CHP快速傅立叶变换.pptx

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1、目录目录4.1概述4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.3频率抽取（DIF）基2FFT算法4.5分裂基算法4.6线性调频Z变换4.7与本章有关节MATLAB文件第1页/共60页4.1 概述 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)(FFT)是求解离散傅里叶变换是求解离散傅里叶变换(DFT)(DFT)的快速算法。的快速算法。问题的提出问题的提出 直接计算直接计算N N点点DFTDFT需要的计算量是多少？需要的计算量是多少？计算一个计算一个X(k)X(k)需要需要N N次复数乘法和次复数乘法和N N一一1 1次复数次复数加法。算出全部加法。算出全部N N点点X(k)X(k)共需共需N N2 2次

2、复数乘法和次复数乘法和N(NN(N一一1)1)次复数加法次复数加法.总运算量近似地正比于总运算量近似地正比于N N2 2 。当。当N N值很大（如值很大（如2-2-D D图像处理），运算量将非常庞大；同时，对于实图像处理），运算量将非常庞大；同时，对于实时性很强的信号处理来说，必将对计算速度有十时性很强的信号处理来说，必将对计算速度有十分苛刻的要求。为此，需要改进对分苛刻的要求。为此，需要改进对DFTDFT的计算方法，的计算方法，以减少总的运算次数。以减少总的运算次数。第2页/共60页4.1 概述在正交矩阵中，虽然有在正交矩阵中，虽然有N N2 2个元素，但只有个元素，但只有N N个不同的个不

3、同的值，且有些取值特别简单，主要由于旋转因子具有值，且有些取值特别简单，主要由于旋转因子具有如下的特点：如下的特点：对称性周期性下面以四点DFT为例来说明快速算法的思路。如何充分利用这些关系第3页/共60页4.1 概述第4页/共60页4.1 概述交换矩阵第二列和第三列得交换矩阵第二列和第三列得从上面的结果可以看出从上面的结果可以看出,利用对称性和周期性，求利用对称性和周期性，求四点四点DFTDFT只需要一次复数乘法，称为只需要一次复数乘法，称为Coolkey-TukeyCoolkey-Tukey算法。算法。第5页/共60页4.1 概述第6页/共60页u算法分类：N为2的整次幂：按基数分为基-2

4、FFT算法、基-4FFT算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法;当N不是2的整次幂:典型的有Winograd 算法.按抽取方法分：时间抽取(DecimationinTime，简称DIT)；频率抽取(DecimationinFrequency，简称DIF)4.1 概述第7页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法 为了将大点数的为了将大点数的DFT DFT 分解为小点数的分解为小点数的DFTDFT运算，要求序列的长度运算，要求序列的长度N N为为N N2 2M M(M(M为正为正整数整数)。该情况下的变换称为基。该情况下的变换称为基2 FFT2 FFT。N点DFTN/2点 DFTN/4

5、点 DFT 2点 DFT 1个 2个 4个 N/2个问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分(DIF）第8页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法基本思路：从时域将基本思路：从时域将N N点序列点序列x(n)x(n)按奇偶项分解为按奇偶项分解为两组，分别计算两组两组，分别计算两组N/2N/2点点DFTDFT，然后再合成一个，然后再合成一个N N点点DFTDFT，按此方法继续下去，直到，按此方法继续下去，直到2 2点点DFTDFT，从而减，从而减少运算量。少运算量。算法具体步骤：算法具体步骤：一、算法的推导一、算法的推导1 1、序列、序列x(n)x(n)按奇偶项

6、分解为两组，将按奇偶项分解为两组，将DFTDFT运算也运算也相应分为两组相应分为两组则则第9页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法2 2、两个、两个N/2N/2点的点的DFTDFT合成一个合成一个N N点点DFTDFT问题：问题：A(k)A(k)，B(k)B(k)都只有都只有N/2N/2个点，怎样得到个点，怎样得到X(k)X(k)的的后后N/2N/2点？利用周期性和对称性得点？利用周期性和对称性得 第10页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法第11页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法3 3、继续分解（一直分解到两点、继

7、续分解（一直分解到两点DFTDFT变换）变换）A(K)和B(K)仍是高复合数(N2)的DFT，我们可按上述方法继续以分解。令r2l，r2l十1，l0，1，N4-1，则A(K)和B(K)可分别表示为4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法第12页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法令则第13页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法同理，令则按此方法一直分解下去直到按此方法一直分解下去直到2 2点点DFTDFT，当，当N=8N=8时，如下：时，如下：第14页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算

