棱柱棱锥的概念和性质讲稿.ppt

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1、关于棱柱棱锥的概念和性质第一页，讲稿共五十五页哦底面 侧面 其余各面侧棱顶点 高 两个侧面的公共边两个侧面的公共边互相平行的面互相平行的面侧面与底面的公共侧面与底面的公共顶点顶点 各侧面的公共顶点各侧面的公共顶点两个底面所在平面两个底面所在平面的公垂线段的公垂线段 顶点到底面所在平面的顶点到底面所在平面的垂线段垂线段多边形多边形第二页，讲稿共五十五页哦2.2.棱柱、棱锥的性质棱柱、棱锥的性质 棱柱 棱锥 侧面 侧棱平行且相等 交于一点 平行于底面的截面 纵截面 平行四边形 三角形 平行四边形平行四边形三角形三角形与底面全等的与底面全等的多边形多边形与底面相似的多边形与底面相似的多边形第三页，讲

2、稿共五十五页哦3.3.四棱柱的一些常用性质四棱柱的一些常用性质 （1 1）平行六面体的四条对角线）平行六面体的四条对角线 且在且在 ；（2 2）直棱柱的）直棱柱的 与高相等，直棱柱的与高相等，直棱柱的 及及 过过 的截面都是矩形，直棱柱的侧的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与面与 垂直；垂直；（3 3）正四棱柱与正方体的底面都是）正四棱柱与正方体的底面都是 ，正方，正方 体的侧面和底面都是体的侧面和底面都是 ；（4 4）长方体的）长方体的 等于同一个顶等于同一个顶 点上三条棱长的点上三条棱长的 .交于一点交于一点该点该点互相平分互相平分侧棱长侧棱长侧面侧面不相邻两条侧棱不相邻两条侧棱底面底面正方形

3、正方形正方形正方形一条对角线长的平方一条对角线长的平方平方和平方和第四页，讲稿共五十五页哦若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所成角分别为成角分别为、，则，则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=；若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为为、，则，则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=.1 12 2第五页，讲稿共五十五页哦4.4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象对象 (1)

4、(1)定义：定义：底面是底面是 ，并且顶点在底面上的射影是底，并且顶点在底面上的射影是底 面的面的 ，这样的棱锥叫做，这样的棱锥叫做 .(2)(2)性质：性质：侧面是侧面是 ，与底面所成二面角，与底面所成二面角 均均 ；侧棱均侧棱均 ，侧棱与底面所成的角均，侧棱与底面所成的角均 ；平行于底面的截面也是平行于底面的截面也是 ；纵截面是；纵截面是 ；正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径外接圆半径、底面内切圆半径.正多边形正多边形中心中心正棱锥正棱锥全等的等腰三角形全等的等腰三角形相等相等相等相等相等相等正多边形正多边形等等腰三

5、角形腰三角形第六页，讲稿共五十五页哦5.5.体积公式体积公式 （1 1）柱体体积公式为）柱体体积公式为V=，其中，其中 为底面面为底面面 积，积，为高为高;（2 2）锥体体积公式为）锥体体积公式为V=，其中，其中 为底面面为底面面 积，积，为高为高.6.6.侧面积与全面积侧面积与全面积 （1 1）棱柱的侧面积是各侧面）棱柱的侧面积是各侧面 ，直棱柱的，直棱柱的 侧面积是底面周长与侧面积是底面周长与 ；棱锥的侧面积是各；棱锥的侧面积是各 侧面侧面 ，正棱锥的侧面积是底面周长与，正棱锥的侧面积是底面周长与 .（2 2）全面积等于）全面积等于 与与 之和，即之和，即S全全=+.ShhSSh面积之和面

6、积之和高之积高之积面积之和面积之和斜斜高积的一半高积的一半侧面积侧面积S侧侧S底底底面积底面积第七页，讲稿共五十五页哦基础自测基础自测1.1.以下命题中正确的是以下命题中正确的是 （）A.A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面 都是平行四边形的多面体是棱柱都是平行四边形的多面体是棱柱 B.B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 体是棱锥体是棱锥 C.C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.D.长方体一定是正四棱柱长方体一定是正四棱柱C第八页，讲稿共五十五页哦2.2.棱柱成为

