电磁场与电磁波第讲静电场的边值问题.ppt

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1、电磁场与电磁波第讲静电场的边值问题现在学习的是第1页，共42页Maintopic静电问题的解静电问题的解3.镜象法镜象法1.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程2.静电问题解的唯一性静电问题解的唯一性4.直角坐标系中的边值问题直角坐标系中的边值问题2现在学习的是第2页，共42页电位函数电位函数V和电场强度和电场强度E之间的关系可表示为之间的关系可表示为:上式方程中两边同时取散度运算上式方程中两边同时取散度运算,有有:在线性、各向同性介质中电场强度在线性、各向同性介质中电场强度E的散度满足的散度满足:1.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程3现在学习的是第3页，共42页电位函数的

2、微分方程是电位函数的微分方程是:上式称为泊松方程上式称为泊松方程.如果是在一个无源区如果是在一个无源区,则上式方程为则上式方程为:上式称为拉普拉斯方程上式称为拉普拉斯方程.4现在学习的是第4页，共42页泊泊松松方方程程表表明明均均匀匀媒媒质质中中,V 的的拉拉普普拉拉斯斯运运算算(梯梯度度的的散散度度)等等于于/,其中其中 是介质的介电常数是介质的介电常数,是自由电荷体密度是自由电荷体密度.算子算子 2,即拉普拉斯算子即拉普拉斯算子,它表示它表示:“梯度的散度梯度的散度”or“”.散散度度运运算算和和梯梯度度运运算算都都是是一一阶阶空空间间导导数数.泊泊松松方方程程是是一一个个二二阶阶偏偏微微

3、分分方方程程，在在二二阶阶导导数数存存在在的的空空间间中中每每一一点点,二二阶阶偏偏微微分分方方程程都都成立成立.Remarks5现在学习的是第5页，共42页In Cartesian coordinates:In spherical coordinates:In cylindrical coordinates:6现在学习的是第6页，共42页边值问题研究方法计算法解析法积分变换法积分变换法分离变量法分离变量法镜像法（电轴法）镜像法（电轴法）微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法实验法作图法实测法模拟法定性定量数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法数值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界

4、元法边界元法矩量法矩量法半解析法/半数值法格林函数法格林函数法7现在学习的是第7页，共42页Example1.一维泊松方程的解一维泊松方程的解The two metal plates having an areaAand a separationd form aparallel-platecapacitor.TheupperplateisheldatpotentialofV0,andthelowerplateisgrounded.Determine(a)thepotentialdistribution(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedistrib

5、utiononeachplate(d)thecapacitanceoftheparallel-platecapacitor8现在学习的是第8页，共42页Solution:1.Chooseanappropriatecoordinatesystemforthegivengeometry2.Governingequationforproblemsandboundarycondition.匀强电场，电位匀强电场，电位V只是随高度只是随高度z的变化而变化的变化而变化9现在学习的是第9页，共42页4.特解（带入边界条件求解未知系数）特解（带入边界条件求解未知系数）3.方程的通解方程的通解10现在学习的是第

6、10页，共42页11现在学习的是第11页，共42页Example 2.TheinnerconductorofradiusaofacoaxialcableisheldatapotentialofV0whiletheouterconductorofradiusbisgroundedDetermine(a)thepotentialdistributionbetweentheconductors(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedensityontheinnerconductor(d)thecapacitanceoftheperunitlength12现在

7、学习的是第12页，共42页1.Chooseanappropriatecoordinatesystemforthegivengeometry2.Governingequationforproblemsandboundarycondition.Solution:13现在学习的是第13页，共42页4.4.特解（带入边界条件求解未知系数）特解（带入边界条件求解未知系数）3.3.方程的通解方程的通解14现在学习的是第14页，共42页15现在学习的是第15页，共42页16现在学习的是第16页，共42页Example 3 The upper and lower conducting plates of a

