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1、第3章均值方差分析与资本资产定价模型1第1页,此课件共68页哦3.1 两种证券投资组合的均值两种证券投资组合的均值-方差方差3.1.1 投资组合投资组合设有两种风险资产证券,设有两种风险资产证券,记为记为A和和B,第2页,此课件共68页哦3.1 两种证券投资组合的均值两种证券投资组合的均值-方差方差注:权重为正数,意味着投资者买入该资产。注:权重为正数,意味着投资者买入该资产。如果是卖空,投资于资产的权重是负数。如果是卖空,投资于资产的权重是负数。例如:假设你借例如:假设你借100股某公司的股票,市场价格为股某公司的股票,市场价格为10元,元,那么将股票卖出,可获得那么将股票卖出,可获得100
2、0元现金。一段时间元现金。一段时间之后,该股票的价格之后,该股票的价格5元,你在市场上购买元,你在市场上购买100股,股,支付现金支付现金500,两者之间的差额为,两者之间的差额为500元,你可以获利。元,你可以获利。第3页,此课件共68页哦举例说明举例说明 1.如果你有资金如果你有资金1000元,投资于证券的金额元,投资于证券的金额为为400元,投资于证券的金额为元,投资于证券的金额为600元,元,则有则有第4页,此课件共68页哦举例说明举例说明2.假设你有资金假设你有资金1000元,卖空证券获现金元,卖空证券获现金600元,共有元,共有1600元,投资于证券,于是元,投资于证券,于是对于资
3、产对于资产 则有则有第5页,此课件共68页哦投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差 设证券设证券A的收益率为的收益率为RA,证券,证券B的收益率的收益率RB是随机变量,是随机变量,假设我们已知假设我们已知RA和和RB的概率分布,的概率分布,称称第6页,此课件共68页哦投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差则期望收益第7页,此课件共68页哦投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差第8页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线假设假设由式(由式(3.1.1)(1)如果我们假设)如果我们假设 和和的相关系数为零,的相关系数为零,由式(由式(3.1.2)第9页,此课件共6
4、8页哦3.1.2 联合线联合线设自有资金设自有资金1000元,元,卖空证券收入为卖空证券收入为500元,元,将这两种资金将这两种资金(共共1500元元)投资于证券投资于证券,计算得计算得代入式(代入式(3.1.3)和式()和式(3.1.4)得)得第10页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线表表3.1 不同投资组合的期望收益和收益方差不同投资组合的期望收益和收益方差1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的数据在利用上述表格中的数据在 的坐标系之下画出一条曲线的坐标系之下画出一
5、条曲线称为证券称为证券A和证券和证券B的联合线。的联合线。第11页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线图图3.1 证券证券A和和B的联合线的联合线卖空B投资于A同时投资于A和B 卖空A投资于B第12页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线假设相关系数不为零,假设相关系数不为零,(2)假设假设RA和和RB完全正相关完全正相关,在(在(RB,RA)坐标系内,)坐标系内,是一条斜率为正的一条直线,即是一条斜率为正的一条直线,即如果如果第13页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线图图3.2 证券证券A和证券和证券B收益率完全正相关时的示意图收益率完全正相关时的示意图第14页,此课件共6
6、8页哦3.1.2 联合线联合线当当RA和和RB完全正相关时,相关系数完全正相关时,相关系数由式由式(3.1.2),第15页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线表表3.2 不同不同wA值的期望收益率和收益率方差值的期望收益率和收益率方差3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.1250第16页,此课件共68页哦正相关时的联合线正相关时的联合线第17页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线(3)假设假设RA和和RB完全负相关完全负
7、相关,在(在(RB,RA)坐标系内,)坐标系内,是一条斜率为负的一条直线,即是一条斜率为负的一条直线,即得得解得解得第18页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线于是得此直线的方程为于是得此直线的方程为 图图3.3 证券证券A和证券和证券B收益率完全负相关情况下的示意图收益率完全负相关情况下的示意图第19页,此课件共68页哦3.1.2 联合线联合线当当RA和和RB完全负相关时,完全负相关时,相关系数为相关系数为-1,此时此时 3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500