8、法4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法第15页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法下面通过讨论寻找下面通过讨论寻找FFTFFT的一般规律。的一般规律。二、算法的讨论二、算法的讨论1 1、“级级”的概念的概念 在分解过程中，每分一次，称为一级运算。在分解过程中，每分一次，称为一级运算。因为因为M=log2NM=log2N，所以，所以N N点点DFTDFT可以分解为可以分解为M M级，按级，按抽取算法的信号流图中来定义，从左到右分别抽取算法的信号流图中来定义，从左到右分别称为称为0 0级、级、1 1级到级到M-1M-1级。级。第16页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法2

9、 2、蝶形单元、蝶形单元 在算法的信号流图中，第在算法的信号流图中，第m m级存在这种运算，级存在这种运算，这种结构几何形状像蝴蝶，称为蝶形单元这种结构几何形状像蝴蝶，称为蝶形单元p p、q q是参于本蝶形单元运算的上、下节点的序号。由是参于本蝶形单元运算的上、下节点的序号。由于第于第m m级序号的两点只参于这一个蝶形单元的运算，级序号的两点只参于这一个蝶形单元的运算，其输出在第其输出在第m m十十l l级。且这一蝶形单元也不再涉及别的级。且这一蝶形单元也不再涉及别的点。由于这一特点，在计算机编程时，我们可将蝶形点。由于这一特点，在计算机编程时，我们可将蝶形单元的输出仍放在输入数组中，这一特点

10、称为单元的输出仍放在输入数组中，这一特点称为“同址同址运算运算”。第17页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法第18页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法 由于一级都含有由于一级都含有N/2N/2个蝶形单元，每个蝶形单元个蝶形单元，每个蝶形单元需要需要1 1次复数乘法和两次复数加法，因此完成次复数乘法和两次复数加法，因此完成loglog2 2N N级级共需要的复数乘法和加法分别为共需要的复数乘法和加法分别为 直接计算直接计算DFTDFT时所需的复乘数与复加数都是与时所需的复乘数与复加数都是与N2N2成成正比的。所以采用正比的。所以采

11、用FFTFFT算法使运算量大大减少。显然，算法使运算量大大减少。显然，N N值愈大，节省的运算量愈多。值愈大，节省的运算量愈多。第19页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法3 3、“组组”的概念的概念 在分解过程中，每一级的在分解过程中，每一级的N/2N/2个蝶形单元可个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构和以分成若干组，每一组具有相同的结构和W W因因子分布。第子分布。第m m级可分成级可分成N/2N/2m+1m+1组。组。第20页/共60页例：N=8=23，分3级。第一级的分组及Wr因子如下：m=0级,分成四组：因子为m=1级,分成二组,因子为m=2级,分成一组,因子为

12、4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法4 4、W Wr r因子的分布因子的分布 由上分析可知由上分析可知结论：每由后向前（m由M-1-0级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。第21页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法5 5、码位倒置、码位倒置 在在FFTFFT算法中，输出的频谱依照正常次序排算法中，输出的频谱依照正常次序排列，但输入的序列列，但输入的序列x(n)x(n)是按奇偶分开的，分开是按奇偶分开的，分开的规律，以的规律，以N=8N=8为例，按如下方法进行排序为例，按如下方法进行排序（1 1）、将）、将x(n)x(n)的序号写成二进制的序号写成二进制 x(000

13、),x(001),x(000),x(001),x(110)，x(111)x(111)。（2 2）将二进制的码进行翻转，得）将二进制的码进行翻转，得 x(000),x(100),x(000),x(100),x(011)，x(111)x(111)。（3 3）将二进制的翻转码转换为对应的十进制）将二进制的翻转码转换为对应的十进制 x(0),x(4),x(0),x(4),x(3),x(3)，x(7)x(7)。这就是按奇偶抽取得到的顺序。这就是按奇偶抽取得到的顺序。第22页/共60页4.2时间抽取（DIT）基2FFT算法说明：说明：在上述的基在上述的基2FFT2FFT算法中，由于每一算法中，由于每一步分