8、largeparallel-platecapacitorareseparatedbyadistancedandmaintainedat potentialsV0 and0 respectively.A dielectric slab of dielectric rconstantanduniformthickness 0.8displacedoverthelowerplate.EandD?yxD2D1E2E117现在学习的是第17页，共42页(1)(1)求解区域：平行板电容器之间的区域求解区域：平行板电容器之间的区域(2)(2)分区：由于填充两种介质，因此场量在分界面上会分区：由于填充两种介质

9、，因此场量在分界面上会 发生突变，因此，分成两个子区域发生突变，因此，分成两个子区域(3)(3)建立坐标系：竖直向上为建立坐标系：竖直向上为y y轴方向，建立坐标系轴方向，建立坐标系(4)(4)场场分分布布分分析析：在在两两种种介介质质中中都都是是匀匀强强电电场场，电电位位V V只只是是随随高高度度y y的的变变化化而而变变化化 V(y)V(y)，而与，而与x x，z z无关，无关，(5)(5)写写出出场场方方程程与与边边界界条条件件：待待求求量量是是两两个个区区域域的的电电位位V V1 1 、V V2 2，场场方方程程：泊泊松松方方程程（有有源源）oror拉普拉斯方程（无源）拉普拉斯方程（无

10、源）yxD2D1E2E118现在学习的是第18页，共42页区域区域1：区域区域2：yxD2D1E2E119现在学习的是第19页，共42页写出通解：写出通解：一维边值问题一维边值问题BVP电位的边界条件，两个介质的衔接条件：电位的边界条件，两个介质的衔接条件：20现在学习的是第20页，共42页21现在学习的是第21页，共42页yxD2D1E2E122现在学习的是第22页，共42页在直角坐标系中在直角坐标系中,电位的拉普拉斯方程是三个坐标的偏微分方程电位的拉普拉斯方程是三个坐标的偏微分方程:假设假设:上式代入拉普拉斯方程上式代入拉普拉斯方程,两边同时除以两边同时除以X(x)Y(y)Z(z),有有:

11、左左边边三三项项中中每每一一项项都都只只是是一一个个坐坐标标变变量量的的函函数数,并并且且之之涉涉及及常常微微分分.满满足足该该方方程程的的所有变量都成立的条件是每一项都必须为一个常数所有变量都成立的条件是每一项都必须为一个常数.Lettheseconstantsbe,andwehave3.直角坐标系中的边值问题直角坐标系中的边值问题23现在学习的是第23页，共42页三个分离常数并不是各自独立的三个分离常数并不是各自独立的,它们满足如下的关系它们满足如下的关系:三三维维的的二二阶阶偏偏微微分分方方程程化化为为三三个个一一维维的的二二阶阶常常微微分分方方程程,求求解解常常系系数数的的常微分方程可

12、确定拉普拉斯方程的可能解常微分方程可确定拉普拉斯方程的可能解.orwhereA,B,C,Daretheconstantstobedetermined.wherekx，ky，kzarecalledtheseparationconstants(分离常数分离常数),andtheycouldberealorimaginarynumbers.If kxisanrealnumber(实实数数),The solution of the equation for thevariablexcanbewrittenas24现在学习的是第24页，共42页orThesolutionsoftheequationsfor

13、thevariablesyandzhavethesameforms.The productof these solutions gives the solution of the original partialdifferentialequation.Theseparationconstantscouldbeimaginarynumbers.Ifisanimaginarynumber,writtenas,thentheequationbecomesTheconstantsinthesolutionsarealsorelatedtotheboundaryconditions.根据边界条件选择适

14、当形式的解是非常重要的根据边界条件选择适当形式的解是非常重要的.25现在学习的是第25页，共42页Example.Two semi-infinite,grounded conducting planes are parallel toeachotherwithaseparationofd.ThefiniteendisclosedbyaconductingplaneheldatelectricpotentialV0,andisisolatedfromthesemi-infinitegroundedconductingplanewith a small gap.Find the electric

