111正弦定理（1）修正.ppt

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1、1.1.1 正弦定理正弦定理 （1）在初中，我们已会解直角三角形在初中，我们已会解直角三角形.就是说，已会根据就是说，已会根据直角三角形中的已知的边与角求出未知的边与角直角三角形中的已知的边与角求出未知的边与角.那么，那么，如何来解斜三角形呢？如何来解斜三角形呢？为此，我们先来学习两个重要定理为此，我们先来学习两个重要定理 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理.CABacb问：问：在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？下面我们用向量来研究这个问题下面我们用向量来研究这个问题.如何构造向量及等式？如何构造向量及等式？jACB在在锐角锐角 中，中，过过A作单位

2、向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 怎样建立三角形中边和角间的关系？怎样建立三角形中边和角间的关系？即即同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？入单位向量？怎样取数量积？jACB在在钝角钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式 .同样可证得：同样可证得：想一想：想一想：正弦定理还有没

3、有其它的方法证明？正弦定理还有没有其它的方法证明？hABC（三角形面积公式）（三角形面积公式）证明方法证明方法2：同理可证：同理可证：（正弦定理）（正弦定理）ABChAABCO证明方法证明方法3：作出作出ABC的外接圆的外接圆 O，连接连接BO交交 O于于A，连连CA，则则ABC为直角三角形，为直角三角形，同理可证：同理可证：（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）正弦定理：正弦定理：在在一个三角形中，各边和它所对角一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即注意：注意：（1）正弦定理适合于任何三角形）正弦定理适合于任何三角形.（2）（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）（3

4、）每个等式可视为一个方程：知三求一）每个等式可视为一个方程：知三求一.ABC（4）正弦定理适合于任何三角形）正弦定理适合于任何三角形.正弦定理：正弦定理：在在一个三角形中，各边和它所对角一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即ABC（4）正弦定理的变形式）正弦定理的变形式.利用正弦定理，可以解决两类问题：利用正弦定理，可以解决两类问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角已知两角和任一边，求其它两边和一角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而可求出其它的角和边）对角（进而可求出其它的角和边）.正弦定理：正弦定理：在在一个三角形中，各边和它所对角一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ABC 例例1.在在 ABC中中:（1）已知）已知 c10，A45，C=30，求求 a；（2）已知）已知 c10，A45，C=30，求，求 b.(2)例题讲解例题讲解ABC练习：练习：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（）C（2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是()A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三角形等边三角形D1.