7、直棱柱的一个必要但不充分条件是（棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（）A.A.棱柱有一条侧棱与底面垂直棱柱有一条侧棱与底面垂直 B.B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C.C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直B3.3.已知长方体的全面积为已知长方体的全面积为1111，十二条棱长度之和为，十二条棱长度之和为 2424，则这个长方体的一条对角线长为，则这个长方体的一条对角线长为 （）C第九页，讲稿共五十五页哦4.4.（20092009陕西文，陕西文

8、，1111）若正方体的棱长为若正方体的棱长为2 2，则以，则以 该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为为 （）解析解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1 1，每一个，每一个 正四棱锥的高为正四棱锥的高为 ，所以，所以B第十页，讲稿共五十五页哦5.5.若一个正三棱柱的高为若一个正三棱柱的高为1 1，体积为，体积为2 2 ，则一条侧，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为棱到与它相对的面之间的距离为 （）解析解析 由体积公式由体积公式V=

9、Sh可得底面积为可得底面积为 若设底面三角形的边长为若设底面三角形的边长为a，则有，则有 所所 以以a=2 =2 ，故侧棱到相对面的距离为，故侧棱到相对面的距离为D第十一页，讲稿共五十五页哦题型一题型一 棱柱、棱锥的概念和性质棱柱、棱锥的概念和性质【例例1 1】如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为为“等腰四棱锥等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下，四条侧棱称为它的腰，以下5 5 个命题中：个命题中：等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或

10、互补；或互补；底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.其中真命题为其中真命题为 （写出所有真命题的序号）（写出所有真命题的序号）.第十二页，讲稿共五十五页哦思维启迪思维启迪 结合结合“等腰四棱锥等腰四棱锥”的概念，逐一进行的概念，逐一进行判断判断.解析解析 真真.因为因为“等腰四棱锥等腰四棱锥”四条侧棱长都相四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底

11、面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；所成的角都相等；假假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰等腰四棱锥四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补都相等或互补.故是假命题；故是假命题；假假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接如当底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不

12、是四棱锥显然不是“等腰四棱锥等腰四棱锥”；第十三页，讲稿共五十五页哦假假.理由同理由同；真真.因为由因为由知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.答案答案 本题要注意本题要注意“等腰四棱锥等腰四棱锥”的定义，并的定义，并会研究其简单的性质与判定方法会研究其简单的性质与判定方法.掌握掌握“侧棱都相侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相侧棱都相等，则底面多边形有外接圆等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上

13、的射影在底面多边形形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结等一些常用结论论.探究提高探究提高第十四页，讲稿共五十五页哦知能迁移知能迁移1 1 设有以下四个命题：设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；直四棱柱是直平行六面体；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥棱锥可能是六棱锥.其中真命题的序号是其中真命题的序号是 .

14、解析解析 命题命题符合平行六面体的定义符合平行六面体的定义,故命题故命题是是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直底面不垂直,故命题故命题是错误的；因直四棱柱的底是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形面不一定是平行四边形,故命题故命题是错误的是错误的,若六若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题必然要大于底面边长，故命题是错误的是错误的.第十五页，讲稿共五十五页哦

15、题型二题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直棱柱、棱锥中的平行与垂直【例例2 2】如图所示，在直三棱柱如图所示，在直三棱柱ABC A1 1B1 1C1 1中，中，ACB=90,=90,AB=2,=2,BC=1,=1,AA1 1=.=.（1 1）证明：）证明：A1 1C平面平面AB1 1C1 1；（2 2）若）若D是棱是棱CC1 1的中点，在棱的中点，在棱AB上是否存在一点上是否存在一点 E，使，使DE平面平面AB1 1C1 1？证明你的结论？证明你的结论.（1）充分挖掘已知条件，利用线面垂）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理；直的判定定理；（2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质）利用线

16、面平行的判定定理或面面平行的性质 定理定理.思维启迪思维启迪第十六页，讲稿共五十五页哦证明证明 （1 1）ACB=90=90，BCAC.三棱柱三棱柱ABCA1 1B1 1C1 1为直三棱柱，为直三棱柱，BCCC1 1.ACCC1 1=C，BC平面平面ACC1 1A1 1.A1 1C平面平面ACC1 1A1 1，BCA1 1C.BCB1 1C1 1，B1 1C1 1A1 1C.在在RtRtABC中，中，AB=2=2，BC=1=1，AC=.=.AA1 1=，四边形四边形ACC1 1A1 1为正方形，为正方形，A1 1CAC1 1.B1 1C1 1AC1 1=C1 1，A1 1C平面平面AB1 1C