15、potential in the slotconstructed by the threeconductingplanes.Solution:Selectrectangular coordinate system.Since the conductingplane is infinite in thez-direction,the potential in the slot must beindependentofz,and this is atwo-dimensionalproblem.The LaplacesEquationfortheelectricpotentialbecomesdxy

16、V=0V=0V=V0O26现在学习的是第26页，共42页Usingthemethodofseparationofvariables,andletThe boundary conditions for the electric potentialin the slotcan beexpressedasInordertosatisfytheboundaryconditionsand,thesolutionofY(y)shouldbeselectedasFromtheboundarycondition,wehaveV =0aty=0,andtheconstantB=0.Inordertosatisf

17、y,theconstantkyshouldbe27现在学习的是第27页，共42页WefindSince，weobtainTheconstantkxisanimaginarynumber,andthesolutionofX(x)shouldbeSinceV=0 at x ,theconstantC=0,andThenWheretheconstant C=AD.28现在学习的是第28页，共42页SinceV=V 0 atx=0,andwehaveTherightsideoftheaboveequationisvariable,sinceC andnarenotfixed.To satisfy th

18、e requirement atx=0,one needs to take thelinearcombinationoftheequationasthesolution,leadingtoInordertosatisfytheboundaryconditionx=0,V =V0,andwehave29现在学习的是第29页，共42页TherightsideoftheaboveequationisFourierseries.ByusingtheorthogonalitybetweenthetermsofaFourierseries,thecoefficientsCncanbefoundasFina

19、lly,wefindtheelectricpotentialintheslotas0dxyV=0V=0V=V0ElectricfieldlinesEquipotentialsurfaces30现在学习的是第30页，共42页uniqueness theorem:满满足足给给定定边边界界条条件件的的泊泊松松方方程程的的解解是是唯唯一一解解.(其中拉普拉斯方程是特例其中拉普拉斯方程是特例)Itdoesnotmeanthatonlyonemethodcanbeusedtoobtainthesolutionoftheelectrostaticproblem.The implication of the

20、uniqueness theorem is that a solution of anelectrostatic problem with its boundary conditions is the only possiblesolution irrespectiveofthemethodbywhichthesolutionisobtained.A solution obtained even by intelligent guessing is the only correctsolution2.静电问题解的唯一性静电问题解的唯一性31现在学习的是第31页，共42页点点电电荷荷和和带带电电

21、的的球球壳壳、球球体体在在RaRa的的区区域域中中产产生生的的场场是是是是相相等等的的，称称为为这这三三种种源源是是相相互互等等效效的的.注注：在在RaR0)每一个点的电位每一个点的电位.(1)chap2：感应电荷很难求：感应电荷很难求(2)直接解方程直接解方程:33现在学习的是第33页，共42页yQdHalfspace problem点点电电荷荷感感应应电电荷荷产产生生的的场场，静静态态平平衡衡后后，导导体体表表面面是是等等势势面面，电电力力线线与与其其正正交交。而而这这种种电电力力线线的的分分布布与与以以xozxoz平平面面为为对对称称面面，在在（0 0，d d，0 0）处处点点电电荷荷Q

22、 Q，（0 0，d d，0 0）处有处有Q Q 的一对点电荷在的一对点电荷在x0 x0空间的空间的电力线分布相似。电力线分布相似。(3)(3)另另辟辟蹊蹊径径：(等等效效原原理理)感感应应（极极化化）电电荷荷产产生生的的场场，由由假假想想的的简简单单电荷（像点电荷电荷（像点电荷 线电荷等）分布产生的场来线电荷等）分布产生的场来等效等效(4)(4)问题：问题：引入像电荷后求得的场，是不是原问题的场？引入像电荷后求得的场，是不是原问题的场？判断的依据判断的依据 （uniquenessuniqueness theoremtheorem）是不是满足原问题的场方程边界条件？是不是满足原问题的场方程边界条

