首次积分与一阶偏.pptx

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1、7.1一阶常微分方程组的首次积分从第五章我们知道7.1.1首次积分的定义在变换之下，等价于下面的一阶微分方程组（7.1.3）阶常微分方程第1页/共50页在第五章中，已经介绍过方程组（在第五章中，已经介绍过方程组（7.1.3）通解的概念）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一阶微分方程组（阶微分方程组（7.1.3）的解是很困难的。然而在某些）的解是很困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓情况下，可以使用所谓“可积组合可积组合”法求通积分，下法求通积分，下面先通过例子说明面先通过例子说明“可积组合可积组合”法，然后介绍一阶常法，然后介

2、绍一阶常微分方程组微分方程组“首次积分首次积分”的概念和性质，以及用首次的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（积分方法来求解方程组（7.1.3）的问题。先看几个例）的问题。先看几个例子。子。例7.1.1 求解微分方程组 （7.1.4）第2页/共50页解 将第一式的两端同乘，第二式的两端同乘 这个微分方程关于变量t和其中 为积分常数。（7.1.5）叫做（7.1.4）的一个首次积分。，然后相加，得到或是可以分离的，因此不难求得其解为（7.1.5）第3页/共50页 注意首次积分（7.1.5）的左端作为x，y，和t是微分方程组（7.1.4）的解时，才等于常数，因此因为式（7.1.4）是一个二阶

3、方程组，一个首次积分（7.1.5）不足以确定它的解。为了确定（7.1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘，第二式两端同乘，的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当应随解而异。第一式减去第二式，得到即或或然后用然后用第4页/共50页利用首次积分（7.1.5）和（7.1.6）可以确定（7.1.4）的通解。为此，采用极坐标 （7.1.7）亦即积分得积分得其中为积分常数。（7.1.6）由（7.1.5）和（7.1.6）推得或或第5页/共50页因此我们得到方程组（7.1.4）的通解为 解 利用方程组的对称性，可得 从而得到第一个首次积分 。例7.1.2 求解微分方程组其中是给定的常数。

4、其中积分常数（1）第6页/共50页同样由方程的对称性我们又有 由此又得另一个首次积分 利用首次积分（1）和（2），将u和v用w表示，之后代入原方程组（7.1.8）的第三式，得到 其中积分常数（2）其中常数a，b依赖于常数而常数（3）第7页/共50页式（3）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分 是积分常数。因为方程组（7.1.8）是三阶的，但是由于在式（4）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。（4）其中所以三个首次积分（1）、（2）和（4）在理论上足以确定它的通解第8页/共50页现在考虑一般的阶常微分方程组 其中右端函数在内对连续，而且对定义7.1.1设函数在的某个

5、子域内连续，而且对是连续可微的。又设不为常数，（7.1.13）是连续可微的。我们有但沿着微分方程（7.1.3）函数V取常值；在区域G内的任意积分曲线 第9页/共50页时，有 ，为（7.1.13）的首次积分。亦即或当这里的常数随积分曲线而定，则称（7.1.14）为微分方程（7.1.13）在区域G内的首次积分。其中C是一个任意常数，有时也称这里的函数第10页/共50页对于高阶微分方程（7.1.1），只要做变换（7.1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n阶方程（7.1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为 乘方程的两端，可得 然后积分，得到一个首次积

6、分 （7.1.15）例如，设二阶微分方程组用第11页/共50页一般的，阶常微分方程有个独立的首次积分，如果阶常微分方程组的个独立的首次积分，则可7.1.2 首次积分的性质根据首次积分的定义，要判别函数是否是方程组 求得求得这个 阶常微分方程组的通解。在区域在区域G内的首次积分，需要知道方程组（内的首次积分，需要知道方程组（7.1.13）在）在G内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决了判别首次积分的困难。了判别首次积分的困难。第12页/共50页定理7.1.

