偏导数与全微分.pptx

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1、一一偏导数偏导数 一元函数y=f(x)y=f(x)只存在y y随x x变化的变化率，即点x x沿x x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）oxyPx1.一元函数变化率与多元函数变化率第1页/共39页 二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)存在z z随x x变化的变化率随 y y变化的变化率随x xy y同时变化的变化率。即点M(x,y)M(x,y)在域D D内可沿x x轴沿y y轴沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。o oxyzMPD D第2页/共39页 一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础 对

2、于曲面z=f(x,y)z=f(x,y)，当我们用过点(0,(0,y y0 0,0),0)而平行于xozxoz面(垂直于y y轴)的平面去截时，截口是一条曲线 z=f(x,yz=f(x,y0 0),),它在xozxoz面上的投影是z z对于x x的一元函数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)当y=yy=y0 0时沿x x轴方向的变化率。第3页/共39页M MMMP P0 0 x0D DS SXyzz=f(x,yz=f(x,y0 0)oy0第4页/共39页 二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)当y y不变(x x不变)时，对于x x(对于y)y)的变化率

3、，就是二元函数 的偏导数偏导数。一般地，当y不变时，z=f(x,y)是x的一元函数，研究这个一元函数的变化率，就是研究二元函数z=f(x,y）沿x轴方向的变化率。对于x不变时，情形类似。第5页/共39页2 2偏导数定义 设二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)在(P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)有定义，当y=yy=y0 0不变时，x x在x x0 0取得增量 x x，相应地函数有 增量f(xf(x0 0+x,yx,y0 0)-f(x)-f(x0 0,y,y0 0)，若存在，则称A A为z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x(x0 0,y,y0 0)处对于对于x x的偏导的偏导数数

4、记为 如第6页/共39页类似地，z=f(x,y)z=f(x,y)在点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)处对对y y的偏导数的偏导数定义为记为 第7页/共39页注记：偏导数f fx x(x(x0 0,y,y0 0),f),fy y(x(x0 0,y,y0 0)分别描述z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x x0 0,y,y0 0)处沿 x x方向，y y方向的变化率；z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x x0 0,y,y0 0)处沿其它方向的变化率称为方向导数，将在后面讨论；二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数情形。第8页/共39页3 3偏导函数概念 偏导函数：偏导函数：当z=

5、f(x,y)z=f(x,y)在域内每一点(x,y)(x,y)处对 x x（y y ）的偏导数都存在，则它就是x,yx,y的函数，称为偏导函数偏导函数。记号：z=f(x,y)z=f(x,y)在(x x0 0,y,y0 0)处的偏导数是偏导函数在 (x x0 0,y,y0 0)处的函数值。在不至混淆时常称偏导函数偏导数。或或第9页/共39页4 4偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求求 时，只要把时，只要把y y暂时看作常量而对暂时看作常量而对x x求导数；求导数；求求 时，只要把时，只要把x x暂时看作常量而对暂时看作常量而对y y求导数。

6、求导数。第10页/共39页 求 在点（1，2）处的偏导数解：例1第11页/共39页解：求 的偏导数第12页/共39页解：设 ，求证第13页/共39页解：求 的偏导数(三元函数)第14页/共39页5.5.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 切线M M0 0T Tx x对x x轴的斜率 切线M M0 0T Ty y对y y轴的斜率oxyzM M0 0P P0 0 x0y0TyTxz=f(xz=f(x0 0,y),y)z=f(x,yz=f(x,y0 0)第15页/共39页例2 2 求二元函数的偏导数第16页/共39页解（1）：第17页/共39页解（2 2）：当 时 当 时第18页/共39页6.6.高阶

7、偏导数高阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数：设 为D上的二元函数，则其在 D上的偏导数为 若二元函数 的偏导数也存在，则称其是函数 的二阶偏导数二阶偏导数。第19页/共39页z=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导的二阶偏导数数记号：第20页/共39页例5 求二阶偏导数解：第21页/共39页解：第22页/共39页注记：若 在D内连续，则在D内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个，n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；等等。第23页/共39页7.7.偏导数的经济意义偏

