线性变换和特征值课件.ppt

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1、线性变换和特征值第1页，此课件共65页哦6.1 n维空间的线性变换维空间的线性变换 定义定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x,按照一定的对应法则T，总有Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射映射，记为 或 ，称y是X在映射T下的像，x是y在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作 。第2页，此课件共65页哦 定义定义6.2 设 是实数域上的向量空间，T是一个从 到 的映射，若映射T满足 1)2)则称T为从 到 的线性映射，或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。第3页，此课件共65页哦例例6.1 试证所有

2、矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。证证：利用矩阵的数乘及乘法运算，是 的映射。显然有 及 即T是 的线性映射。第4页，此课件共65页哦 例例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。证明：设 ，则有 所以恒等变换E是线性变换。第5页，此课件共65页哦6.2 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算特征值和特征向量的定义和计算 定义定义6.3 设 是 阶方阵，若存在数 和 维非零列向量 ，使得 （6-1）成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向量 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将（6-1）式变形为 (或 )（6-2）第6页，此课件共65页哦

3、 满足这个方程的 和 就是我们要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含个 方程的 元齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 （6-3)记作 （6-4）称 为方阵A的特征多项式，方程 称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于 是 的 次多项式，所以方程 在复数域内有 个根（重根按重数计算）。第7页，此课件共65页哦 矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：第一步第一步：求特征值。先通过行列式（6-4）的计算，写出其特征多项式 ，这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需要很大的计算工作量；第二步第二步：并进行因式分解 然后求出特征方程 的全部根 这就是A的所有特征值；第三步第三步：把每个

4、特征值 分别代入方程，求齐次线性方程组 的非零解 ，它就是A对应于特征值 的一个特征向量（不是惟一的）。第8页，此课件共65页哦 例例6.4 求矩阵 的特征值和特征向量。解：A的特征多项式 所以A的全部特征值为 对于特征值 解齐次线性方程组 ，即 可得它的一个基础解系 第9页，此课件共65页哦 所以 都不为 零）是A对应于特征值 的全部特征向量。对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它的一个基础解系 ，所以 是A对应于特征值8的全部特征向量。第10页，此课件共65页哦6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质方阵的特征值和特征向量的性质 性质性质1 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。性质性质2

5、设 是矩阵A的 个特征值，则 1)2)称 为矩阵A的迹，记为 第11页，此课件共65页哦 性质性质3 设 为方阵A的特征值，则 1）当A可逆时，是 的特征值 2）是A的伴随矩阵 的特征值 3）是 的特征值；进而有矩阵A的 次多项式 的特征值为第12页，此课件共65页哦 例例6.5 设矩阵 1)求及的特征值；2)进一步求矩阵的特征值。解：1）由A的特征方程 可得A的全部特征值为1，2，-1。的特征值为，即-2,13,-8。第13页，此课件共65页哦 2）解法1：先计算 ，令 ，求出特征方程 的根即可。解法2：因为 所以A可逆，为对应于A的特征值 的特征向量，则 又 所以 从而矩阵 的特征值为 ，

6、即 第14页，此课件共65页哦 定理定理6.1 设 为方阵A的互不相同的特征值，分别为对应于特征值 的特征向量，则 线性无关。推论推论 矩阵A的 个互不相同特征值所对应的 组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。第15页，此课件共65页哦6.2.3 特征值和特征向量的特征值和特征向量的MATLAB求法求法 MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。这三个步骤是：（1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f；（2）用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda（表示为列向量）；（3）用函数p=null(lamda*I-A)直接给出基础

7、解p,将n个特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩阵。第16页，此课件共65页哦 取例6.4为典型，解题的程序ea604为 A=3,2,4;2,0,2;4,2,3;f=poly(A),r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,r)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,r)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,r)第17页，此课件共65页哦 程序运行的结果为：f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多项式系数向量)r=8.0000(三个特征根即特

8、征值,后两个是重根)-1.0000+0.0000i(微小虚数可用r=real(r）去除)-1.0000-0.0000i第18页，此课件共65页哦 实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化，其中也包括了处理计算误差的功能，所以一条命令就解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，调用的形式是：p,lamda=eig(A)输出变元中的lamda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系数矩阵A代入，即可得到：第19页，此课件共65页哦6.3 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化 定义定义6.4 设A和B是