8、.0100.1750表表3.3 不同不同wA值的收益率期望和方差值的收益率期望和方差第20页,此课件共68页哦6248101214160246810121418完全负相关的情况完全负相关的情况第21页,此课件共68页哦6248101214160246810121418图图3.4 3种不同情况下的联合线种不同情况下的联合线第22页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析设有两种证券设有两种证券A和和B,证券证券A的期望收益记为的期望收益记为 证券证券B的期望收益记为的期望收益记为 设设设投资于证券设投资于证券A的资金权重为的资金权重为 投资于证券投资于证券
9、B的权重记为的权重记为 满足满足投资组合投资组合 的期望收益记为的期望收益记为 则有则有投资组合的收益率投资组合的收益率 的方差的方差 第23页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析由式由式(3.1.9)和式和式(3.1.10)解得解得代入式代入式(3.1.10),得,得整理后,可得整理后,可得第24页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析若若RA和和RB不完全相关,不完全相关,则则于是式于是式(3.1.12)的右端作为的右端作为 的二次函数恒大于零,的二次函数恒大于零,可以写成可以写成 的形式。的形式。代入式
10、(代入式(3.1.12),得),得易见方程易见方程(3.1.13)在在 平面上的图形是双曲线,平面上的图形是双曲线,由于由于 它只有开口向右的一支。它只有开口向右的一支。第25页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析(1)若)若RA和和RB完全正相关,完全正相关,可见方程可见方程(3.1.14)的图形是从的图形是从 出发的两条射线,出发的两条射线,其中的一条是其中的一条是 第26页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析另一条是另一条是(2)如果)如果RA和和RB完全负相关,完全负相关,此时此时 也是两条射线,也
11、是两条射线,这两条射线从这两条射线从 出发指向右方,出发指向右方,第27页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析其中一条通过点其中一条通过点 其方程为其方程为 另一条通过点另一条通过点 其方程为其方程为 第28页,此课件共68页哦3.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析(3)如果)如果RA和和RB无关,无关,此时此时方程方程(3.1.12)变为变为 方程方程(3.1.20)是一条经过是一条经过 和和的双曲线的双曲线,其顶点为其顶点为 对应于此顶点的投资组合,方差最小,对应于此顶点的投资组合,方差最小,其方差其方差 而其期望收益介于
12、而其期望收益介于A和和B之间。之间。第29页,此课件共68页哦图图3.5 不同情况下投资组合均值与方差的关系不同情况下投资组合均值与方差的关系第30页,此课件共68页哦3.2均值方差分析及两基金分离定理 第31页,此课件共68页哦3.2.1投资组合的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差设市场只有设市场只有n种风险资产,种风险资产,仅有两个时刻,仅有两个时刻,时刻时刻0代表今天,时刻代表今天,时刻1代表明天,代表明天,其单期收益为其单期收益为 记记为收益率向量。为收益率向量。设设称称w为投资组合,为投资组合,其中其中wi是第是第i种资产种资产Xi上的投资比例,上的投资比例,满足满足 这里没有这
13、里没有 的限制,的限制,说明市场有做空机制。说明市场有做空机制。第32页,此课件共68页哦3.2.1投资组合的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差以以表示第表示第i种资产收益的期望值,种资产收益的期望值,为期望收益向量。为期望收益向量。若若w为投资组合,为投资组合,满足满足 投资组合的收益率投资组合的收益率 也是随机变量,也是随机变量,其期望值其期望值 称为投资组合的期望收益。称为投资组合的期望收益。第33页,此课件共68页哦3.2.1投资组合的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差设设是是n维向量,维向量,记记称称n阶矩阵阶矩阵 为方差协方差阵。为方差协方差阵。如果如果 为可逆矩阵,为可逆
14、矩阵,为正定矩阵,为正定矩阵,投资组合投资组合 的收益率的收益率 的方差为的方差为 用矩阵表示用矩阵表示 第34页,此课件共68页哦3.2.1投资组合的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差有效投资组合有效投资组合 的假设条件的假设条件 (1)仅存在无风险利率仅存在无风险利率Rf,可以无限制借贷,可以无限制借贷,(2)假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数,假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数,(3)假定市场无摩擦,即无任何交易成本,无税收,资产数量假定市场无摩擦,即无任何交易成本,无税收,资产数量 单位无限可分单位无限可分,(4)假定市场的参与者都有相同的预期。假定市场
