第一节对弧长的曲线积分.ppt

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1、第一节对弧长的曲线积分现在学习的是第1页，共40页第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分线积分和曲面积分.上一章将定积分的概念推广到重积分,被积函数是二元函数,积分区域是平面区域.如果二元函数是定义在平面上一段光滑曲线上或一片曲面上,这样推广后的积分称为曲现在学习的是第2页，共40页第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一一 对弧长曲线积分的概念与性质对弧长曲线积分的概念与性质1.曲线型物件的质量曲线型物件的质量:设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为(x,y),现

2、在要计算这物件的质量M.现在学习的是第3页，共40页分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限 无穷细时,以均匀代替非均匀.我们分四个步骤来进行:计算思路:若构件的线密度为常量,则构件的质量为M=L,故当分割现在学习的是第4页，共40页L分割为n个小段,取其中一小段Mi-1Mi来分析;(i,i)处的线密度(i,i)代替小段的线密度,故得小段计算步骤:AB(i i)xyo(1)分割:用L上的点M1,M2,Mn-1将(2)近似替代:当分割无穷细时,用Mi-1Mi小段上任意一点的质量近似值为:现在学习的是第5页，共40页(3)求和:整个构件质量近似值为(4)取极限:现在学习的是第6页，共40

3、页为第一型曲线积分.记为设f(x,y)定义(即函数有界,或函数连续)在平面光滑曲线L上，2.对弧长的曲线积分定义对弧长的曲线积分定义A,B为L的端点,把L任意分成n段小弧.每一小段的长度为Si,在该小段内取一点(i,i)(i=1,2.n),作乘积f(i,i)Si，并作和式 f(i,i)Si.当0时,这和式的极限存在,则称该极限值为函数f(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分,并称现在学习的是第7页，共40页3.推广推广:若积分弧段为空间曲线弧,则函数f(x,y,z)在曲线弧被积函数积分曲线注意:以后总假定被积函数f(x,y)在积分曲线L上是连续的.上对弧长的曲线积分为现在学习的是第8页，共40页4

4、.对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质性质1 线性性质其中k1,k2为常数.性质2 对积分弧段C具有可加性若曲线C分段光滑,且C=C1+C2,则现在学习的是第9页，共40页因为:定义中的ds对应于Si,是每个小弧段的长度,与弧段的性质3 对弧长的曲线积分与曲线的方向无关定向无关.注意这一性质和定积分不同.现在学习的是第10页，共40页注意:若L为封闭曲线,则可记曲线积分为性质4 设在L上f(x,y)g(x,y),则性质5 对弧长的曲线积分有特别地现在学习的是第11页，共40页oxyzM(x,y)f(x,y)C以xoy平面上的曲线C为底,变高为f(x,y)的平行于z轴的柱面对弧长的曲线积

5、分的几何说明:的侧面面积S现在学习的是第12页，共40页二二 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式定理 设f(x,y)在曲线L上有定义且连续，其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数,且oyxAMBLL的参数方程为则曲线积分存在,且现在学习的是第13页，共40页它们对应一列单调增加的参数值=t0t1.tn-1tn=.对弧长的曲线积分是找出曲线方程的参数方程参数方程,把参数方程代入被积函数(一代一代)把弧微分化为定积分(二化二化)进行计算.注意：上限要求大于下限.证明证明:假定当参数t由变到时,L上的点M(x,y)由A点变到B点的方向描出曲线L.在L上取一系列点A=M0,M1,M2,

6、.Mn=B根据对弧长的曲线积分的定义,有现在学习的是第14页，共40页设点(i,i)对应于参数值i ，这里ti-1i ti ，由于应用积分中值定理,我们有于是现在学习的是第15页，共40页因此上式左边的曲线积分也存在,并有由于这函数在这区域上连续,所以这定积分存在,上式右端的和的极限,就是函数在区域,上的定积分,公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分然后从到作定积分.把x,y,ds依次换成(t),(t),时,只要现在学习的是第16页，共40页如果曲线L的方程为y=(x),此时只要把x看成参数t,同理,如果L的方程为方程(1)变为这样方程(1)变为现在学习的是第17页，共40页公式(1)可推广到空

