复变函数复数以及其几何表示.ppt

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1、复变函数复数及其几何表示第一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 复变函数复变函数主讲教师：赵景霞主讲教师：赵景霞E-mail:第二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月研究对象研究对象 复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数等。复变函数的积分、级数、留数等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍课程基本介绍课程基本介绍课程基本介绍第三张，PPT共五十一页，创作于2

2、022年6月学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。有的那些性质与结果。第四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月复变函数的发展过程复变函数的发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引进复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系

3、，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数虚数”。第五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 直到十八世纪，直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应意义和物理意义，澄清了复数的概念

4、，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。数论才能顺利建立和发展。复变函数的发展过程复变函数的发展过程第六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分当时的数学家公认

5、复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数的发展过程复变函数的发展过程第八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的发展过程复变函数的发展过程第九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数

6、数第一章第一章 复数及复平面复数及复平面1.1 复数及其几何表示复数及其几何表示学习要点学习要点掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的代数运算掌握复数的代数运算熟练掌握复数的方根熟练掌握复数的方根第十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数一、一、复数的概念复数的概念 复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)第十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数A 一般一般,任意两个复数不能

7、比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数相等复数相等二、二、四则运算四则运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数复数的运算满足加法交换律、结合律；乘复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。法交换律、结合律和分配律。第十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函

8、数数 共轭复数的性质共轭复数的性质定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)三、三、共轭复数共轭复数第十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例4第十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数四、复数的几何意义四、复数的几何意义横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为面一般称为z-平面，平面，w-平面等。平面等。第二十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大

9、大学学 复复变变函函数数我们可以得到两个重要的不等式我们可以得到两个重要的不等式 oxy(z)z1z2 z1+z2oxy(z)z1z2z2-z1第二十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数oxy(z)P(x,y)xy A z=0时，幅角无意义。时，幅角无意义。幅角无穷多：幅角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，第二十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数第二十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数1.三角表示法三角表示法可以用复数的模

10、与辐角来表示非零复数可以用复数的模与辐角来表示非零复数z2.指数表示法指数表示法yox第二十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数五、五、复数的乘积与商复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法表示复数的乘法与除法集合相等集合相等定理：定理：第三十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数对除法，有对除法，有 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将再将其伸缩到其伸缩到|z2|倍。倍。ox

11、y(z)z1z2z2乘法的几何意义乘法的几何意义第三十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例5解：解：第三十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数第三十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例6 藏宝图藏宝图从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。某岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡某岛，岛的北岸有一

12、大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一个绞架。树和一株松树，还有一个绞架。回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，到回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩。个桩。在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？第三十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数1-1第一根桩位置第一根桩位置第二根桩位置第二根桩位置第三十八张，PPT共五十一页，创作于20

13、22年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数第四十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数六、六、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根则有：则有：棣摩弗棣摩弗(De Moivre)公式公式第四十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数第四十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。第四十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学

14、复复变变函函数数例例11练习练习例例10第四十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数几何上几何上，的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心，为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。xyo第四十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数NAOz七、复球面与无穷远点七、复球面与无穷远点球极平面射影法球极平面射影法取一个在原点取一个在原点O与与z平面相切的球面，过平面相切的球面，过O点作点作z平面的垂线与

15、球面交于平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。点（称为北极或者球极）。对于平面上的任一点对于平面上的任一点A，用一条空间直线，用一条空间直线把它和球极连接起来，把它和球极连接起来，交球面于交球面于 。第四十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数从几何上可以看出：从几何上可以看出：z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈一个纬圈;N这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。第五十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数感谢大家观看第五十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月