17、1 1.（2 2）当）当E为棱为棱AB的中点时，的中点时，DE平面平面AB1 1C1 1.证明如下：证明如下：第十七页，讲稿共五十五页哦如图所示，取如图所示，取BB1 1的中点的中点F，连结，连结EF，FD，DE，D，E，F分别为分别为CC1 1，AB，BB1 1的中点的中点,EFAB1 1.AB1 1平面平面AB1 1C1 1，EF平面平面AB1 1C1 1，EF平面平面AB1 1C1 1.同理可证同理可证FD平面平面AB1 1C1 1.EFFD=F，平面平面EFD平面平面AB1 1C1 1.DE平面平面EFD，DE平面平面AB1 1C1 1.探究提高探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、

18、面面在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等梯形的使用等.第十八页，讲稿共五十五页哦知能迁移知能迁移2 2 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P ABCD的底面是矩形，侧面的底面是矩形，侧面PAD是是 正三角形，且侧面正三角形，且侧面PAD底面底面ABCD，E为侧棱为侧棱PD的中点的中点.（1 1）求证：）求证：PB平面平面EA

19、C；（2 2）求证：）求证：AE平面平面PCD.解解 （1 1）连结）连结BD与与AC交于交于O，连结，连结OE，O,E分别为分别为BD，PD的中点，的中点，OEPB，且，且OE平面平面EAC，PB平平 面面EAC，PB平面平面EAC.（2 2）方法一方法一 ABCD是矩形，是矩形，CDAD.又平面又平面PAD平面平面ABCD=AD，平面平面ABCD平面平面PAD，第十九页，讲稿共五十五页哦CD平面平面PAD.又又AE平面平面PAD，CDAE.正三角形正三角形PAD中，中，E为为PD的中点，的中点，AEPD.又又PDCD=D,AE平面平面PCD.方法二方法二 ABCD是矩形，是矩形，CDAD.

20、又平面又平面PAD平面平面ABCD=AD，平面平面ABCD平面平面PAD，CD平面平面PAD.又又CD平面平面PDC,平面平面PDC平面平面PAD.正三角形正三角形PAD中，中，E为为PD的中点，的中点，AEPD.又平面又平面PDC平面平面PAD=PD.AE平面平面PCD.第二十页，讲稿共五十五页哦题型三题型三 棱柱、棱锥中的角和距离棱柱、棱锥中的角和距离【例例3 3】如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD的的 底面是边长为底面是边长为a的正方形，侧面的正方形，侧面PAB和和 侧面侧面PAD都垂直于底面都垂直于底面AC，且侧棱，且侧棱PB、PD都和底面成都和底面成4545角角.（1 1）求

21、）求PC与与BD所成的角；所成的角；（2 2）求）求PC与底面与底面ABCD所成角的正切值；所成角的正切值；（3 3）若）若M、N分别为分别为BC、CD的中点，求底面中心的中点，求底面中心 O到平面到平面PMN的距离的距离.在（在（3）中，关键是确定）中，关键是确定O在平面在平面PMN中中 的射影的位置，故最好能找到过的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面且垂直于平面 PMN的平面，而平面的平面，而平面PAC正是我们需要的平面正是我们需要的平面.思维启迪思维启迪第二十一页，讲稿共五十五页哦解解 （1 1）侧面侧面PAB和侧面和侧面PAD都垂直于底面都垂直于底面AC，且两侧面交于且两侧面交于

22、PA，PA底面底面AC.又又BDAC，BDPC，即即PC与与BD所成的角为所成的角为90.90.（2 2）PA底面底面AC，PCA是是PC与底面与底面AC所成的角，所成的角，PBA为为PB与底与底面面AC所成的角所成的角.在在RtRtPAB中，中，PA=AB=a，AC=a，（3 3）BDAC,BDPA,BD平面平面PAC.又又MNBD，MN平面平面PAC.平面平面PAC平面平面PMN.第二十二页，讲稿共五十五页哦设设MNAC=Q，连结，连结PQ，则平面则平面PAC平面平面PMN=PQ.作作OHPQ，垂足为，垂足为H，则则OH平面平面PMN，OH的长即为的长即为O到平面到平面PMN的距离，的距离

