模方法：建模方法：第十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 第三步是第三步是推导模型的数学表达式推导模型的数学表达式。如：如：例例1.11.1把问题中的变量名改换一下

12、，在算法上就比把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便较方便。P=RC=pw 0.45t =(0.65 0.01t)(200+5t)0.45t记记 y=P 为目标变量，为目标变量，x=t 为自变量，则问题转化为在为自变量，则问题转化为在集合集合S=x:x0上求下面函数的最大值：上求下面函数的最大值：y=f(x)=(0.65 0.01x)(200+5x)0.45x.即要把第一步即要把第一步得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。以便于我们运用标准的算法过程求解。第十四张，PPT共一百五十

13、一页，创作于2022年6月 第四步，第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个模型利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。如本例中即对如本例中即对 y=f(x)=(0.65 0.01x)(200+5x)0.45x在区间在区间 x0 上求最大值。上求最大值。如图如图1-2可知，可知，y=f(x)关于关于 x 是二次的曲线图，易得是二次的曲线图，易得f (x)=0.1x+0.8则在点则在点 x=8 处处 f(x)=0.第十五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月图图1-2 售猪问题的净收益售猪问题的净收益f(x)关于时间关于时间x的曲线图的曲线图0510152012612813013213

14、4xf(x)y=0.05x2+0.8x+130 由由 f 在区间在区间(,8)上单调递增上单调递增,而在区间而在区间(8,+)上单上单调递减。调递减。故点故点 x=8是全局最大值点。且有是全局最大值点。且有 f(8)=133.20,从从而点而点(x,y)=(8,133.20)是是 f 在整个实轴上的全局最大值点在整个实轴上的全局最大值点,也是区间也是区间 x0 上的最大值点上的最大值点。第十六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 第五步第五步回答问题回答问题，由第四步，我们得到的答案是在由第四步，我们得到的答案是在8 8天之后，可以获得净天之后，可以获得净收益收益133.20133.

15、20美元。只要第一步的假设成立，这一结果就是正美元。只要第一步的假设成立，这一结果就是正确的。确的。相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（一个农民决定一个农民决定何时出售他饲养的生猪何时出售他饲养的生猪），在第一步中会有一个风险因素），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为为灵敏性分析灵敏性分析。我们将在下一节进行讨论。我们将在下一节进行讨论。即回答第一步中提出的问题即

16、回答第一步中提出的问题“何时售猪可以达到最大净收益？何时售猪可以达到最大净收益？”第十七张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月图图1-3 1-3 五步方法图五步方法图第一步第一步 提出问题提出问题(1)列出问题涉及的变量，包括恰当的单位列出问题涉及的变量，包括恰当的单位;(2)注意不要混淆了变量和常量注意不要混淆了变量和常量;(3)列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式;(4)检查单位从而保证你的假设有意义；检查单位从而保证你的假设有意义；(5)用准确的数学表达式给出问题的目标。用准确的数学表达式给出问题的目标。第二步第二步 选择建模方

17、法选择建模方法(1)选择问题的一个一般的求解方法；选择问题的一个一般的求解方法；(2)一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定的熟悉程度；的熟悉程度；(3)要针对不同问题决定要用的建模方法。要针对不同问题决定要用的建模方法。本节主要介绍五步方法本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成下面将这一方法总结归纳成如下图表如下图表(图图1-3),1-3),以便以后参考。以便以后参考。第十八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 (2)有可能需要统一第一、二步中的变量名；有可能需要统一第一、二步中的变量名；(3)记下所有补充假

18、设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题记下所有补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。与第二步中选定的数学结构相适应而做的。第四步第四步 求解模型求解模型第五步第五步 回答问题回答问题 (1)用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；(2)避免数学符号和术语避免数学符号和术语;(3)能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。第三步第三步 推导模型的公式推导模型的公式 (1)将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法需要的将第一步中得到的问题重新表

19、达成第二步选定的建模方法需要的形式；形式；(1)将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式;(2)注意你的数学推导注意你的数学推导,检查是否有错误检查是否有错误,答案是否有意义答案是否有意义;(3)采用适当的技术采用适当的技术,计算机代数系统、图形、数值计算的软件等计算机代数系统、图形、数值计算的软件等都能扩大你解决问题的范围都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误。并减少计算错误。第十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月1.2 1.2 灵敏性分析灵敏性分析1.1.问题的提出问题的提出 (2)灵敏性分析灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具

20、体内容与是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关。所用的建模方法有关。(3)上一节用售猪问题说明了建模的五步法。图上一节用售猪问题说明了建模的五步法。图1-11-1列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和假设都列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于数据是由有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于数据是由测量、观察测量、观察有时甚至完全是有时甚至完全是猜测猜测得到的，故要考虑数据不得到的，故要考虑数据不准确的可能性。准确的可能性。(1)上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开始上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开始,但很难保证

