CH一阶微分方程实用.pptx

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1、1一、可分离变量的微分方程与分离变量法 第1页/共54页2可分离变量的微分方程的解法分离变量分离变量两边积分，得则如果 注：注：方程的通解,必须予以补上。在分离变量时，解可能它不包含在第2页/共54页3例1 求解微分方程 解 分离变量，得 两边积分，即得 因而，通解为 或者第3页/共54页4例 求解微分方程 解时分离变量，得两边积分得得，.这里 是任意常数。所以 ,即 令，得此外，也是方程的解.因此原方程的通解为其中为任意常数.第4页/共54页练习练习.解微分方程解微分方程解:当 y0 时分离变量得两边积分得即(C0)另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为(C为任意常数).第5页/共54

2、页练习练习练习练习2 2：求解微分方求解微分方求解微分方求解微分方程程程程解解:故有故有即即是微分方程的通解是微分方程的通解.微分方程的通解可以用隐函数表示微分方程的通解可以用隐函数表示.注注:第6页/共54页7变量分离方程的微分形式变量分离方程的微分形式:也是解。第7页/共54页8例例 求解方程 并求满足初始条件 的特解.解 当 两边积分得 因而，通解为(这里 c 为任意常数)此外，方程还有解 .时，将 代入通解中，得 .因此所求特解为第8页/共54页9解:当 y0 时分离变量得另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为(B为任意常数).第9页/共54页微分方程微分方程分离变量分离变量是否

3、可分离变量是否可分离变量 y 2xy 3x2 5x y 0 (x2 y2)dx xydy=0 y 1 x y2 xy2 y 10 x y练习：下列方程那些是可分离变量的微分方程？是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx第10页/共54页11第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第11页/共54页12二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如的方程叫做齐次微分方程.例如，都是齐次微分方程.第12页/共54页13令解法解法:代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.分离变量:第13页/

4、共54页14如果 有实根 那末（i=1，2，k）也为方程的解。第14页/共54页15例例例例 解微分方程解微分方程解解代入原方程得代入原方程得则则可分离变量可分离变量的方程的方程若若两边积分两边积分得得则则另外，方程还有解另外，方程还有解即即第15页/共54页16所以，方程的所以，方程的 通解为通解为(C C 为任意常数为任意常数 )所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为(C C 为任意常数为任意常数 )第16页/共54页17例例 求解微分方程解解可分离变量的方程可分离变量的方程整理得第17页/共54页18第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第1

5、8页/共54页19如果方程如果方程 及的一次有理整式，则称其为 n 阶线性微分方程.的左端为第19页/共54页20一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若若若称为称为非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程 .称为称为齐次线性微分方程齐次线性微分方程 ;考察下列方程是否线性方程？考察下列方程是否线性方程？是非齐次线性方程 y3x25x 是非齐次线性方程 (2)3x25xy0 (3)yycos xesin x 第20页/共54页21一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若若若称为称为非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程 .称为称为齐次线性微分方程齐次线性微分方程 ;考察下

6、列方程是否线性方程？考察下列方程是否线性方程？线性的;非线性的.第21页/共54页22齐次方程的通解为分离变量积分猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式第22页/共54页23常数变易法:则令两边积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:第23页/共54页24通解通解代入代入原式原式解出解出常数变易法第24页/共54页25例5 解方程 解1:先解即积分得即用常数变易法把C换成 u(x)，即令则代入非齐次方程得 u=(x+1)1/2解得故原方程通解为第25页/共54页26例5 解方程 解2:公式法由通解公式得 第26页/共54页27例：例：解方程 解解:先解即积分得即

7、令则代入非齐次方程得代入(*)式得原方程通解为第27页/共54页28例.解方程 注意形式注意形式第28页/共54页29注注 其通解其通解齐次线性微分齐次线性微分方程的通解方程的通解非齐次线性微分非齐次线性微分方程的特解方程的特解第29页/共54页301.1.可分离变量的方程可分离变量的方程解法要点：解法要点：（1 1）判断类型）判断类型 （2 2）分离变量）分离变量或或2.2.齐次方程齐次方程解法要点：（解法要点：（1 1）判断类型（）判断类型（2 2）作变量变换）作变量变换3.3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程若若若若称为称为非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程 .称为称为齐次线性微分方程

8、齐次线性微分方程 ;解法要点：（解法要点：（1 1）判断类型（）判断类型（2 2）常数变易法或公式法）常数变易法或公式法第30页/共54页31 dxdyxydxdyxy22练习：解下列微分方程（1）（2）（3）第31页/共54页32解：原方程可写成 即1-=uudxdux分离变量 得 两边积分 得 uln|u|Cln|x|或写成 ln|xu|uC dxdyxydxdyxy=+22练习1（P378-例4）：解方程第32页/共54页33练习2分离变量得：dyxyxdx)(2134整理方程得：解第33页/共54页34练习练习3 3 3 3：解方程 解解:将方程改写为令代入方程（1）得解得所以原方程通

9、解为与（1）对应的齐次方程的通解为（1）另外，y=0也为解。第34页/共54页35练习：判别下列方程类型.可分离可分离 变量方程变量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程第35页/共54页36第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程v4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性第36页/共54页37作业作业P384P3841，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，7第37页/共54页38注注1.1.其通解其通解齐次线性微分齐次线性微分方程的通解方程的通解非齐次线性微分非齐次线性微分方程的特解方程的特解注注2.2.常数变易法也是一种变量变换的方法常

10、数变易法也是一种变量变换的方法.第38页/共54页解 分离变量得：两端积分得：例2第39页/共54页解：由条件：衰变规律第40页/共54页解：一阶线性非齐次微分方程练习第41页/共54页例6 求方程的特解.满足初始条件 解 分离变量,得 两边积分，得于是原方程的通解为又将初始条件 故满足初始条件的特解为代入通解中,得 第42页/共54页 例7 已知需求价格弹性为 =-1/Q2,且当 Q=0 时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系 p=f(Q).解 由需求价格弹性的定义,有 这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得即又将初始条件Q=0 时,p=100代入上式,得 c 1=100 故需

11、求函数为第43页/共54页练 习 题第44页/共54页第45页/共54页练习题答案第46页/共54页练习:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:第47页/共54页例.求下述微分方程的通解:解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:第48页/共54页例 解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为第49页/共54页例成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度

12、降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时第50页/共54页微分方程微分方程分离变量分离变量是否可分离变量是否可分离变量 y 2xy 3x2 5x y 0 (x2 y2)dx xydy=0 y 1 x y2 xy2 y 10 x y 如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y)的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx第51页/共54页52 有理式有理式,包括分式和整式。这种代数式中对于包括分式和整式。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。例如方这些运算。例如2x+2y2x+2y2x+2y2x+2y等都是有理式。等都是有理式。整式是有理式的一部分整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含在有理式中可以包含加加,减减,乘乘,除四种运算除四种运算,但在整式中除数不能含但在整式中除数不能含有字母有字母.单项式和多项式统称为整式。单项式和多项式统称为整式。第52页/共54页53第53页/共54页54感谢您的欣赏！第54页/共54页