第一节不定积分的定义和性质.ppt

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1、第一节不定积分的定义和性质现在学习的是第1页，共29页三、三、基本基本积分表分表 二、不定二、不定积分的性分的性质一、一、原函数与不定原函数与不定积分的概念分的概念第一节 不定积分的概念与性质Conceptions and properties of Indefinite Integrals 第四四章 现在学习的是第2页，共29页一、一、原函数与不定原函数与不定积分的概念分的概念(Anti-derivatives and the Indefinite Integral)定定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数原函数.则称 F(x)为f(x)

2、例例现在学习的是第3页，共29页问题1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?定理定理1.存在原函数.简言之：言之：连续函数一定有原函数函数一定有原函数.(下章下章证明明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定初等函数在定义区区间上有原函数上有原函数问题2.原函数是否唯一？答案：答案：不唯一？不唯一？例（为任意常数）问题3.原函数之间有什么联系？现在学习的是第4页，共29页关于原函数的两点关于原函数的两点说明：明：（1）若）若 ，则对于任意常数于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则（为某个常数）某个常数）证结论：若若 F(x)是是 f(x)的一个原函数，的一个原函数，则

3、 f(x)的任意的任意一个原函数可表示一个原函数可表示为：其中其中C 为任意常数任意常数。f(x)的全体原函数的全体原函数为：现在学习的是第5页，共29页定定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号分号;被被积函数函数;被被积表达式表达式.积分分变量量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数分常数不可不可丢!记作 简单地地说：求求不定积分就是求函数的全体原函数。现在学习的是第6页，共29页例例求求解解解解例例求求例例 求求解解注意：注意：现在学习的是第7页，共29页例例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲

4、线过点(1,2),故有因此所求曲线为设曲线方程为根据题意知xy0112现在学习的是第8页，共29页不定不定积分的几何意分的几何意义:的原函数的图形称为的积分曲分曲线.由于 F(x)=f(x)，因此，积分曲线 y=F(x)在点 x 处的切线斜率正是 f(x)。不定积分 y=F(x)+在几何上代表一簇积分曲线，它们可通过曲线 y=F(x)沿 y 轴方向上或下移动个单位而得到。在同一点 x 对应的积分曲线簇上，切线平行 若给定平面上一个点则能唯一确定一条通过该点的积分曲线。现在学习的是第9页，共29页二、不定二、不定积分的性分的性质(Properties of the Definite Integr

5、al)推推论:若则或或（一）求不定（一）求不定积分与求分与求导数或微分互数或微分互为逆运算逆运算（二）不（二）不为00的常数因子，可以移到的常数因子，可以移到积分号前分号前（三）（三）现在学习的是第10页，共29页三、三、基本基本积分表分表(Brief Table of Indefinite Integral）(k 为常数)实例例注注记由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式导出相应的积分公式.现在学习的是第11页，共29页现在学习的是第12页，共29页现在学习的是第13页，共29页举例例例2 2 求积分解解判断积分结果是否正确，只要对结果求导，看导数是否等于被积函数，相等时，结果

6、是正确的，否则是错误的。说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系现在学习的是第14页，共29页解解:原式 =例例5.求解解:原式=例例4 4 求求积分分例例3.求求解解:原式 =现在学习的是第15页，共29页例例6.求解解:原式=现在学习的是第16页，共29页例例7.求求解解:原式=例例8.求解解:原式=先先变形，再用形，再用基本基本积分表分表现在学习的是第17页，共29页例例9.求求解解:原式=现在学习的是第18页，共29页例例1010 求求积分分解解说明：明：以上几例中的被以上几例中的被积函数都需要函数都需要进行恒行恒等等变形，才能使用基本形，才能使用基本积分表分表.现在学习的是第19页，

7、共29页解解所求曲所求曲线方程方程为现在学习的是第20页，共29页内容小内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2.直接积分法:利用恒等恒等变形形,及 基本基本积分公式分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性分性质现在学习的是第21页，共29页思考与思考与练习1.证明 2.若提示提示:现在学习的是第22页，共29页是的原函数,则提示提示:已知3.若现在学习的是第23页，共29页的导函数为则的一个原函数是().提示提示:已知求即B?或由题意其原函数为4.若现在学习的是第24页，共29页提示提示:5.求下列积分:现在学习的是第25页，共29页解：解：6.求不定积分现在学习的是第26页，共29页求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得7.已知已知现在学习的是第27页，共29页解答 不存在.假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数.结论每一个含有每一个含有第一第一类间断点断点的函数都没有的函数都没有原函数原函数.8、符号函数在 内是否存在原函数？为什么？现在学习的是第28页，共29页习题习题4-1:2(2,3,5,8,15,16,18),3,6,74-1:2(2,3,5,8,15,16,18),3,6,7 高数A现在学习的是第29页，共29页