D87方向导数与梯71704.pptx

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1、定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数且有在点 P 可微,得故第1页/共22页对于二元函数为,)的方向导数为特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第2页/共22页例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量 l 的方向余弦为第3页/共22页例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为第4页/共22页例3.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数第5页/共22页问题：一块长方形的金属板，四个顶点的

2、坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？第6页/共22页二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：第7页/共22页1.定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义第8页/共22页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数 f 的等

3、值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.第9页/共22页3.梯度的基本运算公式第10页/共22页例4.证:试证处矢径 r 的模,第11页/共22页三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.第12页/共22页例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.第13页/共22页内容小结1.方向导数

4、 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为第14页/共22页2.梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.第15页/共22页思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .2.P73 题 16第16页/共22页曲线1.(1)在点解答提示:函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第17页/共22页2.P73 题 16第18页/共22页3 函数在点处的梯度解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研)第19页/共22页指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A4.函数提示:则(96考研)第20页/共22页 作业P51 2，3，6，7，8，9，10思考：爬山时沿什么路线到达山顶路程最短？下山时沿什么路线到达山下路程最短？第21页/共22页感谢您的欣赏！第22页/共22页