9、阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 ，则称矩阵A与与B相似相似，把A变成 的变换称为相似变换相似变换，可逆矩阵P被称为把A变成B的相似变换矩阵相似变换矩阵。相似矩阵具有以下性质。设矩阵A与B相似 1)2)第20页，此课件共65页哦 3)A与B的迹相同 4)若A可逆，则B必可逆，且 也相似 定理定理6.2 设矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值.推论推论 若 阶方阵A与对角矩阵 相似，则 是矩阵A的全部特征值。此时，必存在可逆矩阵P，使得 ，称为把矩阵矩阵A对角对角化，也称矩阵化，也称矩阵A可对角化。可对角化。第21页，此课件共65页哦 定理定理6.3 阶方阵A可对角化的充分必

10、要条件A是有 个线性无关的特征向量。证明：必要性必要性 设 阶方阵A可对角化，则存在可逆矩阵 使 ，从而 即 于是有 ，所以 是方阵A的特征值，是对应于特征值 的特征向量。由于矩阵P可逆，det(P)0，必线性无关。第22页，此课件共65页哦 充分性充分性 设 是A的 个特征值，是与之对应的 个线性无关的特征向量，令 ，则有 即 所以方阵A可对角化。推论推论 若 阶方阵A的特征值互不相同，则方阵A一定可对角化。第23页，此课件共65页哦 例例6.7 判断矩阵 能否对角化？解：由 得A的特 征值为 求得 对应的特征向量 ，再求 对应的特征向量。把 作行阶梯变换，得到 相当于方程组 它只有一个线性

11、无 关的特征向量 ,即A总共只有两个线性无关的特征向量，所以A不能对角化。第24页，此课件共65页哦 用MATLAB解此题时，要检验特征向量组的秩，判断独立的特征向量数。故程序如下：A=-1,1,0;-4,3,0;1,0,2,p,lamda=eig(A),rp=rank(p)运行的结果是：由于特征向量组的秩为2，说明只有两个线性无关的特征向量，因此不能对角化。第25页，此课件共65页哦6.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 定理定理6.4 实对称矩阵的特征值必为实数。定理定理6.5 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量必正交。证明：设A为n阶实对称矩阵，是矩阵A的两个不同的特征值，是矩

12、阵A对应的特征向量，即 因为 于是 由于 ，所以 ，即 正交。第26页，此课件共65页哦 定理定理6.6 设A为n阶对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得 这里 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。推论推论1 设A为n阶实对称矩阵，是A的 重特征值，则A必有 个对应于特征值 的线性无关的特征向量.推论推论2 实对称矩阵一定可对角化.推论推论3 n阶实对称矩阵A，存在n个正交单位特征向量。第27页，此课件共65页哦 n阶实对称矩阵对角化的步骤阶实对称矩阵对角化的步骤 第一步：解特征方程 ，求出A的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 第二步：求出矩阵A的特征值 对应的特征向量，得到 个线性无关的

13、特征向量；第三步：将每个特征值 对应的 个线性无关的特征向量正交化、单位化，这样得到n个两两正交的单位特征向量 ；第四步：令 ，P是正交矩阵，使得 。必须注意必须注意：中对角元素的排列次序与P中列向量的排列次序要一致。第28页，此课件共65页哦例例6.10 设解：当 时，即 解得 单位特征向量可取为 第29页，此课件共65页哦 解得 为任意常数。基础解系中的两个向量恰好正交,只需单位化,可得两个单位正交的特征向量第30页，此课件共65页哦 从而得到正交矩阵 有 本例用MATLAB解时的程序为：A=4,0,0;0,3,1;0,1,3;p,lamda=eig(A)程序运行的结果与笔算的相同，为：第

14、31页，此课件共65页哦6.5 二次型及其标准形二次型及其标准形 6.5.1 二次型的概念二次型的概念 定义定义6.5 含有n个变量 的二次齐次函数：(6-10)称为n元二次型元二次型，简称二次型。为实数时，称 为实二次型；为复数时，称 为复二次型。本章书仅讨论实二次型。第32页，此课件共65页哦 令 ，则二次型（6.10）可写成 用矩阵形式表示为 （6-11）其中 第33页，此课件共65页哦 例例 6.13 写出下列二次型的矩阵 解：由已知的二次型系数，得矩阵元素为：故得的 矩阵为第34页，此课件共65页哦6.5.2 二次型的标准形及惯性定理二次型的标准形及惯性定理 定义定义6.6 若秩为r

