34基本不等式课件 (2).ppt

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1、3.43.4基本不等式基本不等式:石河子高级中学石河子高级中学 2013.5.22ICM2002会标会标思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？ab事实上，对于任意实数事实上，对于任意实数a、b，都有，都有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。思考：思考：你能给出以上结论的证明吗？你能给出以上结论的证明吗？证明：（作差法）证明：（作差法）重要不等式重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立

2、时，等号成立.你能用不等式的性质证明它吗？你能用不等式的性质证明它吗？若若a0，b0，则，则当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立.基本不等式：基本不等式：基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围

3、文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：重要不等式与基本不等式填表比较：重要不等式与基本不等式 例例1：(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅

4、当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.例例1：(2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最大，最大面积是多少？最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则

5、则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意

6、已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2ABDC得得 1442xy 当

7、且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2ABDCx+y不是不是 定

8、值定值.2=24为为 得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x+2y=24 x=2y变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x，BC=242x，ABDC变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为

9、24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x)m2当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24-2x)=24 是定值是定值)变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆

10、围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x)m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y

11、2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个不等式两个不等式作作 业业课本课本P100习题习题3.4 A组组 第第2、3题题 思考题思考题1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)的最小值的最小值.1x+1 2.若若 0 x0.1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)的最小值的最小值.1x+1 配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .14182.若若 0 x ,求函数求函数 y=x(1-2x)的最大值的最大值.12