23、，作作AGPQ于于G.在在RtRtPAQ中，中，PA=a,第二十三页，讲稿共五十五页哦探究提高探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂）解决空间角度问题，应特别注意垂直关系直关系.如果空间角为如果空间角为90，就不必转化为平面角来，就不必转化为平面角来求；（求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面）注意借助辅助平面（如本题中的平面PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱）棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求

24、点到平面的距离等平面的距离等.第二十四页，讲稿共五十五页哦知能迁移知能迁移3 3 如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD为直角为直角 梯形，且梯形，且ABCD，BAD=90=90，PA=AD=DC=2=2，AB=4.=4.（1 1）求证：）求证：BCPC；（2 2）求）求PB与平面与平面PAC所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；（3 3）求点）求点A到平面到平面PBC的距离的距离.（1 1）证明证明 在直角梯形在直角梯形ABCD中，因为中，因为ABCD，BAD=90=90，AD=DC=2=2，所以所以ADC=90=90，且，且AC=2 .=2 .取取

25、AB的中点的中点E，连结，连结CE，由题意，由题意 可知，四边形可知，四边形AECD为正方形，所以为正方形，所以AE=CE=2.=2.第二十五页，讲稿共五十五页哦则则ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，所以所以ACBC.又因为又因为PA平面平面ABCD，且，且AC为为PC在平面在平面ABCD内内的射影，的射影，BC平面平面ABCD，由三垂线定理得，由三垂线定理得BCPC.（2 2）解解 由（由（1 1）可知，）可知，BCPC，BCAC，PCAC=C，所以所以BC平面平面PAC.又因为又因为PC是是PB在平面在平面PAC内的射影，内的射影，所以所以CPB是是PB与平面与平面PAC所成的角所

26、成的角.又又CB=2 =2 ，PB2 2=PA2 2+AB2 2=20=20，第二十六页，讲稿共五十五页哦PB=2 =2 ，sinsinCPB=即即PB与平面与平面PAC所成角的正弦值为所成角的正弦值为（3 3）解解 由（由（2 2）可知，）可知，BC平面平面PAC，BC平面平面PBC,所以平面所以平面PBC平面平面PAC.过过A点在平面点在平面PAC内作内作AFPC于于F，所以所以AF平面平面PBC.则则AF的长即为点的长即为点A到平面到平面PBC的距离的距离.在直角三角形在直角三角形PAC中，中，PA=2=2，AC=2 =2 ，PC=2 =2 ，所以所以 ，即点，即点A到平面到平面PBC的

27、距离为的距离为第二十七页，讲稿共五十五页哦题型四题型四 棱柱、棱锥的体积和面积棱柱、棱锥的体积和面积【例例4 4】（1212分）如图所示，四棱锥分）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面的底面ABCD是半径为是半径为R的圆的内接四边形，的圆的内接四边形，其中其中BD是圆的直径，是圆的直径，ABD=60,=60,BDC=45,=45,ADPBAD.（1 1）求线段）求线段PD的长；的长；（2 2）若）若PC=求三棱锥求三棱锥P-ABC的体积的体积.思维启迪思维启迪 解答本题时求线段解答本题时求线段PD的长只需利用的长只需利用 ADP与与BAD相似即可求出，而求三棱锥相似即可求出，而求三棱锥P AB

28、C的体积需先证明的体积需先证明PD平面平面ABC，即，即PD为三棱为三棱 锥的高即可求解锥的高即可求解.第二十八页，讲稿共五十五页哦解题示范解题示范解解 (1)(1)BD是圆的直径是圆的直径,BAD=90.=90.又又ADPBAD，(2)(2)在在RtRtBCD中，中，CD=BDcos 45=cos 45=PD2 2+CD2 2=9=9R2 2+2+2R2 2=11=11R2 2=PC2 2PDCD,又又PDA=90=90=DABPD底面底面ABCD 8 8分分4 4分分第二十九页，讲稿共五十五页哦 几何体的体积计算是一种常见的题型，几何体的体积计算是一种常见的题型，除了直接套用公式求体积的方