15、 的二次型 通过可逆线性变换x=Cy 可化为只含平方项的二次型，即 (6-12)那么，此二次型称为 的标准形标准形，标准形中所含平方项的个数等于二次型 的秩.例例6.15 设二次型 分别作下列二个可逆线性变换，求新二次型.第35页，此课件共65页哦1)=2)解：1）将线性关系直接代入并化简、整理 第36页，此课件共65页哦 2）由于 因此，此例表明：二次型 的标准形不是唯一的。第37页，此课件共65页哦 *实二次型的规范形的定义：实二次型的规范形的定义：对秩为r的实系数二次型 ，设它通过可逆线性变换x=Cy化为下面的标准形：其中 ()0，若再作如下的可逆变换：则上面的标准形可进一步化为如下的形

16、式：这个二次型称为实二次型的规范形规范形，显然它是唯一的.第38页，此课件共65页哦 定理定理6.7（惯性定理）（惯性定理）设秩为r的实二次型 ，通过可逆线性变换，可化为如下的标准形：其中 0()，则数p称为实二次型 的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数.惯性定理是指：实二次型的标准形中正系数的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数也是唯一确定的，它就等于负惯性指数。第39页，此课件共65页哦 6.5.3 化实二次型为标准形的方法化实二次型为标准形的方法 1）正交变换法）正交变换法 正交变换法的具体步骤与求特征值和特征向量相仿 第一步：写出二次型 的矩阵A,并由

17、特征方程 求出全部互不相同特征值 第二步：求出A的对应于 的特征向量，即求齐次线性方程组 的基础解系。如果某些 是重根，则将其对应的特征向量正交化、单位化。这样便可得到n个两两正交的单位特征向量 第40页，此课件共65页哦 第三步：令 ，则P是正交矩阵，二次型 通过正交变换x=Py化为标准形 上述步骤也可用eig函数来完成。其调用格式为：P,lamda=eig(A)P和lamda将分别给出特征向量组（即正交矩阵）和特征向量。此外MATLAB中还提供了一个用以计算正交变换矩阵的函数Rorth(A)。它的结果和eig函数算出的特征向量矩阵是一样的，只是排列的顺序不同.第41页，此课件共65页哦 2

18、）配方法）配方法 如果二次型中含有变量 的平方项，则先把含有 的各项集中，按 配方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项.如果二次型中不含平方项，但某个 则先作一个可逆线性变换：使二次型 出现平方项，再按上面方法配方。第42页，此课件共65页哦 例例6.16 设 令A的二次型 等于常数，这是一个椭圆的方程，其图形如图6.1(a）所示。现要求将它变为标准形并画出图形。第43页，此课件共65页哦图6.1 两种二次型经坐标变换到主轴方向 第44页，此课件共65页哦 （1）正交变换法）正交变换法 如果做一个基坐标的旋转变换，让坐标轴转过45度，这个椭圆的主轴就与新的坐标方向 ,相同，如图6.1（

19、b）所示，其方程将变为标准形椭圆方程。从解析几何知此变换关系为：cos sin sin cos 写成矩阵形式y Px 其中 第45页，此课件共65页哦 或取其逆变换，写成x Ry 其中 用此变换式代入二次型的表达式，有 本题的数据是45度，得到 第46页，此课件共65页哦 便有 及 所以从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性代数中就等价于：使矩阵A经过正交变换R实现对角化。（2）用配方法）用配方法第47页，此课件共65页哦 令 得到 它所对应的变换 图6.1中的（c）和（d）表示了对另一种双曲线二次型的坐标变换，它的方程为：第48页，此课件共65页哦 图6.2 两种对角化方法的不同变换：正交

20、变换法，图形相似（左），配方法，图形崎变（右）第49页，此课件共65页哦6.5.4 二次型的正定和负定二次型的正定和负定 图6.3 二次型曲面的几种类型第50页，此课件共65页哦 一般的，二元变量的二次圆锥曲线 在非退化（指它的二次项系数不全为零）情况下，它的类型决定于其二次项的对称矩阵A的特征值。具体如下：A的特征值 对应圆锥曲线的类型 驻点是否极值点 (正定或负定)椭圆极值点 (不定)双曲线 鞍点（费极值点）或 (半正定)抛物线极值线 第51页，此课件共65页哦 定义定义6.8 若对任给定的 1）恒有 ，则称 为正定（负定）二次型，此时对称矩阵A称为正定（负定）矩阵；2）恒有 ，则称 为半