7、1设函数 在区域G内是连续是微分方程（7.1.13）在区域G内的首次积分的充分必要条件是 是关于变量的一个恒等式。可微的，而且它不是常数，则（7.1.16）（7.1.17）证明 先证必要性 设（7.1.16）是方程组（7.1.13）在区域G内的一个首次积分。又设 是微分方程组（7.1.13）在区域G内的任一积分曲线。则我们在区间J上有恒等式 （7.1.18）第13页/共50页两边对x求导，则有 或在上恒有等式 因为经过区域G内的任意一点都有微分方程（7.1.13）的一条积分曲线亦即恒等式（7.1.17）成立。微分方程组（7.1.13）在区域G内的一个首次积分。证毕。（7.1.19）（7.1.2

8、0），所以（7.1.20）也就变成了区域G内的恒等式，再证充分性，设恒等式（7.1.17）成立，则由于上述积分曲线在G内，所以得到恒等式（7.1.20），然后可由（7.1.20）反推到（7.1.18）。这就证明了（7.1.16）是第14页/共50页定理7.1.2 若已知微分方程（7.1.13）的一个首次积分（7.1.14），则可以把微分方程（7.1.13）降低一阶。证明 由定义容易推出首次积分 不能都恒等于0，因此，不妨设于是由隐函数定理，由首次积分（7.1.16）解出 （7.1.22）的偏导数（7.1.21）而且它有偏导数第15页/共50页将（7.1.21）代入到微分方程（7.1.13）的前

9、n-1个式子，就消去了，从而得到一个n-1阶的微分方程 假设它的解为 就是微分方程（7.1.13）的解。（7.1.23）（7.1.24）我们要证函数组（7.1.25）第16页/共50页事实上，由于（7.1.24）是方程（7.1.23）的解，所以（7.1.25）满足微分方程（7.1.13）的前n-1个等式。因此，我们只需证明它也满足微分方程（7.1.13）的最后一个等式。因为 所以再由（7.1.22）可得 然后再根据首次积分满足的充要条件 第17页/共50页得到 其中设微分方程组（7.1.13）有n个首次积分 如果在某个区域G内它们的Jacobi行列式 由式子（7.1.25）给出。这就证明了所需

10、要的结论。（7.1.26）（7.1.27）则称它们在区域G内是相互独立的。第18页/共50页 证明 因为（7.1.27）成立，所以由隐函数定理可以从（7.1.26）解出 （7.1.29）（7.1.28）其中为n个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（7.1.13）在G内的所有解。，令它们的表达式为（7.1.28）因此只要将（7.1.28）代入到（7.1.26）就得到相应的关于 的恒等式。然后再对 求导，即得其中变元由（7.1.28）给出。定理定理7.1.3 设已知微分方程（设已知微分方程（7.1.13）的）的n个相互独立的首个相互独立的首次积分（次积分（7.1.26），则可由它

11、们得到（），则可由它们得到（7.1.13）在区域）在区域G内的通解内的通解第19页/共50页另一方面由于首次积分的充要条件，等式 当变元由（7.1.28）给定时仍然成立。因此联再利用条件（7.1.27），我们得到 其中变元由（7.1.28）给出。这就证明了（7.1.30）立（7.1.29）和（7.1.30）推出（7.1.28）是微分方程组（7.1.13）的解。第20页/共50页由此推出的Jacobi行列式 这就证明了在（7.1.28）中的n个任意常数是相互独立的。因此，式（7.1.28）是微分方程组（7.1.13）的通解。另外，由（7.1.26）对 求导易知其中第21页/共50页 我们仍需证明

12、通解（7.1.28）表示了微分方程（7.1.13）在区间G内的所有解。为此取微分方程（7.1.13）在区间G内的任一解 令初始条件 其中。再令 然后利用隐函数定理，可以从方程 得到微分方程（7.1.13）的一个解 它满足初始条件 （7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）第22页/共50页因此，式（7.1.32）和（7.1.33）是微分方程组（7.1.13）满足同一初始条件的两个解。这样根据解的唯一性定理推出 即解（7.1.31）可以从通解（7.1.28）得到。反之作为定理7.1.3的逆命题，我们容易证明下述结论：设已知微分方程（7.1.13）的通解，则由它可以得到n个 独立的首次积分。

13、因此，在局部范围内求微分方程（7.1.13）的解等于求它 的n个相互独立的首次积分。第23页/共50页关于首次积分的（局部）存在性，我们有定理7.1.4 设 其中的某个邻域内。则由解对 7.1.3 首次积分的存在性则存在的一个邻域使得微分方程（7.1.13）在区域内有n个相互独立的首次积分。证明 任取初始条件（7.1.34）初值的可微性定理推出，微分方程（7.1.13）满足初始条件（7.1.34）的解 （7.1.35）对是连续可微的，而且Jacobi行列式 。第24页/共50页因此，由（7.1.35）可反解出得到 其中函数在这样一来，我们就得到了微分方程（7.1.13）在区域内的n个相互独立的

