8平面向量的坐标运算.pptx

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1、类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量，均可以分解为不共线的两个向量和使得在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。第1页/共46页我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。第2页/共46页ayjiO图1x（1，0）（0，1）（0，0）我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y),其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的坐标，（x,y）叫做向量的坐标表示。

2、a=xi+yjxiyj第3页/共46页ayjiO图1xxiyj平移以后，向量坐标不会改变。第4页/共46页yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i向量一一对应有序实数对第5页/共46页已知，你能得出，的坐标吗？第6页/共46页123415234xy5012341234o问题：若已知 =（1，3），=（5，1），ab如何求+，的坐标呢？abababC（6，4

3、）=（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1+y1）+（x2+y2）=（x1+x2）+(y1+y2)猜想：=（x1x2，y1y2）ba证明：=（x1,）+(,y2)=（x1+y1）+（x2+y2）第7页/共46页这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)第8页/共46页探究 ：若已知 点A、B的坐标分别为（1，3），（4，2），如何求 的坐

4、标呢？AB12341返回5234xy5012341234o(3,1）的坐标可能为（x2x1,y2y1)ABB（4，2）A（1，3）（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2）AB OA OB (x2 x1,y2 y1)(x2,y2)(x1,y1)结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 第9页/共46页练习：已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.(1)a=(-2,1),A(0,0);(2)a=(1,3),A(-1,5);(3)a=(-2,-5),A(3,7).第10页/共46页已知a=(x,y)和实数，那么 a=(x,y)即a=(x

5、,y)这就是说，实数与向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。第11页/共46页平面向量的坐标运算法则重点第12页/共46页例1.已知a（2，1），b（3，4），求a+b，ab，3a+4b解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5)a-b=(2,1)-(-3,4)=(2+3,1-4)=(5,-3)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(32,31)+(4(-3),44)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)第13页/共46页已知三个力(3,4),(2,5),(x,y)的合力+=求的坐标。解：由题设+=得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(

6、0,0)即：(5,1)练习：第14页/共46页拓展练习第15页/共46页第16页/共46页练习：（2009辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知A（-2，0）,B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为 .解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知 ,即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,D(0,-2).(0,-2)第17页/共46页12345xy5012341122345CABD66例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。第18页/共46页ABCDxyO解：设点D的坐标为

7、（x,y）解得 x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。例3.第19页/共46页OyxABCD解法2：顶点D的坐标为（2,2）第20页/共46页变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3第21页/共46页规范答题：例4.（12分）平面内给定三个向量a=(3,2)

8、,b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k;(2)设 d=(x,y)满 足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.（1）由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值.（2）由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程，解方程组即可得出x,y的值，从而求出d.第22页/共46页解 （1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,4分k=-.6分（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c

9、|=1,4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,8分解题示范第23页/共46页 12分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用.探究提高解得10分第24页/共46页知能迁移 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）且（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t;若不能，请说明理由.解 O（0，0），A（1，2），B（4，5），=（1，2），=（4-1，5-2）=（3，3）.（1）设P（x，y），则 =

10、（x，y），若点P在第二象限，x0 y0则且(x,y)=(1,2)+t(3,3),第25页/共46页 x=1+3t 1+3t0 y=2+3t 2+3t0,（2）因为 =（1，2），（3-3t，3-3t），若四边形OABP为平行四边形，则 3-3t=1 3-3t=2,无解，四边形OABP不可能为平行四边形.,第26页/共46页 总结提高：（1）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用.（2）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基础.第27页/共46页小结回顾1.平面向量坐标的加.减运算法则 =(x1,y1)+(x2,

11、y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2y1)=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)第28页/共46页4.引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。5.要把点坐标(x,y)与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。第29页/共46页作业：课本习题2-4A组2,3题谢谢听课第30页/共46页基础自测一、选择题1.（2008辽宁文，5）已知四边

