矩阵与线性方程组讲稿.ppt

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1、关于矩阵与线性方程组第一页，讲稿共二十八页哦设设n元线性方程组为元线性方程组为记记，第二页，讲稿共二十八页哦利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：Ax=b,其中其中A为线性方程组的系数矩阵，称为线性方程组的系数矩阵，称x为未知列向量，为未知列向量，b为右端常向量。当为右端常向量。当b=0时，方程组为齐次线性方程时，方程组为齐次线性方程组。组。线性方程组的增广矩阵是一个线性方程组的增广矩阵是一个m(n+1)矩阵矩阵第三页，讲稿共二十八页哦若若x1=c1,x2=c2,xn=cn是线性方程组的一个解，则它是线性方程组的一个解，则它必满足矩阵等式：必满足矩

2、阵等式：若记若记c=(c1,c2,cn)T,则上述矩阵等式可简写为：则上述矩阵等式可简写为：Ac=b.用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中P76第四页，讲稿共二十八页哦问题：问题：证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而第五页，讲稿共二十八页哦这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即即充分性充分性.(),nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn

3、-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.第六页，讲稿共二十八页哦推论推论1：含有含有n个方程的个方程的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有有非零解的充分必要条件是非零解的充分必要条件是 ，且当它有非零解，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。时，必有无穷多个非零解。推论推论2：若方程组若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。数，则方程组必有非零解。第七页，讲稿共二十八页哦小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有

4、无穷多解有无穷多解.bAx=第八页，讲稿共二十八页哦齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；第九页，讲稿共二十八页哦例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组第十页，讲稿共二十八页哦解解第十一页，讲稿共二十八页哦即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组第十二页，讲稿共二十八页哦由此即得由此即得第十

5、三页，讲稿共二十八页哦例例2 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换第十四页，讲稿共二十八页哦故方程组有解，且有故方程组有解，且有第十五页，讲稿共二十八页哦所以方程组的通解为所以方程组的通解为第十六页，讲稿共二十八页哦例例3 3 设有线性方程组设有线性方程组解解第十七页，讲稿共二十八页哦第十八页，讲稿共二十八页哦其通解为其通解为第十九页，讲稿共二十八页哦这时又分两种情形：这时又分两种情形：第二十页，讲稿共二十八页哦见书中例见书中例13（P7679）第二十一页，讲稿共二十八页哦()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结第二十二页，讲稿共二十八页哦思考题第二十三页，讲稿共二十八页哦思考题解答解解第二十四页，讲稿共二十八页哦第二十五页，讲稿共二十八页哦第二十六页，讲稿共二十八页哦故原方程组的通解为故原方程组的通解为结束结束第二十七页，讲稿共二十八页哦感感谢谢大大家家观观看看第二十八页，讲稿共二十八页哦