29、法以外，还有一些常除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常用的方法：用的方法：1010分分1212分分探究提高探究提高第三十页，讲稿共五十五页哦（1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积.（2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的

30、体积之比时，经常要用到割补法求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法.割割补法是割法与补法的总称补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的（或复补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体杂的几何体切割成简单的几何体.割与补是对立统一割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面的，是一个问题的两个方面.第三十一页，讲稿共五十五页哦知能迁移知能迁移4 4 （20092009海南、宁夏文，海南、宁夏文，1818）如图，在

31、如图，在 三棱锥三棱锥PABC中，中，PAB是等边三是等边三 角形，角形，PAC=PBC=90.=90.(1)(1)证明：证明：ABPC；(2)(2)若若PC=4=4，且平面，且平面PAC平面平面 PBC，求三棱锥，求三棱锥PABC的体积的体积.(1)(1)证明证明 因为因为PAB是等边三角形，所以是等边三角形，所以PB=PA.因为因为PAC=PBC=90,=90,PC=PC，所以所以RtRtPBCRtRtPAC，所以所以AC=BC.如图，取如图，取AB中点中点D，连结，连结PD、CD，则则PDAB,CDAB,又又PDCD=D第三十二页，讲稿共五十五页哦所以所以AB平面平面PDC,所以所以AB

32、PC.(2)(2)解解 作作BEPC,垂足为垂足为E，连结，连结AE.因为因为RtRtPBCRtRtPAC，所以，所以AEPC,AE=BE.由已知，平面由已知，平面PAC平面平面PBC，故，故AEB=90.=90.因为因为AEB=90=90，PEB=90,=90,AE=BE,AB=PB,所以所以RtRtAEBRtRtBEP,所以所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形.由已知由已知PC=4=4，得，得AE=BE=2=2，AEB的面积的面积S=2.=2.因为因为PC平面平面AEB.所以三棱锥所以三棱锥PABC的体积的体积第三十三页，讲稿共五十五页哦思想思想方法方法 感悟提感

33、悟提高高方法与技巧方法与技巧1.1.要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利 用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加 以研究以研究.2.2.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所 成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面 作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的 位置，以此沟通各种关系位置，以此沟通各种关系.3.3.求棱柱的侧面积，如果有直截面存在，可利用公求棱柱的侧面积，

34、如果有直截面存在，可利用公 式式S侧侧=C直截面直截面侧棱；如果无直截面存在，则需分侧棱；如果无直截面存在，则需分 别求各侧面的面积，然后相加别求各侧面的面积，然后相加.第三十四页，讲稿共五十五页哦 失误与防范失误与防范1.1.在解正棱锥的问题时，要注意利在解正棱锥的问题时，要注意利 用四个直角三角形，如图所示，用四个直角三角形，如图所示，O 为底面正多边形的中心，为底面正多边形的中心，E为为AB的的 中点，四个直角三角形为中点，四个直角三角形为RtRtVOA、RtRtAEO、RtRtVEA和和RtRtVOE，它们包含了棱锥，它们包含了棱锥 高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形高、斜高、

35、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 半径半径.2.2.在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思 想，将其转化为其他几何体的体积来求想，将其转化为其他几何体的体积来求.第三十五页，讲稿共五十五页哦定时定时检测检测一、选择题一、选择题1.1.下列命题中，成立的是下列命题中，成立的是 （）A.A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.B.四面体一定是三棱锥四面体一定是三棱锥 C.C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定 是正棱锥是正棱锥 D.D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱

36、相底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相 等的棱锥一定是正棱锥等的棱锥一定是正棱锥第三十六页，讲稿共五十五页哦解析解析 A A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；但这个多面体不是棱锥；B B是正确的，三个面共顶点，另有三是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；棱锥；C C是错误的，如图所示，棱锥的是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱侧面是全等的等腰三角形

37、，但该棱锥不是正三棱锥；锥；D D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥.答案答案 B第三十七页，讲稿共五十五页哦2.2.正棱锥的高缩小为原来的正棱锥的高缩小为原来的 ，底面外接圆半径扩，底面外接圆半径扩 大为原来的大为原来的3 3倍，则它的体积是原来体积的（倍，则它的体积是原来体积的（）解析解析 设原棱锥高为设原棱锥高为h，底面面积为，底面面积为S，B第三十八页，讲稿共五十五页哦3.3.如图，已知高为如图，已知高为3 3的直三棱柱的直三棱柱ABC A1 1B1