12、形ABCD的顶点 A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且 =2 则顶点D的坐标为（）A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).D（x，y),=(x,y-2),=2 ,(4,3)=(2x,2y-4).x=2,y=.A第31页/共46页2.已知a=(4,2),b=(x,3),且ab，则x等于（）A.9B.6C.5D.3 解析 ab，12-2x=0，x=6.3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与 同向的单位向量是（）A.B.C.D.解析 A（4，1），B（7，-3），=（3，-4），与 同向的单

13、位向量为BA第32页/共46页4.（2008安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4），=（1，3），则 等于（）A.（-2，-4）B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）解析 如图所示，（-1，-1），所以 （-3，-5）.B第33页/共46页5.（2009湖北文，1）若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=（）A.3a+bB.3a-b C.-a+3bD.a+3b 解析 设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1),4=x-y,x=3.2=x+y.y=-1.B故c=3a-b.第34页/共46页6.若a=(2cos ,1)

14、,b=(sin ,1),且ab，则 tan 等于 （）A.2B.C.-2D.解析 ab，2cos 1=sin .tan =2.A第35页/共46页7.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b，若 uv，则实数k的值为（）A.-1B.C.D.1 解析 u=（1，2）+k（0，1）=（1，2+k），v=（2，4）-（0，1）=（2，3），又uv，13=2（2+k），得k=.B第36页/共46页8.（2009重庆文，4）已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（）A.-2B.0C.1D.2 解析 a+b=(3,1+x),4b-2a=

15、(6,4x-2),a+b与4b-2a平行，则4x-2=2(1+x),x=2.D第37页/共46页9.已知向量 =（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若点A、B、C能构成三角形，则实 数m应满足的条件是（）A.m-2B.m C.m1D.m-1 解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.(2，-1)-（1，-3）=(1，2)，（m+1，m-2）-（1，-3）=（m，m+1）.假设A、B、C三点共线，则1(m+1)-2m=0,即m=1.若A、B、C三点能构成三角形，则m1.C第38页/共46页10.已知O为原点，A、B是两定点，=a，=b，且点P关 于点A的对称点为Q，Q关于点

16、B的对称点为R，则 等 于 （）A.a-bB.2（a-b）C.2（b-a）D.b-a 解析 设 =a=（x1，y1），=b=（x2，y2），则A（x1，y1），B（x2，y2）.设P（x，y），则由中点坐标公式可得 Q（2x1-x,2y1-y）,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y).(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2（b-a）.C第39页/共46页二、填空题11.（2009广东理，10）若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b 平行于x轴，b=(2，-1),则a=.解析|a+b|=1,a+b平行于x轴，故a+b=(1,0)或（-1，0）,

17、a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a(-1,0)-（2，-1）=（-3，1）.12.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3)，若ab，则实数 x的值等于.解析 由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x=.(-1,1)或（-3，1）第40页/共46页13.已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R，N=b|b=（-2，-2）+（4，5），R，则MN=.解析 由(1,2)+1(3,4)=(-2,-2)+2(4,5),MN=(-2,-2).(-2,-2)第41页/共46页14.已知向量a=（8,x），b=(x,1)，其中x0，若(a-2b)(2a+b)，则x的值为 .解

18、析 a-2b=（8-2x,x-2），2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)(2a+b),显然2a+b0，故有（8-2x,x-2）=(16+x,x+1)8-2x=(16+x)x-2=(x+1)4x=4(x0).第42页/共46页三、解答题15.已知A(1,-2),B（2，1），C（3，2）,D（-2,3）,以 ，为一组基底来表示 .解 =(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)，=（-4，2），=（-5，1），（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8).第43页/共46页根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m,n使得（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.-12=m+2n,8=3m+4n,得m=32，n=-22.第44页/共46页16.已知A(-2，4),B（3，-1）,C（-3，-4）.设 =a，=b，=c，且 =3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m,n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5,n=-1.解得第45页/共46页谢谢大家观赏！第46页/共46页