矢量分析与场论 .ppt

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1、矢量分析与场论 现在学习的是第1页，共28页一、电磁学的重要性一、电磁学的重要性1.法拉第和麦克斯韦建立的电磁场理论是法拉第和麦克斯韦建立的电磁场理论是19世纪物理学最伟大的成就；电世纪物理学最伟大的成就；电磁学基本规律的广泛应用和近代发展对技术进步和人类文明产生了不磁学基本规律的广泛应用和近代发展对技术进步和人类文明产生了不可磨灭的深远影响。可磨灭的深远影响。电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。其他工程领域：电磁兼容、

2、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。绪论绪论电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。2.电磁场理论是电气工程与电子工程学科的基础课程。电磁场理论是电气工程与电子工程学科的基础课程。电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。现在学习的是第2页，共28页二、二、课课程的特色与学程的特色与学习习方法建方法建议议课课程学程学时时：32学时。课课程的特色程的特色：体系完整、逻辑性强、内容抽象。教材的特色教材的特色：电气工程与电子工程相结合、理论与工程的结合，突出理论应用、提高学习兴趣。

3、建议参考教材:工程电磁场原理 倪光正 高等教育出版社。学学习习方法建方法建议议：注重物理概念，强调数学方法，培养抽象思维能力，通过例题和习题充分理解电磁场理论。3.电磁场理论是理解、发现和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必电磁场理论是理解、发现和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。不可少的知识本源。绪论绪论现在学习的是第3页，共28页电 磁 场现在学习的是第4页，共28页矢量与场论基础矢量与场论基础正交坐标系正交坐标系矢量运算矢量运算标量场与矢量场标量场与矢量场现在学习的是第5页，共28页1、直角坐标系：x y z单位向量：e ex，e ey，e ez元长度：dl l=

4、e exdx+e eydy+e ezdz元面积：dS S=e exdydz+e eydzdx+e ezdxdy元体积：dV=dxdydz 0.1 0.1 正交坐标系正交坐标系现在学习的是第6页，共28页2、圆柱坐标 f z单位向量：e，ef，ez元长度：dl=ed+efdf+ezdz元面积：dS=edfdz+efddz+ezddf 元体积：dV=ddfdz现在学习的是第7页，共28页3、球坐标 r f q单位向量：er，eq，ef元长度：dl=erdr+eq rdq+ef r sinqdf元面积：dS=err2sinqdfdq+eq rsinqdrdf+ef rdrdq 元体积：dV=r2si

5、nqdqdfdr现在学习的是第8页，共28页1 1、标量、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L3 3、矢量运算、矢量运算点乘（数量积）：点乘（数量积）：2 2、矢量、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中在球坐标系中在球坐标系中直角坐标系中的矢量表达式直角坐标系中的矢量表达式0.2、矢量运算矢量运算 其中e ex、e ey、e ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、z 轴的方向相同。现在学习的是第9页

6、，共28页矢量点积的坐标表达式：这种表达式是教材中经常要用到的。现在学习的是第10页，共28页叉乘（矢量积）：叉乘（矢量积）：哈密顿算符：哈密顿算符：直角坐标系中：直角坐标系中：圆柱坐标系中圆柱坐标系中球坐标系中球坐标系中现在学习的是第11页，共28页矢量积的坐标表达式：这种表达式也是教材中经常要用到的。现在学习的是第12页，共28页其他运算公式现在学习的是第13页，共28页0.3 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.例如,在直角坐标下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等.现在学习的是第14页，共28页形象描

7、绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面).其方程为其方程为三维场在直角坐标下:二维场图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？现在学习的是第15页，共28页0.4 标量场的梯度一.梯度当 ,即 与 方向一致时,为最大.梯度(gradient)则有:式中 ，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角式中称为哈密顿算子 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向导数为:现在学习的是第16页，共28页例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的

8、方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；二.梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.2 电位场的梯度现在学习的是第17页，共28页0.5 矢量场的通量与散度一、矢量场的通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面积分 0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若

9、S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:现在学习的是第18页，共28页二、矢量场的散度 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即由奥斯特罗格拉特斯基公式：散度(divergence)定义：所以通量可以看作是体积V内散度的体积分：（高斯散度定理）现在学习的是第19页，共28页三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；A A=0(无源）A A=0(负源)A A=0 (正源)现在学

10、习的是第20页，共28页四、高斯公式(散度定理)高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量现在学习的是第21页，共28页0.6 矢量场的环量与旋度一、矢量场环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环量的计算现在学习的是第22页，共28页二、矢量场的旋度在直角坐标系中，设则环量

11、可写成：由斯托克斯公式：和直角坐标下矢量积的定义：则环量可写成：空间中有向曲面的定义：现在学习的是第23页，共28页1.旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为使得环量密度取最大值时曲面元S的方向。称为旋度(curl)它与环量密度的关系为定义矢量：2.环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限其中rotnA表示rotA在S的法线方向en上的投影，取不同的路径时，其环量密度也不同。称为环量密度旋度与环量的关系：现在学习的是第24页，共28页三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度

12、的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 AdSi 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理现在学习的是第25页，共28页0.7 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及

13、边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0=0=000=0现在学习的是第26页，共28页0.8 三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在垂直于某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,z)，则称这个场为轴对称场。3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。现在学习的是第27页，共28页 作业.2.3.式中：试证明下列各题1.现在学习的是第28页，共28页