38、 1C1 1的底面是边长为的底面是边长为1 1的正三角形，的正三角形，则三棱锥则三棱锥B1 1ABC的体积为的体积为 （）解析解析 因为因为ABC是边长为是边长为1 1的正三角形，故面积的正三角形，故面积 为为 故三棱锥的体积为故三棱锥的体积为A第三十九页，讲稿共五十五页哦4.4.若长方体的三条棱长之比为若长方体的三条棱长之比为123123，全面积为，全面积为 8888，则它的对角线长为，则它的对角线长为 （）A.12 B.24 C.D.A.12 B.24 C.D.解析解析 设长方体的三条棱长分别为设长方体的三条棱长分别为k，2 2k，3 3k，则，则 由题意可知由题意可知2 2（k22k+2

39、+2k33k+3+3kk）=88=88，故，故k2 2=4.=4.于是，对角线长为于是，对角线长为C第四十页，讲稿共五十五页哦5.5.（20082008四川文，四川文，1212）若三棱柱的一个侧面是边若三棱柱的一个侧面是边 长为长为2 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 6060的菱形的菱形,则该棱柱的体积等于则该棱柱的体积等于 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 如图所示如图所示,由题意可得由题意可得 AA1 1C1 1=AA1 1B1 1=60,=60,AA1 1=A1 1B1 1=B1 1C1 1=A1 1C1 1=2.=2.所以过点

40、所以过点A作作AO平面平面A1 1B1 1C1 1,则则O在在B1 1A1 1C1 1的平分线上的平分线上.过过O作作OEA1 1B1 1,连结连结A1 1O,AE,第四十一页，讲稿共五十五页哦易证易证coscosAA1 1E=cos=cosAA1 1OcoscosOA1 1E，答案答案 B第四十二页，讲稿共五十五页哦6.6.（20092009辽宁理，辽宁理，1111）正六棱锥正六棱锥PABCDEF中，中，G为为PB的中点的中点,则三棱锥则三棱锥DGAC与三棱锥与三棱锥PGAC 体积之比为体积之比为 （）A.11 B.12 C.21 D.32A.11 B.12 C.21 D.32 解析解析 如

41、图，设棱锥的高为如图，设棱锥的高为h，C第四十三页，讲稿共五十五页哦二、填空题二、填空题7.7.已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为12,12,底面对角线的长为底面对角线的长为2 ,2 ,则侧面与底面所成的二面角等于则侧面与底面所成的二面角等于 .解析解析 如图所示如图所示,设底面边长为设底面边长为a,则则2 2a2 2=(2 )=(2 )2 2，a=2 =2 ，OM=.=.第四十四页，讲稿共五十五页哦8.8.设正三棱锥设正三棱锥VABC底面边长为底面边长为2 ,2 ,高为高为2,2,则侧则侧 棱与底面所成角的大小为棱与底面所成角的大小为 .解析解析 如图所示如图所示,由已知在正由已知在正

42、ABC 中中,AB=2 ,=2 ,O为为ABC重心重心,AO=2,=2,VO=2,=2,且且VOAO，VAO=45.=45.4545第四十五页，讲稿共五十五页哦9.9.（20082008江西理，江西理，1616）如图（如图（1 1）所示，一个正四）所示，一个正四 棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒如果将容器倒 置，水面也恰好过点置，水面也恰好过点P（如图（如图（2 2）所示）所示）.有下列有

43、下列 四个命题：四个命题：第四十六页，讲稿共五十五页哦A.A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B.B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；C.C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经 过点过点P；D.D.若往容器内再注入若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满升水，则容器恰好能装满.其中真命题的代号是其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代（写出所有真命题的代 号）号）解析解析 设正四棱柱底面边长为设正四棱柱底面边长为b，高为，高为h1 1,正四棱锥高正四棱锥高为为h2