8、导数的经济意义边际需求:偏弹性:两种商品，价格分别为 和需求函数：称为边际需求发生变化，而 不变时其中：第24页/共39页发生变化，而 不变时其中：称为1商品需求量 对自身价格 的直接价格偏 弹性；称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性。第25页/共39页二全微分二全微分 1全增量全增量偏增量偏增量：对于z=f(x,y)z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z z的增量称为偏增量偏增量。例如：矩形板在长为x x0 0，宽为y y0 0时，若仅当长增加 x x(或宽增加 y y)，则面积的增量是偏增量。右端称偏微分右端称偏微分第26页/共39页全增量：对于z=f(x,y)z

9、=f(x,y)，若两个自变量都取 得增量时，函数z z的增量称为全增量。例如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变 这时面积的改变量（增量）就是全增量。定义(全增量全增量)：设z=f(x,y)z=f(x,y)在点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)的邻域(P P0 0)内有定义，当 x x：x x0 0 x x0 0+x x；y y：y y0 0 y y0 0+y y，相应地 z z：f(xf(x0 0,y,y0 0)f(x)f(x0 0+x,yx,y0 0+y)y)P(xP(x0 0 +x,yx,y0 0+y)y)(P P0 0)称 z z =f(x=f(x0 0+x,yx,y0

10、 0+y)-f(xy)-f(x0 0,y,y0 0)为 z=f(x,y)z=f(x,y)在点 P P0 0 的关于自变量增量x x、y y的 全增量全增量。第27页/共39页例3 设矩形金属板的长宽各为x x0 0,y,y0 0，受热后分 别有增量x,x,y y，求矩形面积的增量S S。解：S=xS=xy y S=S=f(xf(x0 0+x,yx,y0 0+y)-f(xy)-f(x0 0,y,y0 0)=(x =(x0 0+x)(yx)(y0 0+y)-xy)-x0 0y y0 0 =x =x0 0y+yy+y0 0 x+x+x xy yoxyx x0 0y y0 0y y0 0+y yx x

11、0 0+x xx x0 0y yy y0 0 x xx xy y第28页/共39页 与一元函数一样，我们希望全增量zz能用自变量增 量x,x,y y的线性函数（线性主部）来近似地表达。定义（全微分全微分）：若函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)x,y)的全增量可表示成 z=z=f(xf(x+x,yx,y+y)-f(x,y)=Ay)-f(x,y)=Ax+Bx+By+o(y+o()其中A，B不依赖x,x,y y仅与x,yx,y有关，则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)x,y)可微分可微分（简称可微可微）把A Ax+Bx+By y 称为函数z=f(x,y)z=f(x,

12、y)在点(x,y)x,y)的全微全微分分 记为d dz z，即 dzdz=A Ax+Bx+By y (z z的线性主部)第29页/共39页注记：若z=f(x,y)z=f(x,y)在域D内各点可微分，则称 z=f(x,y)z=f(x,y)在D内可微分；z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)可微分 z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)连续；由于自变量增量等于自变量的微分 x=dx,x=dx,y=dyy=dy，故全微分 dzdz=A Adx+Bdx+Bdydy 第30页/共39页 z=f(x,y)z=f(x,y)在(x,y)x,y)可微分的必要条件 定理1：若z

13、=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)x,y)可微分，则z=f(x,y)z=f(x,y)在(x,y)x,y)的偏导数 必定存在，且第31页/共39页证明：由条件 当(x+x+x,y+x,y+y)y)(x,y)x,y)时 z z=A=Ax+Bx+By+o(y+o()特别地(x+x+x,y)x,y)(x,y)x,y)，有 z z=A=Ax+o(x+o()=A)=Ax+o(x+o(x x)同理第32页/共39页 z=f(x,y)z=f(x,y)在(x,y)x,y)可微分的充分条件定理2 2：若z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数 在点(x,y)x,y)连续，则z=f(x,y)z=f(x,y

14、)在 (x,y)x,y)可微。（本定理的证明不作要求！）第33页/共39页注记：对于一元函数对于一元函数y=f(x)y=f(x)在x x可微可微 y=f(x)y=f(x)在x x可导可导且 dy=f(x)dxdy=f(x)dx 可导可导 连续连续第34页/共39页多元函数连续、偏导数存在、可微的关系多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数偏导数存在第35页/共39页注记：二元函数全微分定义及可微分条 件可完全类似地推广到三元及三 元以上的多元函数情形。多元函数全微分符合叠加原理：第36页/共39页例4 求 的全微分解：第37页/共39页例5 求 的全微分 解：第38页/共39页谢谢大家观赏！第39页/共39页