3.3.2简单的线性规划.pptx

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1、复习二元一次不等式表示的平面区域Oxy 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1=0是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1 0 是什么图形?11x+y-1=0探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0 x+y-10 x+y-10表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点第2页/共24页（1）求z的最大值和最小值。第3页/共24页线性规划问题：设

2、z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件第4页/共24页线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)线性规划第5页/共24页例 已知 ，z=2x+y，求z的最大值和最小值。xy1234567O-1-1123456BACx=1x-4y+3=03x+5y-25=0解：不等式组表示的平面区域如图所

3、示：A(5,2),B(1,1),分析：目标函数变形为把z看成参数，这是一组斜率为-2平行线，且平行线与可行域有交点。过A(5,2)时，z的值最大，的值最小，当过B(1,1)时，由图可知,当所以，第6页/共24页例 已知 ，z=2x+y，求z的最大值和最小值。xy1234567O-1-1123456BACx=1x-4y+3=03x+5y-25=0解：不等式组表示的平面区域如图所示：作斜率为-2的直线使之与平面区域有公共点,所以，A(5,2),B(1,1),过A(5,2)时，z的值最大，的值最小，当过B(1,1)时，由图可知,当第7页/共24页分析：目标函数变形为把z看成参数，同样是一组平行线，且

4、平行线与可行域有交点。最小截距为过A(5,2)的直线注意：直线取最大截距时，等价于取得最大值，则z取得最小值同理，当直线取最小截距时，z有最大值y1234567O-1-1123456x3x+5y-25=0 x=1BACx-4y+3=0最大截距为过的直线变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？第8页/共24页 具体解答过程：解：作线性约束条件所表示的平面区域，如图所示，作斜率为的直线使之与平面区域有公共点，由图知，当y1234567O-1-1123456BACx=1过(5,2)时，z的值最大，当 过时，z的值最小，所以,x3x+5y-25=0 x-4y+3=0第9页/共24页y1234

5、567O-1-1123456若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？解：不等式组表示的平面区域如图所示：所以，作斜率为的直线x=1BACx3x+5y-25=0 x-4y+3=0使之与平面区域有公共点,由图可知,当z的值最小，的值最小，当过A(5,2)、时，过B(1,1)时，或第10页/共24页解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论复习复习线性规划第11页/共24页例1:某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品1t 需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙

6、种产品1t 需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t)，能使利润总额达到最大?分析:将已知数据列成下表:消耗量产品资源 甲产品 (1t)乙产品 (1t)资源限额 (t)A种矿石(t)B种矿石(t)煤 (t)利润(元)10430054200410006003609解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z=600 x+1000y 元，那么第12页/共24页线性规划的实际应用线性规

7、划的实际应用例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润 总额最大?第13页/共24页线性规划的实际应用线性规划的实际应用解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；3、准确作图；4、根据题设精度计算。第14页/共24页线性规划的实际应用线性规划的实际

8、应用产品 资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?第15页/共24页线性规划的实际应用解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则Z=600 x+900y作出可行域，可知直线Z=6

9、00 x+900y通过点M时利润最大。解方程组得点M的坐标x=350/3y=200/3答：应生产甲、乙两种棉纱分别为116吨、67吨，能使利润总额达到最大。第16页/共24页线性规划的实际应用线性规划的实际应用 例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?第17页/共24页A规格B规格C规格第一种钢板211

10、第二种钢板123规格类型钢板类型P85例3:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使用钢板张数最少第18页/共24页解;设需截第一种钢板x张，第二种钢板y种，则共截这两张钢板z张，则z=x+y 做出可行域.2x+y=15x+2y=18x+3y=27x+y=0 x+y=4x+y=11x+y=12BCA此题中，钢板张数为整数，在一组平行线x+y=t中（t为参数），经过可行域内的整数点且与原点距离最近的直线是x+y=12经过的整数点是B(3

11、,9)和C（4，8）他们是最优解答:第19页/共24页线性规划的应用线性规划的应用已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法:设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)=(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3 m=5/3，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b)-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3-22a+2 b2，-32 b-a-1-1/3a5/3 -4/3b0-13/3a+3 b5/3第20页/共24页线性规划的应用线性规划的应用 已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。启动几何画板解法3 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b1第21页/共24页线性规划的实际应用小结线性规划的实际应用小结解线性规划应用问题的一般步骤：1、理清题意，列出表格；2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；3、准确作图；4、根据题设精度计算。第22页/共24页线性规划的应用线性规划的应用作业：P64 习题 7.4 3，4第23页/共24页谢谢您的观看！第24页/共24页