7、间曲线,设的参数方程为则现在学习的是第18页，共40页(3)把ds写成参变量的微分式,并把曲线的参数方程代入被积函数中进行计算计算对弧长的曲线积分是化为参变量的定积分进行计算.其解题程序为：(1)画出积分路径的图形;(2)把路径L的参数式写出来:x=(t),y=(t),t 现在学习的是第19页，共40页曲线化为参数方程.注意:(1)该积分是通过曲线参数方程化为定积分计算的,因此参数的选择很重要.一般我们利用三角公式或投影公式把1）如果L是平面曲线：若积分路径为y=0,则f(x,y)f(x,0),ds=dx.若积分路径为x=0,则f(x,y)f(0,y),ds=dy.若积分路径为y=kx ,则f

8、(x,y)f(x,kx),现在学习的是第20页，共40页曲线的参数方程,(投影曲线是从两个空间曲面方程中消去z,2）如果L是空间曲线(两个曲面的交线)，我们用L的投影得到只有x,y的方程,即是投影方程,再根据具体情况得到参数方程)把它代入空间曲线方程中得到z的参数表达式.现在学习的是第21页，共40页(2)在计算式中,我们发现积分路径L的表达式可直接代入积分式中,其原因是积分路径是以等式的形式出现,而二重积分是以不等式的形式出现.(3)参数大的作为上限,小的为下限.现在学习的是第22页，共40页1)参数式参数式（4）曲线积分式变成定积分共有三种形式）曲线积分式变成定积分共有三种形式:现在学习的

9、是第23页，共40页2)直角坐标直角坐标3)极坐标极坐标现在学习的是第24页，共40页例1 计算xyao(3)把弧微分ds变成参变量的微分式分析:(1)画出积分路径的图形,见右图.(2)写出积分路径的参数方程.本题是直接给出.现在学习的是第25页，共40页利用公式(3)注意计算时把参数方程代入被积函数中.得：现在学习的是第26页，共40页例2 计算解:本题的参数方程我们选用y为参数,这样选择计算公式(5)oxyy2=4xA(1,2)12其中积分路线C是抛物线y2=4x上自(0,0)到点(1,2)的一段弧.现在学习的是第27页，共40页例3 计算解:由于图形对称,我们只计算第一象限的在第一象限中

10、,星形线的参数方程为于是aaxy-a-a其中C为星形线:现在学习的是第28页，共40页利用公式直接得到:现在学习的是第29页，共40页例4 求曲线积分L是由x轴、y轴及x+y=1所围成区域的边界曲线.解：该曲线是由三段光滑线段组成，由性质2可知011x+y=1xyABOA段：y=0，选x为参数，被积函数(x+y)=x，现在学习的是第30页，共40页AB段：y=1-x，选x为参数，被积函数(x+y)=1，BO段：x=0，选y为参数，被积函数(x+y)=y，现在学习的是第31页，共40页例5 计算(2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2,得z=2asint/2.其中L是上半球面x2+

11、y2+z2=4a2，z0与柱面x2+y2=2ax的交线.分析:曲线是两个曲面的交线,它的投影曲线为x2+y2=2ax.现在我们把曲线L变成参数方程:(1)把投影曲线变形为x2+y2=2ax(x-a)2+y2=a2，此为圆方程,参数方程为x=a(1+cost)，y=asint现在学习的是第32页，共40页(3)于是参数方程为所以：现在学习的是第33页，共40页现在学习的是第34页，共40页对称,则其中L1为L的右半平面或上半平面部分.在例3中我们使用对称性,可以简化曲线积分的计算,现在我们把有关对称的情况加以说明:设被积函数f(x,y)在分段光滑的曲线L上连续,若L关于原点若L关于直线x=y对称

12、,则：现在学习的是第35页，共40页A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)xy例6 求L1是第一象限的直线x+y=1，所以其中L为|x|+|y|=1解法一解法一 L为正方形的边界(如图示)因为L是关于原点对称，即L的方程满足F(x,y)=F(-x,-yF(x,y)=F(-x,-y)，被积函数|x|关于y与x均为偶函数,于是现在学习的是第36页，共40页我们把x轴和y轴相互交换,其值相同，故有解法二解法二:现在学习的是第37页，共40页xyz0例7 计算曲线积分解:由于曲线方程对x,y,z都是对称的,因此有由于L为过球心的平面截得的大圆,所以|L|=2a.因而其中L:现在学习的是第38页，共40页 对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用积分定义及重积分中对物体的重心,质量的讨论,我们得到:对空间曲线有设平面曲线形构件占据平面曲线C,其密度为(x,y),根据曲线曲线C的质量现在学习的是第39页，共40页的重心(设线密度=1)例8 求螺旋线x=acost,y=asint,z=ht对应于0tm的一段 解:现在学习的是第40页，共40页