矩阵与几何基础.ppt

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1、矩阵与几何基础现在学习的是第1页，共25页矩阵基础矩阵的秩与初等变换矩阵的转置和逆正交矩阵齐次空间几何应用仿射变换欧拉角四元数主要内容主要内容现在学习的是第2页，共25页矩阵矩阵 称为F上 矩阵,简写:设F是数域,用F的元素 排成的m行n列的数表 现在学习的是第3页，共25页矩阵的秩矩阵的秩 定义 矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为 秩(A)或 。性质(1)秩(A)=0当且仅当 A=0(2)秩()min m,n(3)初等行变换不改变矩阵的秩。现在学习的是第4页，共25页初等矩阵初等矩阵 定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。现在学习的是第5页，

2、共25页 矩阵的转置矩阵的转置设把矩阵 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 的转置矩阵转置矩阵,记为 或 转置有下面的性质:现在学习的是第6页，共25页矩阵的逆矩阵的逆 定义定义 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.A可逆，则A的逆矩阵唯一。性质性质 A可逆，则 A可逆，则 可逆，且 A，B可逆，则AB也可逆，且 .现在学习的是第7页，共25页正交矩阵正交矩阵定义定义:设设V是一个向量空间，是一个向量空间，1,2,m是是V的的一组基，若满足：一组基，若满足：1）1,2,m两两相互正交两两相互正交 2）|j|=1,j=1,2,m

3、 则则称称 1,2,m是向量空是向量空间间V的一的一组标组标准正交基准正交基.现在学习的是第8页，共25页正交矩阵正交矩阵定义：设定义：设A是一个是一个n阶方阵，若阶方阵，若ATA=En则称则称A为一个为一个n阶正交矩阵。阶正交矩阵。1.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。阵是一个正交矩阵。2.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量个列向量构成了构成了Rn的一个标准正交基的一个标准正交基.3.若若A是一个正交矩阵，则是一个正交矩阵，则|A|2=1现在学习的是第9页，共25页正交矩阵正交矩阵

4、定定义义:设设V是是Rn的一个非平凡的子空的一个非平凡的子空间间,Rn，若在，若在V中存在某向量中存在某向量，使得，使得 -与与V中任何一个向量皆正交，中任何一个向量皆正交，则则称称 为为向量向量 在向量空在向量空间间V中的正交投影向量。中的正交投影向量。现在学习的是第10页，共25页齐次空间齐次空间现在学习的是第11页，共25页仿射变换仿射变换xyz1xyz1=P=TP1 0 0 tx0 1 0 ty 0 0 1 tz 0 0 0 1xyz1sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1xyz1=P=SP现在学习的是第12页，共25页仿射变换仿射变换xyz1cosa 0 si

5、na 0 0 1 0 0-sina 0 cosa 0 0 0 0 1xyz1=P=RyPxyz1 1 0 0 0 0 cosa -sina 0 0 sina cosa 0 0 0 0 1xyz1=P=RxP绕Y轴旋转绕X轴旋转xyz1cosa -sina 0 0sina cosa 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1xyz1=P=RzP绕Z轴旋转现在学习的是第13页，共25页仿射变换仿射变换一般仿射变换一般仿射变换 平移使旋转轴过原点 T 绕X轴旋转使旋转轴落到XZ平面 Rx 绕 Y轴旋转使旋转轴与Z轴重合 Ry 绕Z轴旋转指定角(Rz()Ry-1 Rx-1 T-1M=T-1.Rx-1.Ry

6、-1.Rz().Ry.Rx.T现在学习的是第14页，共25页欧拉角欧拉角定义：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角、旋进角（即进动角）和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。现在学习的是第15页，共25页欧拉角欧拉角三个欧拉角对应的齐次旋转矩阵为现在学习的是第16页，共25页欧拉角欧拉角欧拉角在应用中的缺点：1.用欧拉角难以建立任意的朝向2.在插值朝向时会带来问题现在学习的是第17页，共25页四元数四元数四元数的定义:四元数可表示矢量和物体的旋转，并没有冗余信息，它提供了一种比旋转矩阵更为有效的方法。在计算机图形学和计算机 动面领域中表示物体的旋转和朝向方面尤为便利。设Q是实数

7、域上的四维向量空间，其正交基底(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，l，0)，(0，0，0，1)分别用e,i,j,k表示现在学习的是第18页，共25页四元数四元数即e作为乘法单位元，而i，j，k按i-j-k-i的次序，相邻两单位元按箭头顺序相乘等于第三单位元，与箭头顺序反方向相乘则等于第三个单位元的负元.eijkeeijkii-ek-jjj-k-eikkj-i-e现在学习的是第19页，共25页四元数四元数 四元数的范数:四元数的逆:四元数的共轭:现在学习的是第20页，共25页四元数四元数四元数的性质:现在学习的是第21页，共25页四元数四元数现在学习的是第22页，共25页四元数四元数现在学习的是第23页，共25页四元数四元数现在学习的是第24页，共25页现在学习的是第25页，共25页