14、解都是按输入序列步分解都是按输入序列x(n)x(n)在时域上的次在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，所以称序是属于偶数还是奇数来抽取的，所以称为为“按时间抽取法按时间抽取法”或或“时间抽取时间抽取”。上述的基上述的基2FFT2FFT算法中，抽取也可在算法中，抽取也可在频域进行，引出频率抽取（频域进行，引出频率抽取（DIFDIF）基）基2FFT2FFT算算法。法。第23页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法 设输入序列长度为N=2M(M为正整数)，频率抽取法将输入序列不是按奇、偶分组，而是按前后对半分开，这样可将N点DFT写成前后两部分;将该序列的频域的输出序列X(k)(也是

15、N点序列，按其频域顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取的FFT算法。也称为Sander-Tukey算法。第24页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法算法分析算法分析 现将输入现将输入x(n)按按n的顺序分前后两部分的顺序分前后两部分:前半子序列前半子序列x(n),0nN/2-1;后半子序列后半子序列x(n+N/2),0nN/2-1;例：例：N=8时，前半序列为：时，前半序列为：x(0),x(1),x(2),x(3);后半序列为：后半序列为：x(4),x(5),x(6),x(7);考虑考虑N点的点的DFT,由由DFT定义定义得得第25页/共60页4.3 频率抽取（D

16、IF）基2FFT算法第26页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法按按k k的奇偶将的奇偶将X(k)X(k)分成奇偶两部分分成奇偶两部分,k=2r,k=2r和和k=2r+1,k=2r+1,考虑考虑k k为偶数情况为偶数情况令第27页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法考虑考虑k k为奇数情况为奇数情况令第28页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法结论结论 一个一个N点的点的DFT被分解为两个被分解为两个N/2点点;与时间抽取法的推演过程一样，由于与时间抽取法的推演过程一样，由于N=2M,因此因此,N/2仍为偶数，所以可以将仍为偶数，所以可以将N/2点点D

17、FT的输出的输出X(k)再分为偶数组和奇数再分为偶数组和奇数组，这样就将一个组，这样就将一个N/2点的点的DFT分成两个分成两个N/4点点DFT的输入，也是将的输入，也是将N/2点的点的DFT的输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为的输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为2点点DFT。第29页/共60页8点点DIF基基2FFT算法流图算法流图 4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法第30页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法第31页/共60页4.3 频率抽取（DIF）基2FFT算法DITDIT与与DIFDIF的相同之处：的相同之处：（1 1）DIFDIF与与

18、DITDIT两种算法均为原位运算。两种算法均为原位运算。（2 2）DIFDIF与与DITDIT运算量相同。运算量相同。DITDIT与与DIFDIF的不同之处：的不同之处：（1 1）DIFDIF与与DITDIT两种算法结构倒过来。两种算法结构倒过来。DIFDIF为输入顺序，输出乱序。运算完毕再运行为输入顺序，输出乱序。运算完毕再运行“二进制二进制倒读倒读”程序。程序。DITDIT为输入乱序，输出顺序。先运行为输入乱序，输出顺序。先运行“二进制倒读二进制倒读”程程序，再进行求序，再进行求DFTDFT。（2 2）DIFDIF与与DITDIT根本区别：在于蝶形结不同。根本区别：在于蝶形结不同。DITD

19、IT的复数相乘出现在减法之前。的复数相乘出现在减法之前。DIFDIF的复数相乘出现在减法之后。的复数相乘出现在减法之后。第32页/共60页4.5 分裂基算法u自从基2快速算法出现以来，人们仍在不断寻求更快的算法。1984年，法国的杜梅尔(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollmann)将基2分解和基4分解糅合在一起，提出了分裂基FFT算法。其运算量比前几种算法都有所减少，运算流图却与基2FFT很接近，运算程序也很短。它是目前一种实用的高效新算法。第33页/共60页4.5 分裂基算法 分裂基算法分裂基算法又称又称基基2/42/4算法算法,算法的算法的基本基本思路思路是是:对偶号输出使用基对偶