14、首次积分（7.1.36）。（7.1.36）内是连续可微的，而且Jacobi行列式定理7.1.5 微分方程（7.1.13）最多只有n个相互独立的首次积分。证明 设微分方程（7.1.13）有n+1个首次积分 内我们有（7.1.37）则由首次积分的充要条件，在某个区域第25页/共50页 我们可以将看成是代数联立方程组（7.1.38）在区域内恒等于0.这就是说，任何n+1个首次积分的一个非零解。从而（7.1.38）的系数行列式 （7.1.37）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。（7.1.38）第26页/共50页 证明 因为（7.1.26）中的首次积分是相互独立的，所以 于是可以从函数组 内它们的J

15、acobi行列式其中可以用（7.1.26）来表达，亦即是某个连续可微的函数。在区域定理7.1.6 设（7.1.26）是微分方程（7.1.13）在区域G内的n个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程（7.1.13）的任何首次积分（7.1.39）第27页/共50页反解出函数组 然后把它们代入现在我们只需证明函数上述函数h与x无关。事实上，对（7.1.41）求导，我们有 以及 因此由（7.1.42）可以得到 得到一个关于变元的函数h,，即其中函数其中函数V中的变元中的变元由（7.1.40）式给出。（7.1.40）（7.1.41）（7.1.42）第28页/共50页但是，由于是微分方程（7.1.13）

16、的n+1个的Jacobi行列式恒等于0，从而 这就证明了函数h不依赖于x.因此由（7.1.41）推出 即（7.1.39）式成立。为了具体求出首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（7.1.13）改写成对称的形式 ，首次积分，所以由定理7.1.5推出它们关于第29页/共50页这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写成 内部不同时为零，例如 则（7.1.43）等价于 相当于自变量，相当于未知并设如果设这里的这里的函数，所以在方程组（7.1.43）中只有n-1个未知函数，连同自变量一起，共有n个变元。不难验证，对于系统（7.1.43），定理7.1.1相应地改写为：

17、（7.1.43）第30页/共50页连续可微，并且不恒等于常数，在G内成为恒等式。如果能得到（7.1.43）的n-1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（7.1.43）的通积分。方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。设函数则是（7.1.43）的首次积分的充分必要条件是关系式是任意常数，再用比例的性质，得例例7.1.3 求求的通积分。解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分 其中第31页/共50页 两边积分，又得到一个首次积分 其中是任意常数。（7.1.46）和（7.1.47）是相互独立 的，将它们联立，便得到原方程组的通积分 例7.1.4 求的通积分。

18、解 利用比例的性质，可以得到第32页/共50页于是有 分别积分，就得到两个首次积分 将它们联立，就得到原系统的通积分，其中为任意常数。第33页/共50页从第3章和第5.1节我们知道，寻找积分因子和首次积分的问题等价于求解一阶线性偏微分方程。本节将进一步证明，一类更广泛的一阶拟线性偏微分方程可以通过相应的特征方程（常微分方程组）的首次积分得解。下面我们将看到，与上述积分因子和首次积分有关的偏微分方程问题仍需回到常微分方程范围内得到解决；事实上，一阶偏微分方程的各种解法都离不开常微分方程的首次积分。7.2 一阶线性偏微分方程第34页/共50页一阶线性偏微分方程的一般形式为为的未知函数。假定系数是连

19、续可微的，而且7.2.1一阶齐次线性偏微分方程或简记为（7.2.1）其中其中函数它们不同时为零，即在区域D上有 考虑一个与偏微分方程组（7.2.1）相对应的对称形式的常微分方程组（7.2.3）第35页/共50页（7.2.2）叫做（7.2.1）的特征方程，它是一个（n-1）阶常微分方程组，所以它有n-1个首次积分 下面通过求（7.2.2）的首次积分来求（7.2.1）的解。定理7.2.1 假设已经得到特征方程组(7.2.2)的个首次积分(7.2.3)则一阶偏微分方程(7.2.1)的通解为其中为一任意元连续可微函数。(7.2.5)证明 设 不同时为零，所以在 是方程（7.2.2）的一个首次积分。因为

