中值定理与导数的应用习题课.pptx

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1、洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用一、主要内容一、主要内容第1页/共47页1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理第2页/共47页2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.第3页/共47页3 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论第4页/共47页4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下

2、通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件.第5页/共47页5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理第6页/共47页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式第7页/共47页6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法第8页/共47页定义定义(2)函数的极值及其求法第9页/共47页定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻

3、点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.第10页/共47页定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)第11页/共47页求极值的步骤求极值的步骤:第12页/共47页步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题第13页/共47页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义定义第14页/共47页第15页/共47页定理定理1 1第1

4、6页/共47页方法方法1:1:方法方法2:2:第17页/共47页利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘第18页/共47页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步第19页/共47页(6)弧微分 曲率 曲率圆 曲率的计算公式第20页/共47页定义定义第21页/共47页例例1 1解解二、典型例题第22页/共47页这就验证了命题的正确性.第23页/共47页例例2 2解解第24页/共47页例例3 3证证由介值定理,第25页/共47页注意到由,有+,得第26页/共47页例例4 4证证第27页/共47页例例5 5证证第28页/共4

5、7页 ,则有第29页/共47页例例6 6解解第30页/共47页若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有第31页/共47页解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为第32页/共47页例例7 7解解奇函数第33页/共47页第34页/共47页列表如下:第35页/共47页极大值拐点极小值第36页/共47页作图第37页/共47页测测 验验 题题第38页/共47页第39页/共47页第40页/共47页第41页/共47页第42页/共47页第43页/共47页第44页/共47页第45页/共47页测验题答案测验题答案第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页