21、这些假设都是正确的，因此要考虑所得结果对但很难保证这些假设都是正确的，因此要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，即每一条假设的敏感程度，即灵敏性灵敏性。第二十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月在这个例子中，我们可以看出：在这个例子中，我们可以看出：可靠性高的数据：可靠性高的数据：生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等，易测量，确定性大；等，易测量，确定性大；可靠性低的数据可靠性低的数据：猪的生长率猪的生长率 g 和价格的下降速率和价格的下降速率 r.第二十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月2.最佳售猪时间最佳售猪时间

22、x关于价格下降速率关于价格下降速率r的灵敏性的灵敏性 前面我们假定前面我们假定 r=0.01美元美元/天，现在假设天，现在假设 r 的实际值的实际值是不同的，对几个不同的是不同的，对几个不同的 r 值，重复使用前面的求解过程值，重复使用前面的求解过程,我们会对问题的解关于我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所了解。的敏感程度有所了解。即给定即给定r，对，对 y=f(x)=(0.65 rx)(200+5x)0.45x关于关于 x 求导，令求导，令 f(x)=0，可得相应，可得相应 x 值。值。表表1-4给出了选择几个不同的给出了选择几个不同的 r 值求出值求出 x 的计算结果。的计算结果。(1

23、)粗分析粗分析第二十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月表表1-4 售猪问题中最佳售猪时间售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率关于价格的下降速率r的灵敏性的灵敏性r (美元美元/天天)x (天天)r (美元美元/天天)x (天天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.3 将上表将上表1-4中的数据绘制在如下图中的数据绘制在如下图1-5中。中。图图1-5 售猪问售猪问题中最佳售猪题中最佳售猪时间时间x关于价关于价格的下降速率格的下降速率 r 的曲线的曲线x(天天)r(美元美元/天天)2468101214160.0080.0090.010

24、0.0110.012 易见易见，x 对对 r 是很敏感的。是很敏感的。第二十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月(2)系统分析系统分析 将将 r 作为未知的参数，仍按前面的步骤求解作为未知的参数，仍按前面的步骤求解:出售价格：出售价格：p=0.65 rt 目标函数：目标函数：y=f(x)=(0.65 rx)(200+5x)0.45x =130+2.8x 200rx 5rx2 求导：求导：f (x)=2.8 200r 10rx 使使 f (x)=0的点为的点为 x=(7 500r)/25r 若要若要 x0，只要，只要 0 0.014,在在0,+)上都有上都有 f (x)u.Q 吸一支

25、烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量第五十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月模模型型建建立立t=0,x=0，点燃香烟，点燃香烟q(x,t)毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度O 如果知道了流量函数如果知道了流量函数 ,吸入毒物量吸入毒物量 Q 就是就是 处的流量在吸一支烟时间内的总和。处的流量在吸一支烟时间内的总和。注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设,有有下面分下面分4步计算步计算 Q.(1)第六十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月(1)求求 q(x,0)=q(x)在在t=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过瞬间

26、由烟雾携带的毒物单位时间内通过x处的处的数量数量q(x,0)。由假设。由假设(a)中关于中关于v u 的假定，可以认为香的假定，可以认为香烟点燃处烟点燃处 x=0静止不动。静止不动。为简单期间，记为简单期间，记 q(x,0)=q(x),考察考察 一段一段香烟。毒物通过香烟。毒物通过 和和 的流量分别是的流量分别是 。因此，根据能量守恒定律，有。因此，根据能量守恒定律，有第六十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月其中其中 是烟雾穿过是烟雾穿过 所需的时间。令所需的时间。令 ，得微分方程得微分方程 在在 x=0 处点燃的香烟单位时间内放出的毒物量记处点燃的香烟单位时间内放出的毒物量记作

27、作 ，根据假设，根据假设(a),(b)和和(d)可以写出上述方程的初始可以写出上述方程的初始条件为条件为(3)(2)第六十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 由上述微分方程及初始条件，先解出由上述微分方程及初始条件，先解出再利用再利用 在在 处的连续性确定处的连续性确定 ,其其结果为结果为(4)由由及及(3)式式第六十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月(2)求求 q(l,t)在香烟燃烧过程的任意时刻在香烟燃烧过程的任意时刻 t,求毒物单位时间内求毒物单位时间内通过通过 的数量的数量 q(l,t)。因为在时刻因为在时刻 t 香烟燃烧至香烟燃烧至 处处,记此时点燃的记此