20、函数局部邻域内不妨设第36页/共50页这样特征方程（7.2.3）等价于下面标准形式的微分方程组 亦即恒有 这就证明了（非常数）函数为方程因此 也是（7.2.7）的一个首次积分从而有恒等式（7.2.7）（7.2.8）（7.2.2）的一个首次积分的充要条件为恒等式（7.2.8）成立。第37页/共50页换言之，为方程（7.2.3）的一个首次积分为偏微分方程（7.2.1）的充要条件是的一个（非常数）解。因为（7.2.4）是微分方程（7.2.3）的n-1个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n-1元函数就是（7.2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（7.2.5）是

21、偏微分方程（7.2.1）的一个解。反之，设是偏微分方程（7.2.1）的一个是特征方程（7.2.3），使恒等式（非常数）解，则的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数第38页/共50页成立，即偏微分方程（7.2.1）的任何非常数解可以表示成（7.2.5）的形式。例7.2.1 求解偏微分方程 解 原偏微分方程(7.2.9)的特征方程为 它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为另外，如果允许是常数，则（7.2.5）显然包括了方程（7.2.1）的常数解。因此，公式(7.2.5)表达了偏微分方程组（7.2.1）的所有解，也就是它的通解。第39页/共50页其中例7.2.2 求解边值

22、问题 由定理由定理4.2.1知，原偏微分方程的通解为知，原偏微分方程的通解为为任意可微的函数。解 写出偏微分方程的特征方程为 ,第40页/共50页再由 其中为任意二元可微的函数，可由边值条件确定,令则有由由故方程的通解为因为于是于是因此因此第41页/共50页代入到通解的表达式中，得到满足边值问题的特解 7.2.2一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程的一般形式是其中函数所谓“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的连续可微第42页/共50页而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数方程（7.2.12）与一阶非齐次线性偏微分方程 是（7.2.12）的隐函数，则根据隐函数微分法得 各个系数中可

23、能含有未知函数的自由项（7.2.13）比较，显然式拟线性方程（比较，显然式拟线性方程（7.2.12）比线性方（）比线性方（7.2.12）更广泛。更广泛。下面我们将求解（下面我们将求解（7.2.12）的问题化成求解线性齐次方程）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设形式的解，且第43页/共50页，视为关于的函数，的一应是方程（7.2.15）的解。（7.2.14）将（7.2.14）代入（7.2.12）中，经过整理得（7.2.15）由此，可以将由此，可以将（7.2.15）变成了关于未知函数阶线性齐次偏微分方程。于是函数第44页/共50页反过来，假设函数是（7.2.15）的则由（7.2.15）和（7.2

24、.14）可以推出所确定的隐函数是方程（7.2.12）的解。这样求解式（7.2.16）可化为 n个常微分方程，求得它的n个首次解，且由方程 方程（7.2.12）的问题就化成了求解（7.2.15）的问题。为了求解（7.2.15），先写出其特征方程组为（7.2.16）积分积分第45页/共50页就得到（7.2.15）的通解为其中定理7.2.2 设函数和在区域内连续可微，在G内不同时为零，设是（7.2.15）的一个解，且必是方程（7.2.12）的一个隐式解。反之是（7.2.12）的一个隐式解，并且 ，必是（7.2.15）的某个解，即是所有变元的连续可微函数。将（7.2.16）称为方程（7.2.12）的特

25、征方程组。写成定理就是则由它确定的则由它确定的第46页/共50页 一阶线性非齐次偏微分方程（7.2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（7.2.12）的解法相同解 先出目标方程的特征方程.首先由例7.2.4 求解下列一阶拟线性偏微分方程积分后得即求得求得一个,再利用合比定理，有首次积分第47页/共50页，即求得另一个首次例7.2.5 求解下列偏微分方程 .两边积分后得积分为 由定理7.2.2知，所求方程的通解为解 目标方程式是线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例，其特征方程为第48页/共50页将每个等式分别积分，得到其中是各个自变量的连续可微函数，解出得显式通解 .个首次积分故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为第49页/共50页感谢您的观看！第50页/共50页