20、号输出使用基2 2算法算法,对奇号输出对奇号输出使用基使用基4 4算法。算法。下面首先介绍基下面首先介绍基4 4算法：算法：令令N=4N=4M M，对，对N N点点DFTDFT可按下面方法进行频率抽可按下面方法进行频率抽取取分别令分别令k=4rk=4r，k=4r+2k=4r+2，k=4r+1k=4r+1，k=4r+3k=4r+3，其中，其中，r=0r=0，1 1，2 2，N/4-1N/4-1，有，有第34页/共60页4.5 分裂基算法第35页/共60页4.5 分裂基算法4.5 分裂基算法第36页/共60页4.5 分裂基算法算法分析算法分析 对于对于N=4N=4M M点点DFTDFT，当输出项，

21、当输出项k k为偶数时，采用为偶数时，采用基基2 2算法，即算法，即当输出项当输出项k k为奇数时，采用基为奇数时，采用基4 4算法，即算法，即第37页/共60页4.5 分裂基算法第38页/共60页4.5 分裂基算法第39页/共60页4.5 分裂基算法分析：分析：一个一个N N点点DFTDFT可以分解为一个可以分解为一个N/2N/2点点DFTDFT和两个和两个N/4N/4点点DFTDFT。由。由x(n)x(n+N/4)x(n+N/2)x(n)x(n+N/4)x(n+N/2)和和x(n+3N/4)x(n+3N/4)求求N/2N/2点点DFTDFT和和N/4N/4的的DFTDFT只需要两次乘法，可

22、以减少运只需要两次乘法，可以减少运算量。算量。N/2N/2点点DFTDFT可进一步分解为可进一步分解为一个N/4点DFT和两个N/8的DFT。N/4N/4的点的点DFTDFT进一步分解为进一步分解为一个N/8点DFT和两个N/16的DFT。这样一直下去，直到分解为两点或这样一直下去，直到分解为两点或4 4点点DFTDFT为止。为止。第40页/共60页4.5 分裂基算法结论：结论：分裂基分裂基FFTFFT算法结构同基算法结构同基2FFT2FFT算法结构相似，适算法结构相似，适用于用于N=2N=2M M的场合，并由的场合，并由M M级运算实现。运算流图输入级运算实现。运算流图输入为顺序，输出为倒序

23、。为顺序，输出为倒序。分裂基分裂基FFTFFT算法算法的计算量的计算量第41页/共60页 以上提出FFT算法，可以很快地求出全部DFT值。即求出有限长序列x(n)的z变换X(z)在单位园上N个等间隔抽样点zk处的抽样值。它要求N为高度复合数。即N可以分解成一些因子的乘积。例N=2L 实际上：（1）也许对其它围线上z变换取样发生兴趣。如语音处理中，常常需要知道某一围线z变换的极点所处的复频率。（2）只需要计算单位圆上某一段的频谱,即M不等于N。如窄带信号，希望在窄带频率内频率抽样能够非常密集，提高分辨率，带外则不考虑。（3）若N是大素数时，不能加以分解，又如何有效计算这种序列DFT。例N=311

24、，若用基2则须补N=28=512点，要补211个零点。4.6线性调频Z变换第42页/共60页4.6线性调频Z变换问题提出 为了提高DFT的灵活性，须用新的方法。线性调频z变换(CZT)就是适用这种更为一般情况下，由x(n)求X(zk)的快速变换。CZT 来自于雷达专业的专用词汇。Z 变换采用螺线抽样,可计算单位圆上任一段曲线的Z变换，适用于更一般情况下（M不等于N）由x(n)求X(zr)的快速算法,达到频域细化的目的，这种变换称为线性调频Z变换(简称CZT)。第43页/共60页 为适应z可以沿平面内更一般的路径取值，我们沿z平面上的一段螺线作等分角的抽样，则z的取样点Zr可表示为：已已 知知

25、N点序列点序列x(n)，0nN-1,其其z变换为变换为其中其中M：表示欲分析的复频谱的点数。：表示欲分析的复频谱的点数。M不一定等于不一定等于N。A，W 都为任意复数都为任意复数,令令 4.6线性调频Z变换一、一、CZTCZT的定义的定义第44页/共60页4.6线性调频Z变换上式即为上式即为CZTCZT的定义的定义.现在讨论现在讨论A A0 0,W,W0 0,0 0,0 0的的含义含义:为输出为输出M M点的变换域值点的变换域值.r=0.r=0时的时的A A0 0e ej j0 0是是CZTCZT的起点的起点,随着随着r r的变化的变化,r,r0 0,r,r1 1,R,RM-1M-1构成构成C