15、的参与者都有相同的预期。第35页,此课件共68页哦3.2.2 有效投资组合有效投资组合定义定义3.1 如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益,如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益,或者对于确定的期望收益,有最小的方差,或者对于确定的期望收益,有最小的方差,这样的投资组合称为这样的投资组合称为“均值均值方差方差”有效的投资组合。有效的投资组合。定义定义3.2如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差,如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差,那么称该投资组合为最小方差投资组合。那么称该投资组合为最小方差投资组合。第36页,此课件共68页哦可行资产组合均方有效前沿最小方差资
16、产组合注:阴影部分代表资产组合的可行区域,注:阴影部分代表资产组合的可行区域,AB弧表示的边界为有效资产组合集,弧表示的边界为有效资产组合集,它也称为资产组合的它也称为资产组合的有效前沿有效前沿“,而可行区域的整个边界(,而可行区域的整个边界(AB弧和弧和AC弧)弧)即为最小方差资产组合集。即为最小方差资产组合集。结论:均方有效的资产组合也是最小方差资产组合,但其逆不对。结论:均方有效的资产组合也是最小方差资产组合,但其逆不对。第37页,此课件共68页哦3.2.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解求最小方差投资组合可归结为如下最优模型求最小方差投资组合可
17、归结为如下最优模型的求解问题。的求解问题。第38页,此课件共68页哦3.2.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解模型(模型(3.2.4)是具有等式约束的二次规划问题,可以用)是具有等式约束的二次规划问题,可以用Lagrange乘数法求解,令乘数法求解,令 最优解的一阶条件为最优解的一阶条件为 第39页,此课件共68页哦3.2.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解假设假设 可逆,可逆,由方程(由方程(3.2.5a)得到最优解)得到最优解:将式(将式(3.2.6)代入式()代入式(3.2.5c),得),得将式(将式(3
18、.2.6)代入式()代入式(3.2.5c)得)得第40页,此课件共68页哦其中其中(3.2.8a)因为因为 可逆,可逆,又所以所以 由(由(3.2.7a)及()及(3-.2.7b)得)得(3.2.8b)代入(代入(3.2.6)式,得)式,得(3.2.9a)第41页,此课件共68页哦3.2.4 均值方差分析均值方差分析对一般对一般n种资产的情形种资产的情形 收益水平收益水平 的最小方差投资组合的方差为的最小方差投资组合的方差为 再将再将 和和代入得代入得第42页,此课件共68页哦3.2.4 均值方差分析均值方差分析0在最小方差组合的方差在最小方差组合的方差均值空间是抛物线,均值空间是抛物线,其顶
19、点是其顶点是 图图3.6 最小方差组合的收益均值与方差的关系最小方差组合的收益均值与方差的关系第43页,此课件共68页哦3.2.4 均值方差分析均值方差分析讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系 将方程(将方程(3.2.9b)改写为)改写为 由(由(3.2.10)可见,在标准差均值空间种的图形是双曲线,)可见,在标准差均值空间种的图形是双曲线,第44页,此课件共68页哦3.2.4 均值方差分析均值方差分析0图图3.7 最小方差组合的期望收益与标准差的关系最小方差组合的期望收益与标准差的关系全局最小方差资产组合第45页,此课件共68页
20、哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理讨论全体最小方差组合构成的集合的性质:讨论全体最小方差组合构成的集合的性质:任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的 最小方差投资组合的凸组合表示。最小方差投资组合的凸组合表示。这条性质称为两基金分离定理。这条性质称为两基金分离定理。由式(由式(3.2.6)得)得第46页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理其中,其中,假设假设 显然,显然,而且由式(而且由式(3.2.8b)得)得第47页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理令令则则所以所以具有如下性质:具有如下性质:因为因
21、为 所以对于权系数所以对于权系数 相应的资产组合的收益率相应的资产组合的收益率 第48页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理由(由(3.2.9a)知,)知,是全局最小方差投资组合是全局最小方差投资组合,称称wd为分散化资产组合,为分散化资产组合,对应的期望收益率为对应的期望收益率为将代入式(代入式(3.2.9a)得)得 由图由图3.6可见,可见,相应于期望收益率相应于期望收益率 的最小方差投资组合是所有有效投资组合的最小方差投资组合是所有有效投资组合中方差最小的一个,中方差最小的一个,称它为全局最小方差投资组合。称它为全局最小方差投资组合。第49页,此课件共68页哦3.2.
