chapter幂级数与Taylor级数小结实用.pptx

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1、2.阿贝尔(Abel)定理:3.幂级数的收敛半径与收敛域 第1页/共49页正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域为一个区间:规定第2页/共49页4.收敛半径与收敛域的求法(1)标准幂级数注意:若缺项,则用比值法.第3页/共49页(2)一般幂级数方法 1.(2)由标准幂级数收敛半径的求法可得：端点情况另讨论.第4页/共49页方法 2.(用比值法讨论)第5页/共49页5.幂级数的性质 加减法乘法(其中第6页/共49页除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)连续性可导性第7页/共49页(收敛半径不变)可积性(收敛半径不变)第8页/共49页(二)Taylor级数 1.定义 函数 f(x

2、)的幂级数展开式是唯一的.第9页/共49页2.展开的方法 直接展开法第10页/共49页间接展开法利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一性，通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、积分等将一个函数展开成幂级数。常用的展开式有：第11页/共49页第12页/共49页(三)Fourier级数 1.基本概念 定义1.定义2.第13页/共49页定义3.为 f(x)的Fourier系数.具有Fourier系数的三角级数:第14页/共49页2.收敛定理 第15页/共49页第16页/共49页3.奇偶函数的Fourier级数 第17页/共49页4.在任意区间l,l上的Fourier级数 第18页/共49

3、页设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,则有则有第19页/共49页5.在0,或0,l上的非周期函数的Fourier级数 首先补充函数在,0或 l,0上的定义，使其在整个,或 l,l上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分别展为正弦级数或余弦级数。第20页/共49页二.题型小结 1.求幂级数的收敛半径与收敛域 Example 1.Solution.收敛.绝对收敛.第21页/共49页Example 2.Solution.发散.发散.第22页/共49页Example 3.Solution.方法一第23页/共49页方法二由比值法得，第24页/共49页Solution.缺少偶次幂的项级数绝

4、对收敛,级数发散,第25页/共49页级数发散,级数发散,原级数的收敛域为第26页/共49页2.求幂级数的和函数方法:通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).Example 5.Solution.第27页/共49页第28页/共49页Example 6.Solution.第29页/共49页第30页/共49页Example 7.Solution.第31页/共49页第32页/共49页Solution.收敛区间(-1,1),第33页/共49页Example 9.Solution.3.将函数展开成幂级数 第34页/共49页Example 10.Solution.第35页/共

5、49页Example 11.Solution.第36页/共49页第37页/共49页Example 12.Solution.第38页/共49页Example 13.Solution.第39页/共49页4.将函数展开成Fourier级数 Example14.把f(x)展为Fourier级数.Solution.See Figure 所给函数满足收敛定理条件.第40页/共49页第41页/共49页或记为：第42页/共49页Example15.Solution.将f(x)作周期延拓,See Figure 显然满足收敛定理条件.第43页/共49页第44页/共49页所以，f(x)的Fourier级数及和函数如下：第45页/共49页Example16.Solution.(1)将f(x)作奇延拓,再作周期延拓.See Figure 第46页/共49页(2)将f(x)作偶延拓,再作周期延拓.See Figure 第47页/共49页可见f(x)的Fourier级数收敛于f(x).The end第48页/共49页感谢您的观赏！第49页/共49页