26、ZTCZT的变化路径，对于的变化路径，对于M-1M-1点其极坐标为点其极坐标为第45页/共60页4.6线性调频Z变换第46页/共60页4.6线性调频Z变换CZTCZT在现在现Z Z平面上的变换路径是一条平面上的变换路径是一条螺旋线螺旋线。（1）A为起始样点位置为起始样点位置起点半径，大于起点半径，大于1 1时，表示螺旋线在单位圆外，反之，在单时，表示螺旋线在单位圆外，反之，在单位圆内。位圆内。起点半相角。起点半相角。（2）当当W01,螺旋线内旋，反之外旋。螺旋线内旋，反之外旋。（3）当当A0=W0=1时，时，CZT的变换路径为单位圆上的变换路径为单位圆上的一段弧，起点为的一段弧，起点为P，终点

27、为，终点为Q，且，且M不一定等于不一定等于N。第47页/共60页4.6线性调频Z变换第48页/共60页4.6线性调频Z变换 考虑考虑A0=W0=1时，在单位圆上时，在单位圆上CZT，且，且M不一定等不一定等于于N。第49页/共60页4.6线性调频Z变换第50页/共60页4.6线性调频Z变换CZTCZT的线性滤波计算步骤的线性滤波计算步骤第51页/共60页4.6线性调频Z变换二、二、CZTCZT的计算方法的计算方法分析：分析：从上面的推导过程可以看出，计算从上面的推导过程可以看出，计算CZTCZT关键是计算一个线性卷积关键是计算一个线性卷积其中，其中，g(n)g(n)应为应为N N点序列，点序列

28、，h(n)h(n)应为偶对称的应为偶对称的无限长序列，考虑到输出无限长序列，考虑到输出M M点序列，点序列，h(n)h(n)的实的实际长度应为际长度应为M M点。因此，可用点。因此，可用DFTDFT来实现两者来实现两者的卷积，具体步骤如下：的卷积，具体步骤如下：第52页/共60页4.6线性调频Z变换（1 1）计算并设置）计算并设置g(n)g(n)第53页/共60页4.6线性调频Z变换（2 2）计算并设置）计算并设置h(n)h(n)将将h(n)h(n)设置成长度为设置成长度为L L的序列，考虑到其为偶对称的序列，考虑到其为偶对称序列，且取序列，且取M M点（输出点（输出M M点序列），取点序列）

29、，取如下图所示如下图所示第54页/共60页4.6线性调频Z变换第55页/共60页4.6线性调频Z变换（3 3）计算）计算h h(n)(n)和和g g(n)(n)的的DFTDFT，得到，得到L L点序列点序列H(k)和G(k)。（4 4）令）令Y(k)=H(k)G(k)（乘积）后作乘积）后作Y(k)的的IDFTIDFT（反变换）（反变换）得到时域输出序列得到时域输出序列y(r)。（5 5）取）取y(r)y(r)的前的前M M点，并乘以点，并乘以W W-r2/2-r2/2,则得最后的输出则得最后的输出X X(z(zr r)，即，即第56页/共60页 与标准FFT算法相比，CZT算法有以下特点：（1

30、）输入序列长度N及输出序列长度M不需要相等，且N及M不必是高度合成数，二者均可为素数。（2）Zk的角间隔是任意的，说明其频率分辨率也是任意可控的，角间隔小，分辨率高，反之，分辨率低。（3）周线不必是z平面上的圆，在语音分析中螺旋周线具有某些优点。（4）由于起始点z0可任意选定，因此可以从任意频率上开始对输入数据进行窄带高分辨率的分析。总之，CZT算法具有很大的灵活性。4.6线性调频Z变换第57页/共60页与本章内容有关的MATLAB文件主要是fft,ifft和 czt.m。顾名思义，fft实现快速傅立叶变换，ifft实现快速傅立叶反变换，czt.m 用来实现线性调频Z变换。1.fft的调用格式是：X=fft(x),或 X=fft(x，N)。2.czt.m 调用格式是：Xczt(x,M,W,A)。x是待变换的时域信号，其长度设为N，M是变换的长度，W确定变换的步长，A确定变换的起点。若M=N,A=1,则CZT变成DFT。与本章有关节MATLAB文件第58页/共60页ENDThanks!第59页/共60页谢谢您的观看！第60页/共60页