状态空间分析 (2)讲稿.ppt

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1、关于状态空间分析(2)第一页，讲稿共三十七页哦第九章第九章 状态空间分析与设计状态空间分析与设计9.1 9.1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述9.2 9.2 线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性9.3 9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器 9.4 Lyapunov9.4 Lyapunov稳定性分析稳定性分析9.5 9.5 二次型最优控制二次型最优控制第二页，讲稿共三十七页哦n n与经典控制设计采用输出反馈不同，状态空间设与经典控制设计采用输出反馈不同，状态空间设与经典控制设计采用输出反馈不同，状态空间设与经典控制设计采用输出反馈不同，状

2、态空间设计主要采用状态反馈计主要采用状态反馈计主要采用状态反馈计主要采用状态反馈9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器1 1、基本概念、基本概念状态状态反馈反馈输出输出反馈反馈第三页，讲稿共三十七页哦n n状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈可以利用系统内、外部特性，能够提供可以利用系统内、外部特性，能够提供更多的校正信息，可以获得更好的结果。更多的校正信息，可以获得更好的结果。n n由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，为由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，为由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，为由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，为了能够形成

3、反馈，就引出了用了能够形成反馈，就引出了用了能够形成反馈，就引出了用了能够形成反馈，就引出了用状态观测器状态观测器给出状态估给出状态估给出状态估给出状态估值的问题。值的问题。值的问题。值的问题。状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综合设计状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综合设计状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综合设计状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综合设计的主要内容。的主要内容。的主要内容。的主要内容。1 1、基本概念、基本概念9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第四页，讲稿共三十七页哦n n在某种程度上类似于根轨迹设计方法，即通过状

4、在某种程度上类似于根轨迹设计方法，即通过状态反馈将系统闭环极点配置到期望的位置，以获得态反馈将系统闭环极点配置到期望的位置，以获得理想的性能，理想的性能，区别区别区别区别在于：在于：在于：在于：根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置极点配置可以把所有的极点配置到期望位置极点配置可以把所有的极点配置到期望位置极点配置可以把所有的极点配置到期望位置极点配置可以把所有的极点配置到期望位置2 2、极点配置、极点配置假设：假设：假设：假设：n n只讨论只讨论单输入单输入单输入单输入-单输出（

5、单输出（单输出（单输出（SISOSISOSISOSISO）系统）系统）系统）系统；n n参考输入参考输入参考输入参考输入v(t)v(t)为零（或某个常值），即所谓为零（或某个常值），即所谓为零（或某个常值），即所谓为零（或某个常值），即所谓调调节器系统节器系统；9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第五页，讲稿共三十七页哦(1)(1)极点配置问题极点配置问题 2 2、极点配置、极点配置系统系统模型模型控制控制信号信号状态反馈状态反馈增益矩阵增益矩阵9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第六页，讲稿共三十七页哦 极点配置设计的问题在于选

6、择合适的矩阵极点配置设计的问题在于选择合适的矩阵极点配置设计的问题在于选择合适的矩阵极点配置设计的问题在于选择合适的矩阵K K K K，使得闭，使得闭环系统矩阵：环系统矩阵：闭环闭环系统系统方程方程的解的解其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于S S平面左半平面），则当平面左半平面），则当平面左半平面），则当平面左半平面），则当t t趋近于无穷时，趋近于无穷时，趋近于无穷时，趋近于无穷时，X(t)X(t)X(t)X(t)趋近于零。趋近于零。趋近于零。趋近于零。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第七页，讲稿共

7、三十七页哦(2)(2)任意配置极点的充要条件任意配置极点的充要条件2 2、极点配置、极点配置任意配置极点的充要条件是任意配置极点的充要条件是任意配置极点的充要条件是任意配置极点的充要条件是被控系统状态完全可控被控系统状态完全可控被控系统状态完全可控被控系统状态完全可控，即：，即：，即：，即：的秩为的秩为n n。证明见教材证明见教材P551P551553553，10.2.210.2.2节节9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第八页，讲稿共三十七页哦(3)(3)极点配置设计的步骤极点配置设计的步骤2 2、极点配置、极点配置推导被控系统的推导被控系统的推导被控系统的推

8、导被控系统的状态空间模型状态空间模型；检验被控系统的检验被控系统的状态完全可控性状态完全可控性状态完全可控性状态完全可控性；根据性能要求确定根据性能要求确定根据性能要求确定根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置期望的闭环系统极点位置期望的闭环系统极点位置期望的闭环系统极点位置；确定确定确定确定状态反馈增益矩阵状态反馈增益矩阵状态反馈增益矩阵状态反馈增益矩阵K K K K；利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵K K，推导控制器的传递函，推导控制器的传递函数，数，检验其对给定初始条件的响应检验其对给定初始条件的响应检验其对给定初始条件的响应检验其对给定初