21、正定（半负定）二次型，此时对称矩阵A称为半正定（半负定）矩阵。3）其它的二次型称为不定二次型。定理定理6.8 n元实二次型 正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全为正，或 的正惯性指数为n。第52页，此课件共65页哦 证明：设 经过可逆线性变换化为标准形，充分性充分性 若 ，对任意 有 ，所以 必要性必要性 设 为正定二次型。假设有 ,取 时，从而 ，这与 是正定的相矛盾。所以 推论推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零。第53页，此课件共65页哦 定义定义6.9 设 为n阶方阵，依次取A的前k行与前k列所构成的行列式 称为A的k阶顺序主子式阶顺序主子式。定理定理 6.9

22、设n元实二次型 为正定，则下列结论等价：1）对任意n维非零向量 2）的标准形中的n个系数全为正；3）实对称矩阵A的特征值全大于0；4）正惯性指数p=n；第54页，此课件共65页哦 5）实对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于0，即 结论5）称为霍尔维茨定理。类似地，n元实二次型 为负定，则下列结论等价 1）的标准形中的n个系数全为负 2）实对称矩阵A的特征值全小于0 3）负惯性指数q=n 4）实对称矩阵A的各阶顺序主子式中，奇数阶的全小于0，偶数阶的全大于0 第55页，此课件共65页哦 例例6.19 判断二次型 的负定性.解：二次型 的矩阵为 由 可知 为负定二次型 注注:本题也可通过判断-A为正定

23、矩阵来解决 第56页，此课件共65页哦 例例6.20 求 的取值，使得二次型 为正定二次型.解：二次型 的矩阵为 由于 为正定二次型，故所有顺序主子式全大于零，即 解出 ，即为所求.第57页，此课件共65页哦6.6 奇异值分解的简介奇异值分解的简介 定义定义6.10 设矩阵 ，若存在非负实数 和n维非零向量 m维非零向量v使得 (6-13)则称 为A的奇异值，奇异值，u和和v分别称为A对应于奇异值 的右奇异向量和左奇异向量。右奇异向量和左奇异向量。由式（6-13）可得 (6-14)(6-15)第58页，此课件共65页哦 定理定理6.10（矩阵的奇异值分解）（矩阵的奇异值分解）设A是mn矩阵，设

24、 是A的奇异值，则 ，其中U是m阶正交矩阵，V是n阶正交矩阵，而 此式也可以表示为：(6-16)其中，是矩阵U的第i列 是矩阵V的第j列 .第59页，此课件共65页哦 MATLAB中设有奇异值分解函数，其调用格式为U,S,V=svd(A)，其中U是mm归一化正交矩阵，S是mn对角矩阵，它的左上方是rr rmin(m,n)对角矩阵，其r个特征值已按递减规则，其余各块元素都是全零。排列的V是nn归一化正交矩阵。根据S中大于门限值的特征值数目，就可以求出矩阵的数字秩，rank(A)就是按这个思路编写的。在大于门限值的特征值中，最大和最小的两个元素之比，就是矩阵的条件数，可以调用r=cond(A)算出

25、。第60页，此课件共65页哦例例6.21 设 求它的各奇异值，及条件数。解：这样阶次的问题，只能用计算机来解了。程序为 A=2,7,9,-5,4;-9,-9,5,3,-2;-2,5,-1,-3,5;-4,9,0,9,-4 U,S,V=svd(A),condA=S(1,1)/S(4,4)运行结果为：第61页，此课件共65页哦 不难验证：U,V都是规范正交矩阵，都有 A的四个奇异值为：16.5933 13.9809 11.2638 5.9432，A的条件数为：condA=16.5933/5.9432=2.7920第62页，此课件共65页哦6.7 应用实例应用实例 6.7.1 人口迁徙模型人口迁徙模

26、型 假设在一个大城市中的总人口是固定的，人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？第63页，此课件共65页哦解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量 其中 为市区人口所占比例，为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k0的初始状态为：一年以后，市区人口为 郊区人口 用矩阵乘法可写成：第64页，此课件共65页哦 从初始时间到k年，A不变，因此 用下列MATLAB程序ea661进行计算：A0.94,0.02;0.06,0.98 x00.3;0.7,x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0 程序运行的结果为：第65页，此课件共65页哦