44、 2,则原题图（则原题图（1 1）中水的体积为：）中水的体积为：图（图（2 2）中水的体积为：）中水的体积为：b2 2h1 1-b2 2h2 2=b2 2（h1 1-h2 2），），第四十七页，讲稿共五十五页哦对于对于B B，当容器侧面水平放置时，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过经过P点，故点，故B B正确正确.对于对于C C，假设，假设C C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为重合时，经计算得水的体积为矛盾，故矛盾，故C C不正

45、确不正确.答案答案 B.D第四十八页，讲稿共五十五页哦三、解答题三、解答题10.10.（20092009福建文，福建文，2020）如图，如图，平行四边形平行四边形ABCD中，中，DAB =60,=60,AB=2,=2,AD=4.=4.将将CBD 沿沿BD折起到折起到EBD的位置，的位置，使平面使平面EBD平面平面ABD.(1)(1)求证：求证：ABDE.(2)(2)求三棱锥求三棱锥EABD的侧面积的侧面积.(1)(1)证明证明 在在ABD中，中，AB=2,=2,AD=4,=4,DAB=60,=60,第四十九页，讲稿共五十五页哦AB2 2+BD2 2=AD2 2,ABBD.又又平面平面EBD平面

46、平面ABD，平面平面EBD平面平面ABD=BD，AB平面平面ABD，AB平面平面EBD.DE平面平面EBD，ABDE.(2)(2)解解 由（由（1 1）知）知ABBD.CDAB，CDBD.从而从而DEBD.在在RtRtDBE中，中，DB=2 =2 ，DE=DC=AB=2=2，第五十页，讲稿共五十五页哦又又AB平面平面EBD，BE平面平面EBD，ABBE.BE=BC=AD=4=4，DEBD，平面，平面EBD平面平面ABD，ED平面平面ABD，而，而AD平面平面ABD，EDAD,综上，三棱锥综上，三棱锥EABD的侧面积的侧面积S=8+2 .=8+2 .第五十一页，讲稿共五十五页哦11.11.如图所

47、示，在正三棱柱如图所示，在正三棱柱ABC-A1 1B1 1C1 1中，中，AB=3=3，AA1 1=4=4，M为为AA1 1中点，中点，P是是BC上上 一点，且由一点，且由P沿棱柱侧面经过棱沿棱柱侧面经过棱CC1 1到到M 的最短距离长为的最短距离长为 ，设这条最短路线，设这条最短路线 与与CC1 1的交点为的交点为N，求：，求：（1 1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2 2）PC与与NC的长；的长；（3 3）此棱柱的表面积）此棱柱的表面积.解解 （1 1）正三棱柱）正三棱柱ABC-A1 1B1 1C1 1侧面展开图是一个侧面展开图是一个 长为长为9 9，

48、宽为，宽为4 4的矩形，其对角线长为的矩形，其对角线长为第五十二页，讲稿共五十五页哦（2 2）如图，将侧面）如图，将侧面BB1 1C1 1C绕棱绕棱CC1 1旋转旋转120120使其与侧面使其与侧面AA1 1C1 1C在同一在同一平面上，点平面上，点P运动到点运动到点P1 1的位置，连的位置，连结结MP1 1，则，则MP1 1就是由点就是由点P沿棱柱侧沿棱柱侧面经过棱面经过棱CC1 1到点到点M的最短路线的最短路线.设设PC=x，即，即P1 1C=x，在在RtRtMAP1 1中，由勾股定理得（中，由勾股定理得（3+3+x）2 2+2+22 2=29=29，求得求得x=2=2，PC=P1 1C=

49、2.=2.第五十三页，讲稿共五十五页哦12.12.如图所示，在正三棱柱如图所示，在正三棱柱ABCA1 1B1 1C1 1 中，中，AB=AA1 1，D是是BC的中点的中点.（1 1）求证：）求证：A1 1B平面平面AC1 1D；（2 2）求二面角）求二面角CAC1 1D的大小的大小.（1 1）证明证明 ABCA1 1B1 1C1 1是正三棱柱，是正三棱柱，D是是BC的中点的中点.连结连结AC1 1与与A1 1C相交于相交于E点，点，在在A1 1BC中，中，D、E是中点，是中点，A1 1BDE，又又DE在平面在平面AC1 1D内，内，A1 1B平面平面AC1 1D.第五十四页，讲稿共五十五页哦感感谢谢大大家家观观看看第五十五页，讲稿共五十五页哦