9、始条件的响应，如果响应不，如果响应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置，直到能令人满意，则调整期望闭环极点的位置，直到获得满意的响应为止。获得满意的响应为止。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第九页，讲稿共三十七页哦(4)(4)(4)(4)确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵K K K K的方法的方法的方法的方法2 2、极点配置、极点配置 根据：期望闭环极点（特征值）：根据：期望闭环极点（特征值）：a.a.直接代入法直接代入法直接代入法直接代入法 极点配置后系统闭环极点（特征值）：极点配置后系统闭环极点（特征值）：

10、确定状态反馈增益矩阵：确定状态反馈增益矩阵：直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵K K K K。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第十一页，讲稿共三十七页哦b.b.利用变换矩阵利用变换矩阵利用变换矩阵利用变换矩阵T T T T的方法的方法 假设原被控对象的极点（特征值）：假设原被控对象的极点（特征值）：定义变换矩阵定义变换矩阵定义变换矩阵定义变换矩阵T T T T：T=MWT=MWT=MWT=MW其中其中M M是可控性矩阵：是可控性矩阵：则则第十二页，讲稿共三十

11、七页哦c.c.c.c.阿克曼（阿克曼（阿克曼（阿克曼（AckermannAckermannAckermannAckermann）公式）公式M M是可控性矩阵：是可控性矩阵：则则 期望闭环极点（特征值）：期望闭环极点（特征值）：期望闭环极点（特征值）：期望闭环极点（特征值）：自学教材自学教材P556P556，例，例10.110.1教材教材P625P625，A10.5A10.5第十三页，讲稿共三十七页哦教材教材P625P625，A10.5A10.5 已知系统的状态空间模型如下：已知系统的状态空间模型如下：已知系统的状态空间模型如下：已知系统的状态空间模型如下：若期望的系统特征根为若期望的系统特征根

12、为若期望的系统特征根为若期望的系统特征根为-3-3和和和和-5-5-5-5，试确定反馈增益矩阵，试确定反馈增益矩阵，试确定反馈增益矩阵，试确定反馈增益矩阵K K K K和控制信号和控制信号和控制信号和控制信号u(t)u(t)u(t)u(t)。第十四页，讲稿共三十七页哦倒立摆控制系统状态空间极点配置倒立摆控制系统状态空间极点配置状态空间模型：状态空间模型：状态空间模型：状态空间模型：若期望系统的调节时间为若期望系统的调节时间为2s(2%2s(2%2s(2%2s(2%准则准则准则准则)，阻尼比为，阻尼比为，阻尼比为，阻尼比为0.50.50.50.5，试确定反馈增益矩阵，试确定反馈增益矩阵K K K

13、 K。期望闭环极点：期望闭环极点：期望闭环极点：期望闭环极点：第十五页，讲稿共三十七页哦(1)(1)基本概念基本概念基本概念基本概念3 3、状态观测器、状态观测器 当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有系统的输入状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有系统的输入状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有系统的输入状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有系统的输入和输出能够测量，而和输出能够测量，而和输出能够测量，

14、而和输出能够测量，而多数状态变量不易测得或不能够测得多数状态变量不易测得或不能够测得多数状态变量不易测得或不能够测得多数状态变量不易测得或不能够测得。这就引出了利用被控对象输入量和输出量建立这就引出了利用被控对象输入量和输出量建立状态观测状态观测状态观测状态观测器，重构状态器，重构状态器，重构状态器，重构状态的问题。的问题。的问题。的问题。实际实际系统系统系统系统估计估计9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第十六页，讲稿共三十七页哦(2)(2)(2)(2)全阶状态观测器全阶状态观测器全阶状态观测器全阶状态观测器3 3、状态观测器、状态观测器 所谓全阶状态观测器即

15、能够观测到系统全部所谓全阶状态观测器即能够观测到系统全部状态变量的观测器。状态变量的观测器。利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第十七页，讲稿共三十七页哦即即即即状态观测器设计的问题在于选择合适的矩阵状态观测器设计的问题在于选择合适的矩阵K Ke e e e，使，使得矩阵：得矩阵：其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于其特征值（调节器系统的极点）均具有