28、时点燃的香烟单位时间放出的毒物量为香烟单位时间放出的毒物量为 ,则则 与第一步完全相同的分析和计算，可得与第一步完全相同的分析和计算，可得因此因此(5)(6)(7)第六十四张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月(3)求求 w(ut,t)考察考察 t内毒物密度的增量内毒物密度的增量(单位长度烟雾毒物被吸收部分单位长度烟雾毒物被吸收部分)因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度中的毒物，所以毒物在烟草中的密度 w(x,t)由初始值由初始值 逐渐增加。考察烟草截面逐渐增加。考察烟草截面 x 处处 时间内毒物密度时间内

29、毒物密度的增量的增量 ,根据能量守恒定律根据能量守恒定律,有有令令 ,将第二步中的结果带入上式将第二步中的结果带入上式,有有第六十五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月解上述微分方程初值问题解上述微分方程初值问题,得得(8)(9)第六十六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月4)计算计算 QQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量将将(9)式代入式代入(7)式式,可得可得再将再将(10)式代入式代入(1)式式,作积分可得作积分可得(11)(10)第六十七张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月为了便于分析为了便于分析,记记代入代入(11)式式,则则(12)、

30、(13)式是我们最终得到的结果式是我们最终得到的结果,表示了吸入毒物量表示了吸入毒物量 与与 等诸因素之间的数量关系。等诸因素之间的数量关系。(12)(13)第六十八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月结果结果分析分析Q与烟草中含毒物的总量与烟草中含毒物的总量M、毒物随烟雾沿着香烟穿毒物随烟雾沿着香烟穿行的比例行的比例 a 成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处的吸入量。处的吸入量。过滤嘴因素，体现了过滤嘴减少毒物进入过滤嘴因素，体现了过滤嘴减少毒物进入人体的作用；人体的作用；,l2 负指数负指数作用，能过对作用，能过对Q起到负起到负指数衰减的效果，并且指数衰减的效果

31、，并且 和和 l2在数量上增加一定在数量上增加一定比例时起的作用相同。降低烟雾穿行速度比例时起的作用相同。降低烟雾穿行速度 v 也可以也可以较少较少Q。第六十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月烟草烟草为什么有作用为什么有作用?(r)烟草的吸收作用烟草的吸收作用设想将毒物设想将毒物 M 集中在集中在 x=l1处，则处，则 是毒是毒物集中在物集中在 x=l1 处的吸入量。处的吸入量。(r)表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到的较少的较少 Q 的作用。虽然被吸收的毒物还要被点燃，的作用。虽然被吸收的毒物还要被点燃，随烟雾沿着香烟穿行而部分进入

32、人体，但是因为烟随烟雾沿着香烟穿行而部分进入人体，但是因为烟草中毒物的密度草中毒物的密度 w(x,t)越来越高，所以按照固定比越来越高，所以按照固定比例跑到空气中的毒物增加，相应地减少进入人体的例跑到空气中的毒物增加，相应地减少进入人体的毒物量。毒物量。第七十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月b,l1 线性线性作用作用根据实际资料，根据实际资料，将，将(12)式中的式中的 中的中的 取取Taylor展开式的前展开式的前3项，可得项，可得由此可知，提高烟草吸收率由此可知，提高烟草吸收率 b 和增加长度和增加长度 l1(香烟香烟 中的毒物量不变中的毒物量不变)对减少对减少 Q 的作用是

33、线性的，与的作用是线性的，与 和和 l2 的负指数衰减作用相比，效果要小得多。的负指数衰减作用相比，效果要小得多。第七十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另一支长度支香烟，一支是上述模型讨论的，另一支长度为为 l，不带过滤嘴，参数不带过滤嘴，参数 w0,b,a,v 与第一支相与第一支相同，并且吸至同，并且吸至 x=l1处扔掉。吸第一支香烟和第处扔掉。吸第一支香烟和第二支香烟进入人体的毒物量分别记作二支香烟进入人体的毒物量分别记作 ，则，则带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤

34、嘴第七十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月所以所以 。由此可得由此可得这说明过滤嘴是起作用的。并且，提高吸收率之这说明过滤嘴是起作用的。并且，提高吸收率之差差 b 与加长过滤嘴长度与加长过滤嘴长度 l2 对于降低比例对于降低比例的效果相同。不过，提高的效果相同。不过，提高 需要研制新材料，将需要研制新材料，将更困难一些。更困难一些。第七十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用 在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决一个看来不易下手的实际问题一个看来不易下手的实际问题.引入两个基本函数：流量