23、件？34现在学习的是第34页，共42页Image ChargeImage method V(x,0,z)=0yQQ根根据据场场叠叠加加原原理理，写写出出点点电电荷荷和和像像电电荷荷在在上上半半空间任意一点空间任意一点 P P 处产生的场的表达式处产生的场的表达式BVPBC（判断的条件）（判断的条件）等效问题的场就是原问题的场等效问题的场就是原问题的场35现在学习的是第35页，共42页镜象法镜象法 实实质质:用用一一个个或或者者多多个个等等效效电电荷荷来来代代替替边边界界上上的的作作用用,将将原原来来不不连连续续的边界变成一个连续均匀的空间的边界变成一个连续均匀的空间.依依据据：唯唯一一性性定定

24、理理.Therefore,thesechargesshouldnotchangetheoriginalboundaryconditions.Theseequivalentchargesareattheimagepositionsoftheoriginalcharges,andarecalledimagecharges,andthismethodiscalledthemethodofimages.方法：方法：确定镜象电荷的大小和位置确定镜象电荷的大小和位置.限限制制：These imagecharges maybe determined onlyfor somespecialboundaries

25、(infinite plane,infinitelylongwedge,infinitelylongcylindrical,andsphericalboundaries)andchargeswithcertaindistributions.36现在学习的是第36页，共42页 qForthesemi-infinitewedgeconductingboundary,themethodofimagesisalsoapplicable.However,theimagescanbefoundonlyforconductingwedgeswithanglegivenbywheren isaninteger

26、.Inordertokeepthewedgeboundaryatzero-potential,severalimagechargesarerequired./3 Whenaninfinitelinechargeisnearbyaninfiniteconductingplane,themethod of images can be applied as well,based on theprinciple ofsuperposition./3q37现在学习的是第37页，共42页summary1.PoissonsandLaplacesEquationsInCartesiancoordinates:

27、38现在学习的是第38页，共42页3.MethodofImages4.Boundary-ValueProblemsinCartesianCoordinates2.UniquenessofElectrostaticSolutionsuniqueness theorem:means that a solution ofPoissons equation(of whichLaplaces equation is a special case)that satisfies the given boundaryconditionsisauniquesolution.Essence:The effect

28、of the boundaryisreplaced byone or severalequivalentcharges,andtheoriginalinhomogeneousregionwithaboundarybecomesaninfinitehomogeneousspace.39现在学习的是第39页，共42页homeworkThank you!Bye-bye!Thank you!Bye-bye!答疑安排答疑安排时间：时间：地点：地点：1301，1311P.4-1,4-740现在学习的是第40页，共42页表明表明:在介质分界面上，电位是在介质分界面上，电位是连续连续的。的。用用电位函数电位函

29、数 V V 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间距为分别位于分界面的两侧，其间距为d d，d0d0,则则电位的衔接条件电位的衔接条件在分界面两侧：在分界面两侧：电位法向导数发生跃变电位法向导数发生跃变41现在学习的是第41页，共42页Anequationinmathematicalphysicsistodescribethechangesofphysicalquantitieswithrespecttospaceandtime.Forthespecifiedregionandmoment,thesolutionofanequati

30、ondependsontheinitialconditionandtheboundarycondition,respectively,andbotharealsocalledthesolvingcondition.2.Neumannboundarycondition:Thenormalderivativesofthephysicalquantitiesontheboundariesaregiven.3.Mixedboundary-value condition:The physical quantities onsomeboundariesaregiven,andthenormalderivativesofthephysicalquantitiesarespecifiedontheremainingboundaries.1.Dirichetboundarycondition:Thephysicalquantitiesontheboundariesarespecified.Usuallytheboundaryconditionsareclassifiedintothreetypes:the boundary conditions42现在学习的是第42页，共42页