16、负实部（位于其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于S S S S平面左半平面），则当平面左半平面），则当平面左半平面），则当平面左半平面），则当t t t t趋近于无穷时，趋近于无穷时，趋近于无穷时，趋近于无穷时，E(t)E(t)E(t)E(t)趋近于趋近于零。零。状态观测状态观测增益矩阵增益矩阵第十八页，讲稿共三十七页哦(3)(3)确定状态观测增益矩阵确定状态观测增益矩阵确定状态观测增益矩阵确定状态观测增益矩阵KeKeKeKe的方法的方法3 3、状态观测器、状态观测器 根据观测器的期望极点（特征值）根据观测器的期望极点（特征值）：a.a.a.a.直接代入法直接代入法直接代入法直接代入

17、法 极点（特征值）：极点（特征值）：极点（特征值）：极点（特征值）：确定状态观测增益矩阵：确定状态观测增益矩阵：直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵K K K Ke e。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第二十一页，讲稿共三十七页哦b.b.利用变换矩阵利用变换矩阵Q Q Q Q的方法的方法的方法的方法 假设原被控对象的极点（特征值）：假设原被控对象的极点（特征值）：定义变换矩阵定义变换矩阵定义变换矩阵定义变换矩阵Q Q Q Q：Q=WNQ=WN*其中其中N N是

18、可观性矩阵：是可观性矩阵：则则第二十二页，讲稿共三十七页哦c.c.c.c.阿克曼（阿克曼（阿克曼（阿克曼（AckermannAckermannAckermannAckermann）公式）公式则则N N是可观性矩阵：是可观性矩阵：自学教材自学教材P575P575，例，例10.610.6第二十三页，讲稿共三十七页哦(1)(1)(1)(1)最佳最佳最佳最佳K K K Ke e e e的选择原则的选择原则的选择原则的选择原则4 4、状态观测器的相关问题、状态观测器的相关问题n n一般情况下，观测器极点必须比控制器极点快一般情况下，观测器极点必须比控制器极点快一般情况下，观测器极点必须比控制器极点快一般

19、情况下，观测器极点必须比控制器极点快2 2 2 25 5 5 5倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。n n如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的比控制如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的比控制如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的比控制如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的比控制器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪声。此时，器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪声。此时，器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪声。此时，器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪声。此时，系统响应以

20、观测器极点为主导。系统响应以观测器极点为主导。系统响应以观测器极点为主导。系统响应以观测器极点为主导。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第二十四页，讲稿共三十七页哦(2)(2)观测器的引入对闭环系统影响观测器的引入对闭环系统影响观测器的引入对闭环系统影响观测器的引入对闭环系统影响4 4、状态观测器的相关问题、状态观测器的相关问题被控被控对象对象状态状态反馈反馈观测观测模型模型可得可得其中其中9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第二十五页，讲稿共三十七页哦写成矩阵形式为写成矩阵形式为写成矩阵形式为写成矩阵形式为可见：可见：n n观

21、测观测观测观测-状态反馈控制系统的状态反馈控制系统的状态反馈控制系统的状态反馈控制系统的闭环极点闭环极点包含包含包含包含极点配置极点配置极点配置极点配置设计产生的极点设计产生的极点设计产生的极点设计产生的极点和和状态观测器设计产生的极点状态观测器设计产生的极点状态观测器设计产生的极点状态观测器设计产生的极点。n n由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方程由由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方程由由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方程由由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方程由n n n n阶变为阶变为阶变为阶变为2n2n2n2n阶阶阶阶。第二十六页，讲稿共三十七页哦(3)(3)基于

22、观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数4 4、状态观测器的相关问题、状态观测器的相关问题9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第二十七页，讲稿共三十七页哦(3)(3)(3)(3)基于观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数基于观测器的控制器传递函数4 4、状态观测器的相关问题、状态观测器的相关问题被控被控对象对象状态状态反馈反馈观测观测模型模型可得可得利用拉氏变换，并令初值为零：利用拉氏变换，并令初值为零：9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观

23、测器第二十八页，讲稿共三十七页哦基于观测器的控制器传递函数为：基于观测器的控制器传递函数为：基于观测器的控制器传递函数为：基于观测器的控制器传递函数为：第二十九页，讲稿共三十七页哦5 5、带观测器的调节器系统设计、带观测器的调节器系统设计推导被控系统的状态空间模型；推导被控系统的状态空间模型；检验被控系统的状态完全可控性检验被控系统的状态完全可控性检验被控系统的状态完全可控性检验被控系统的状态完全可控性和可观性和可观性和可观性和可观性；根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，