35、引入两个基本函数：流量 q(x,t)和密度和密度 w(x,t)，运，运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模型型.对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的结论际的结论.第七十四张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得

36、：从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应满足这是理想单摆应满足的运动方程的运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不易求是一个两阶非线性方程，不易求解。当解。当很小时，很小时，sin，此时，可考察此时，可考察（3.13.1）的近似线性方程：）的近似线性方程：（3.2）由此即可得出由此即可得出 （3.23.2）的解为）的解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图3-1（3.13.1）的近）的近似方程似方程6 其他实例其他实例第七十五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌

37、方潜水艇也发现了我我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩，潜水艇最大航哩，潜水艇最大航速为速为3030节而巡逻艇最大航速为节而巡逻艇最大航速为6060节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。设巡逻艇在设巡逻艇在A

38、处发现位于处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图，见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出，第七十六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线对数螺线航行，即可追上潜艇。航行，即可追上潜艇。追赶方法如下：追赶方法如下：第七十七张，PP

39、T共一百五十一页，创作于2022年6月例例3 一个半径为一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为部一个面积为Scm2的小孔在的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？器中的水被放完总共需要多少时间？解解:以容器的底部以容器的底部O点为点为 原点，取坐标系如图原点，取坐标系如图3.3所示。令所示。令h(t)为为t时刻容器中水的高度，现建立时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。满足的微分方程。设水从小孔流出的速度为设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学

40、定律，在不计水，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：因体积守衡，又可得：易见：易见：故有：故有：即：即：这是可分离变量的一阶微分方程，得这是可分离变量的一阶微分方程，得 RxySO图图3-3hr第七十八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例4 一根长度为一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为为T1，另一端温度恒为，另一端温度恒为T2，（，（T1、T2为常数，为常数，T1 T2）。金属杆横截面积为）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度

41、为，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（，（T3 T2，T3为常数），导热系数为为常数），导热系数为，试求金属杆上的温度分布，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金，（设金属杆的导热率为属杆的导热率为）一般情况下，在同一截面上的一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，如果各点处温度也不尽相同，如果这样来考虑问题，本题要建的这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。数学模型当为一偏微分方程。但由题意可以看出，因金属杆但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的为

42、简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数差异，而建模求单变量函数T(x)。热传导现象机理热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。与介质有关。T1T2oxABT3l dtdt时间内通过距离时间内通过距离O O点点x处截面的热量为：处截面的热量为：dtdt时间内通过距离时间内通过距离O O点点x+dx处截面的热量为：处截面的热量为：由泰勒公式：由泰勒公式：金属杆的微元金属杆的微元 x x,x

43、 x+dxdx 在在dtdt内由获得热量为：内由获得热量为：同时，微元向空气散发出的热量为：同时，微元向空气散发出的热量为：系统处于热平衡状态，故有：系统处于热平衡状态，故有：所以金属杆各处温度所以金属杆各处温度T T(x x)满足的微分方程满足的微分方程:这是一个两阶常系数线性方程，这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解很容易求解 第七十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 微分方程的概念微分方程的概念常微分方程常微分方程 附录：附录：第八十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月通解与特解通解与特解有解有解第八十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例1 1

44、求微分方程求微分方程的通解的通解.解解 分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)说明说明:在求解过程中每一在求解过程中每一步不一定是同解变形步不一定是同解变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)第八十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例2 2 解初值问题解初值问题解解 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为第八十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例3 3 解初值问题解初值问题解解即

45、即第八十四张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型第八十五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月例例4 4 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解 令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:第八十六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月解法解法1 1故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:(试用适当的变量代换试用适当的变量代换)解法解法2 2 分离变量分离变量即即(C 0 )例例5 5第八十七张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月解：分离变量并积分即特解

46、第八十八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.解解:根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原第八十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条

47、件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时第九十张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型2.齐次方程第九十一张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得

48、代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:第九十二张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)第九十三张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是

49、原方程的解,但在但在求解过程中丢失了求解过程中丢失了.第九十四张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月(h,k 为待为待 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为 令令,解出解出 h,k(齐次方程齐次方程)定常数定常数),第九十五张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月求出其解后求出其解后,即得原方即得原方 程的解程的解.原方程可化为原方程可化为 令令(可分离变量方程可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 第九十六张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月 求解求解解解:令令得得再令再令 YX u,

50、得得令令积分得积分得代回原变量代回原变量,得原方程的通解得原方程的通解:第九十七张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月得得 C=1,故所求特解为故所求特解为第九十八张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月求解方程解：分离变量并积分得由此求出通积分第九十九张，PPT共一百五十一页，创作于2022年6月一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为称为称为齐次方程齐次方程;第一百张，PPT共一百五十一页，创作