矢量分析和场论.ppt

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1、矢量分析和场论1现在学习的是第1页，共44页矢量分析矢量和标量矢量代数标量场的梯度矢量场的散度拉普拉斯算子矢量恒等式2现在学习的是第2页，共44页矢量和标量矢量和标量1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等如：温度 T、长度 L 等3现在学习的是第3页，共44页例：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法：力的图示法：4现在学习的是第4页，共44页矢量代数1.加法

2、加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：5现在学习的是第5页，共44页三个方向的单位矢量用 表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：6现在学习的是第6页，共44页矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：7现在学习的是第7页，共44页2.减法：换成加法运算逆矢量：和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。8现在学习的是第8页，共44页3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小

3、为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。9现在学习的是第9页，共44页在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。10现在学习的是第10页，共44页推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的

4、面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。11现在学习的是第11页，共44页在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo12现在学习的是第12页，共44页（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。13现在学习的是第13页，共44页注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：14现在学习的是第14页，共44页例2：解：则：设求：中的标量 a、b、c。15现

5、在学习的是第15页，共44页例3：已知解：已知所得矢量垂直于 、所在平面。求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。16现在学习的是第16页，共44页已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和求：通过A点和B点的直线方程。例4：其中：k 为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则17现在学习的是第17页，共44页标量场的梯度标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面18现在学习的是第18页，共44页b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面

6、的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为19现在学习的是第19页，共44页计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：20现在学习的是第20页，共44页在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：21现在学习的是第21页，共44页矢量场的散度矢量场的散度1.1.矢线（场线）：矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2.2.通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面

7、为闭合曲面：+-22现在学习的是第22页，共44页讨论：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。23现在学习的是第23页，共44页3.3.散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：c.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：矢量场 表示为：24现在学习的是第24页，共44页因为：

8、则：在 x 方向上的总通量：在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为25现在学习的是第25页，共44页在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：26现在学习的是第26页，共44页该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.4.散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。27现在学习的是第27页，共44页柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式28现在学习的是第28页，共44页在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标

9、系中：29现在学习的是第29页，共44页重要的场论公式重要的场论公式1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。30现在学习的是第30页，共44页 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 31现在学习的是第31页，共44页电源和电场32现在学习的是第32页，共44页电源和电场基本关系单极场偶极场33现在学习的是第33页，共44页基本数学关系在生物电学中探讨有关电源及其产生的电位和电流场间的基本数学关系，是极有意义的。在讨论处于导电介质中的电源时首先要考虑这些关系。一般我们已熟悉在低频电路中采用无损耗的导线把离散的(集中参数)元件连接起来。不过，在实际的

10、生物体中是充满着电位和电流连续体，而电位和电流是位置的连续函数。34现在学习的是第34页，共44页电位，电场，电流两点之间的标量电位差可以用一个理想的电压表测定。场强E可以由标量电位的负梯度求得按欧姆定律，电流密度J与场强E 之间的关系J=E式中为电流流过导电介质的电导率。这里假设为一标量，则由该式表明J 与E 同一方向。35现在学习的是第35页，共44页电位，电场，电流设电源密度为Iv(x，y，z)散度作为由每单位体积流出量的一种度量等价于电源密度。一个任意的区域，有这几种可能：其一是根本没有电流，这时方一个任意的区域，有这几种可能：其一是根本没有电流，这时方程的两边均为零；其二是有电流流动

11、，但是在该区域的流出量与程的两边均为零；其二是有电流流动，但是在该区域的流出量与流入量相等，使得方程两边仍为零；第三种情况是某些电流起源流入量相等，使得方程两边仍为零；第三种情况是某些电流起源于该区域内并有净流出量，这时方程的两边均为正值；第四种情于该区域内并有净流出量，这时方程的两边均为正值；第四种情况是有净电流流入该区域，则式两边为负值。在实际研究生物标况是有净电流流入该区域，则式两边为负值。在实际研究生物标本时，后两者是经常遇到的情况。这是由于人们把细胞内电流本时，后两者是经常遇到的情况。这是由于人们把细胞内电流(细胞之中的电流细胞之中的电流)和细胞外电流分开研究，因此当电流穿过细胞和细

12、胞外电流分开研究，因此当电流穿过细胞膜时，看上去似乎电流出现或消失了。膜时，看上去似乎电流出现或消失了。36现在学习的是第36页，共44页泊松方程导出直接将电位与产生它的电流源和阱间联系起来的表达式。对于一个电导率均匀，但包含源密度Iv的区域，得出对于的泊松方程：37现在学习的是第37页，共44页泊松方程:泊松方程的一个重要特殊情况是各处源密度均为零。对这种无源的均一导电区域，电流守恒要求泊松方程中电位的解式中r为源或阱Iv，到观察位点的距离拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程38现在学习的是第38页，共44页单极场单极是单个极，在电流场的意义下，也就是导电介质中的单一电流源或阱。在生物电学中

13、只涉及单极的问题十分罕见，因为所有的生物电源至少包括了源和阱组合。尽管如此，但由于单极是较复杂又较实际的构型的组成基元，故研究单极的电位与电流场间的关系还是相当重要的。况且对于人造源，在有限区域内可得到真正的单极场。39现在学习的是第39页，共44页单极场设想某点流源(单极)置于电导率为且无限大的均一导电介质中。设其位置如图所示为(x，y，z)，由于均一性，电流取径向，穿过任意半径球面的总电流必定为I0；因此电流密度J就等于I0除以半径为r的球面积，即40现在学习的是第40页，共44页偶极场“偶极”是由相互靠得很紧的电流源和阱组合成的。很多生物电源的最简单表达形式就是偶极子。例如电流可从细胞膜

14、的某一点流出，而在靠近的另一点流回。因此我们将从两方面对偶极子的电性质进行研究，即既作为技术上的例子说明单极基元是怎样组成较复杂的源的；又作为对某种与生物医学问题直接有用的特殊源。41现在学习的是第41页，共44页偶极场假如我们在坐标的原点放置强度为I0的点源及强度为 I0的点源。此两源互相抵消，导致电位场为零。现在如果移动源I0一个小距离d，则就不会完全抵消。在这种情况下，确切地说，总电场就是由I0移动d后所引起的电场变化。所以，=(I0/4r)/dd42现在学习的是第42页，共44页偶极场43现在学习的是第43页，共44页偶极场两个大小相等、极性相反且距离很近的点电源的场称为偶极场。偶极子必须是d 0，I0 ，I0d=p有限且为常数44现在学习的是第44页，共44页