24、同时选择同时选择期望的观测器极点期望的观测器极点；确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵K K K K和状态观测增益矩阵和状态观测增益矩阵和状态观测增益矩阵和状态观测增益矩阵K Ke e e e；利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵利用所求出的增益矩阵K K K K，推导，推导，推导，推导观测器观测器-控制器的传递控制器的传递控制器的传递控制器的传递函数，函数，函数，函数，如果控制器是稳定的如果控制器是稳定的如果控制器是稳定的如果控制器是稳定的，检验其对给定初始条，检验其对给定初始条件的响应，如果响应不能令人满意，则调整期望闭件

25、的响应，如果响应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置环极点的位置和（或）观测器极点的位置和（或）观测器极点的位置和（或）观测器极点的位置和（或）观测器极点的位置，直到获得，直到获得，直到获得，直到获得满意的响应为止。满意的响应为止。满意的响应为止。满意的响应为止。9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器线性系统的状态反馈及状态观测器第三十页，讲稿共三十七页哦第九章第九章 状态空间分析与设计状态空间分析与设计9.1 9.1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述9.2 9.2 线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性9.3 9.3 线性系统的反馈结构及状态观测器线性系统的反馈结构及

26、状态观测器 9.4 Lyapunov9.4 Lyapunov稳定性分析稳定性分析9.5 9.5 二次型最优控制二次型最优控制第三十一页，讲稿共三十七页哦非线性系统的初值问题非线性系统的初值问题初始条件不同，系统的运动特性不同初始条件不同，系统的运动特性不同第三十二页，讲稿共三十七页哦1、Lyapunov稳定稳定9.4 Lyapunov 9.4 Lyapunov 稳定性分析稳定性分析x*Rr r如果对于任何的如果对于任何的R0，存在与，存在与R相关的相关的r(R)0，使得对于所，使得对于所有的有的t 0，如果有，如果有 x(0)r(R)，就有，就有 x(t)0，对于任，对于任何何r0，无论，无论

27、r如何小，如何小，如果有如果有 x(0)r，随着时间的增长，总有，随着时间的增长，总有 x(t)R，则称平衡点，则称平衡点0是是不稳不稳不稳不稳定定定定。18921892年，俄国李雅普诺夫在年，俄国李雅普诺夫在论运动稳定性的一般问题论运动稳定性的一般问题中中建立了动力学系统的一般稳定性理论：建立了动力学系统的一般稳定性理论：第三十三页，讲稿共三十七页哦2、渐近稳定、渐近稳定x*Rr r平衡点平衡点0是稳定的是稳定的 则称平衡点则称平衡点0是是渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定的的线性定常系统的线性定常系统的稳定性稳定性和和渐近渐近渐近渐近稳定性稳定性稳定性稳定性是等价的。是等价的。第三十四页，讲

28、稿共三十七页哦3、线性化方法（、线性化方法（Lyapunov第一方法）第一方法）1、如果线性化后的系统是、如果线性化后的系统是严格稳定严格稳定严格稳定严格稳定的（即的（即A的所有特的所有特征值都严格位于左半征值都严格位于左半S平面）平面）则对原非线性系统，平衡点是则对原非线性系统，平衡点是渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定的。的。2、如果线性化后的系统是、如果线性化后的系统是不稳定不稳定不稳定不稳定的（即的（即A的特征值中的特征值中至少有一个严格位于右半至少有一个严格位于右半S平面上）平面上）则对原非线性系统，平衡点是则对原非线性系统，平衡点是不稳定不稳定不稳定不稳定的。的。3、如果线性化后的系

29、统是、如果线性化后的系统是临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定的（即的（即A所有特征所有特征值都位于左半值都位于左半S平面，但至少有一个在虚轴上）平面，但至少有一个在虚轴上）则对则对原非线性系统，原非线性系统，得不出任何结论得不出任何结论得不出任何结论得不出任何结论。第三十五页，讲稿共三十七页哦如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗（持续减如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗（持续减小）的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳小）的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定到某个平衡点。定到某个平衡点。4、直接法（、直接法（Lyapunov第二方法）第二方法）四个判定定理四个判定定理通过为系统构造一个通过为系统构造一个“类能量类能量”的标量函数的标量函数(LyapunovLyapunov函数函数函数函数)，并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定，并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性。性。第三十六页，讲稿共三十七页哦 要求某空间飞行器在预定时刻以预定姿态到达指定位要求某空间飞行器在预定时刻以预定姿态到达指定位置，且在该过程中消耗能量最少。置，且在该过程中消耗能量最少。9.5 二次型最优控制二次型最优控制稳态误差状态偏离能量消耗1 1、问题的提出、问题的提出约束条件：系统的状态方程约束条件：系统的状态方程第三十七页，讲稿共三十七页哦