22、5两基金分离定理两基金分离定理同样,同样,将将 代入式(代入式(3.2.9a)可得)可得 因此因此 是相应于期望收益率是相应于期望收益率 的最小方差投资组合。的最小方差投资组合。定理定理3.1(两基金分离定理):(两基金分离定理):任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资产组合和可分散化资产组合 的组合,即的组合,即 第50页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理这里这里 从定理从定理3.1可见可见,对于任意的对于任意的 相应的最小方差资产组合可以表示成相应的最小方差资产组合可以表示成相
23、应于 和和的最小方差投资组合的最小方差投资组合和的组合的组合。称称 和和为共同基金。为共同基金。第51页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理两资产组合两资产组合 和和期望收益之差期望收益之差因为因为 所以所以与与之差的符号取决于之差的符号取决于A的符号。的符号。(1)如果全局最小方差的资产组合的收益率为正,则)如果全局最小方差的资产组合的收益率为正,则 在相应的双曲线的上半叶上。在相应的双曲线的上半叶上。(2)如果)如果 则相反,在允许卖空的情况下,这种情况也可能出现。则相反,在允许卖空的情况下,这种情况也可能出现。第52页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分
24、离定理注注1 对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合 和和他们与他们与 和和有相同的分离作用,有相同的分离作用,即即可表示为可表示为 和和的组合。的组合。第53页,此课件共68页哦注注1证明:证明:由两基金分离定理,由两基金分离定理,和和可由可由和和表示如下表示如下由式(由式(3.2.18a)和式()和式(3.2.18b),),将将和和解出,得解出,得 第54页,此课件共68页哦注注1证明:证明:由由将(将(3.2.19)和()和(3.2.10)代入,得)代入,得显然显然 这说明 可用可用 和的组合来表示。的组合来表示。第55页,此课件共6
25、8页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理注注2 对任意的投资组合对任意的投资组合w,有有 设设和和是两个最小方差组合,是两个最小方差组合,则则第56页,此课件共68页哦注注2证明:证明:这证明了第一个结论。这证明了第一个结论。将式(将式(3.2.16)代入式(代入式(3.2.9b),得),得 由前段证明可知由前段证明可知 第57页,此课件共68页哦注注2证明:证明:第58页,此课件共68页哦3.2.5两基金分离定理两基金分离定理若若是一个最小方差资产组合,是一个最小方差资产组合,其方差不是全局最小值,其方差不是全局最小值,则存在最小方差资产组合则存在最小方差资产组合 使使称称和和为零为零
26、相关(即协方差为零)的有效投资组合。相关(即协方差为零)的有效投资组合。第59页,此课件共68页哦3.3 具有无风险资产的均值-方差分析第60页,此课件共68页哦3.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合假定市场存在假定市场存在n n种风险资产种风险资产 及无风险资产及无风险资产 无风险资产的收益率是一常数,无风险资产的收益率是一常数,设为设为 以以w w表示风险资产组合的权系数表示风险资产组合的权系数,是投资于无风险资产的权系数,是投资于无风险资产的权系数,表示投资于表示投资于n+1n+1种资产的投资组合的期望收益,种资产的投资组合的期望收益,则则即即第
27、61页,此课件共68页哦3.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合 当投资者在市场上可以获得无风险资产时,当投资者在市场上可以获得无风险资产时,资产组合问题在两方面发生了变化。资产组合问题在两方面发生了变化。(1)与只有风险资产的预算约束不同的是,若投资者)与只有风险资产的预算约束不同的是,若投资者 在无风险资产的投资权重为在无风险资产的投资权重为 正时,表示储蓄;若权正时,表示储蓄;若权 重为负,则表示为购买风险资产而筹集资金,即借贷。重为负,则表示为购买风险资产而筹集资金,即借贷。(2)与只有风险资产的预算约束不同的是,平均收益率)与只有风险资产的预算
28、约束不同的是,平均收益率 的限制必须表达成超额收益率形式。的限制必须表达成超额收益率形式。第62页,此课件共68页哦3.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题 利用利用拉格朗日拉格朗日乘数法,求解此二次规划问题,令乘数法,求解此二次规划问题,令第63页,此课件共68页哦3.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最优解的一阶条件为最优解的一阶条件为 解得最优解解得最优解 第64页,此课件共68页哦3.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有
29、效投资组合具有无风险资产的有效投资组合为此将为此将(3.3.4)代入代入(3.3.1b)得得 因为因为 所以所以 令令 则则第65页,此课件共68页哦3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析具有无风险资产的均值方差分析 第66页,此课件共68页哦3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析具有无风险资产的均值方差分析(1 1)在均值方差坐标系下,最小方差资产组合的图形是抛物线,)在均值方差坐标系下,最小方差资产组合的图形是抛物线,(2 2)在均值和标准差坐标系下,图形是从点出发的两条射线,)在均值和标准差坐标系下,图形是从点出发的两条射线,斜率分别为斜率分别为 第67页,此课件共68页哦3.3.3 3.3.3 无风险资产情况下的无风险资产情况下的 两基金分离定理两基金分离定理 所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的资产组合,在这种情况下,有一种自然的基金选择资产组合,在这种情况下,有一种自然的基金选择 即无风险资产和不含无风险资产的组合,即所谓切点资产组合,即无风险资产和不含无风险资产的组合,即所谓切点资产组合,其中其中 这一性质称为无风险资产存在情况下的这一性质称为无风险资产存在情况下的“两基金分离定理两基金分离定理”或或“货币分离定理货币分离定理”。第68页,此课件共68页哦
限制150内